A1806. La saga de Méphisto (2ème épisode) ***
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son ₁ sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son ₂ sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le ₃ rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q Soit un entier k > 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.₄ Application numérique : déterminer le plus grand entier n tel que σ(n ) = n + 2021. Démontrer ₀ ₀ ₀ qu’il existe un entier n > n tel que φ(n ) = n – 2021₁ ₀ ₁ ₁
Q1 : Soit n=2p avec p premier : Les diviseurs sont : 1,2, p et 2p
=> τ(n)=4 σ(n)=3p+3
φ(n)=φ(2)⋅φ(p)=1⋅(p−1)=p−1
σ(n)−φ(n)−τ(n)=2p=n
Q2 :
n=27 54=40+18–4=σ(27)+φ(27)−τ(27)
Q3 :
On cherche m et n tels que n⋅σ(n)=m⋅σ(m) Les première valeurs :
Elles nous amènent à la suite : A337874
Le commentaire :
If 2p−1 and 2r−1 are distinct Mersenne primes then k=(2p−1)⋅2(r−1) and q=(2r−1)⋅2(p−1) satisfy k⋅σ(k)=q⋅σ(q)=m=(2p−1)⋅(2r−1)⋅2(p+r−1)
Permet d'affirmer que si les nombres de Mersenne premiers sont en quantité infinie alors il existe une infinité de paires
m et n telles que n⋅σ(n)=m⋅σ(m)
Q4.1:
σ(n)=n+k => La somme des diviseurs de n différents de 1 et de n vaut k−1 Soit d le plus grand diviseur de n inférieur à n alors d²≥ n
( d²=n si n est le carré d'un nombre premier) Ce qui signifie que n ≤(k−1)2
Donc l’équation possède un nombre fini de solutions.
Q4.2:
Pour k = 2021 :
2021−1=2020=2⋅2⋅5⋅101
alors n ≤1010²
un automate trouve : n=1018579 σ(n)=1020600 Les diviseurs de n :1, 971, 1049, 1018579
Q4.3:
Pour : n=1018757=953⋅1069 φ(n)=952⋅1068=1016736 et 1016736 = 1018757- 2021
Annexe : programme Python def ld(x):
l=[]
for i in range(int(x**0.5)+1):
d = i+1 if x%d ==0:
l.append(d) l.append(x//d) s = set(l)
ll = list(s) ll.sort() return ll def s(x):
return sum(ld(x)) def t(x) :
return len(ld(x)) def e(n) :
if ( n == 1 ) : return 1 d = 2
stop = n+1
while ( d < stop ) :
if ( ( n % (d*d) ) == 0 ) : return d * e(n/d)
elif ( (n % d) == 0 ) : return (d-1) * e(n/d) d = d+1
lpp =[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37]
print("Q1")
for n in range(1,30):
ss = s(n) ee = e(n) tt = t(n)
if n == ss - ee - tt :
print(n,ss,ee,tt," ",n//2)
print("Q2")
for n in range(1,50):
ss = s(n) ee = e(n) tt = t(n)
if 2*n == ss + ee - tt :
print(n,ss,ee,tt," ",n*2) print("Q3")
for m in range(1,100):
for n in range(m,100):
if m*s(m) == n*s(n) : if m != n :
print(m,n,s(m),s(n),m*s(m),n*s(n)) print("Q4")
for k in range(2,15):
for n in range(1,5000):
ss = s(n)
if n +k == s(n):
print(k,n)
print("Q4_02") k = 2021
for n in range(1000**2,1010**2+1):
ss = s(n)
if n +k == ss:
print(k,n,ss,ld(n)) print("Q4_03")
k=2021
for n in range(1018579,1020000):
ee = e(n)
if n - k == ee:
print(k,n,ee)
