Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k > 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
Q1 : Pour tout p premier, φ(2p)=φ(p)=p-1, σ(2p)=3σ(p)=3(p+1), τ(2p)=2τ(p)=4 : donc 3(p+1)-(p-1)-4=2p
Q2 : Pour pa, φ(pa)=pa-pa-1 , σ(pa)=pa +pa-1+...+1, τ(pa)=a+1 donc
σ(pa)+φ(pa)-τ(pa)=2pa+pa-2+...+p+1-a-1 : pour que cette expression soit égale à 2pa, il suffit que a=p=3, soit pa=27.
Q3 : La propriété à démontrer équivaut à mσ(m)=nσ(n) ; σ(2)=3, σ(3)=4, σ(4)=7, σ(7)=8, donc 12*σ(12)=14*σ(14)=24*3*7=336 , et il sera de même pour les nombres m=12k et n=14k, pour tout k non multiple de 2, 3 ou 7.
Q4 : Si p est premier σ(p2)=p2+p+1 ; montrons que pour tout nombre composé n>p2, σ(n)-n>p+1 ; nous montrerons ainsi que si k<p+1, les solutions de σ(n)-n=k seront inférieurs à p2, donc en nombre fini. En effet, tout nombre composé est :
- soit puissance d’un nombre premier : qk : σ(qk)-qk=(qk-1)/(q-1)>qk/2 +1 : en effet, (qk-1)(qk-2-1)>1, donc q2k-2-2qk-1+1>qk-2qk-1+qk-2, ou (qk-1-1)2>qk-2(q-1)2 , et (q(qk-1-1)/(q-1)>qk/2 donc si qk>p2, σ(qk)-qk>p+1.
- soit produit de deux nombres a et b premiers entre eux, tels que σ(a)=a+α, σ(b)=b+β avec α et β entiers strictement positifs : σ(ab)-ab=(a+α)(b+β)-ab =bα+aβ+αβ ; or si ab>p2, a+b>2p donc a fortiori σ(ab)-ab>p+1.
Intuitivement, on sens que si k-1 n’est pas premier, la plus grande solution de σ(n)-n=k sera obtenue avec un minimum de facteurs premiers les plus proches les uns des autres : ainsi pour deux facteurs p et q, σ(pq)-pq=p+q+1 ; 971 et 1049 est le couple de nombres premiers de somme 2020 et d’écart minimum : n0= 971*1049=1018579 est sans doute la plus grande solution de σ(n)-n=2021.
De même, pq-φ(pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1 ; 1009 et 1013 sont premiers et leur somme est 2022 donc n1=1009*1013=1022117 est solution de n-φ(n)=2021 avec n1>n0.
