G1916 – Entrainement au basket [*** à la main]
Q₁ Déterminer la probabilité que Zig réussisse au moins huit lancers à l’issue de dix lancers (incluant les quatre premiers).
Q₂ Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier ≥ 3) lancers à l’issue de n (entier > 4) lancers (incluant les quatre premiers).
Q₃ Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de cent essais.
Q₄ Pour les plus courageux : Zig réussit p lancers sur les q premiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > q) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de n essais (n > q).
Solution proposée par Daniel Collignon
Notons p(k,n) la probabilité d'avoir réussi k>=3 lancers à l'issue de n>=4 lancers.
Nous avons les relations suivantes :
* p(3/4) = 1
* p(k/n) = 0 lorsque k>=n (à cause du lancer raté parmi les 4 premiers) ou k=<2 (3 lancers ont déjà été réussis)
* p(k,n) = p(k,n-1)*(1-k/(n-1)) + p(k-1,n-1)*(k-1)/(n-1) pour n>4 et k>=3
Cette dernière relation traduit le fait qu'au tour précédent on avait déjà k réussites et on a échoué, ou bien qu'on avait déjà k-1 réussites et on a réussi.
Q1
Nous cherchons à évaluer p(8,10)+p(9,10) puisque p(10,10)=0 (toujours à cause du lancer raté parmi les 4 premiers).
On peut construire le tableau des premières valeurs par récurrence et l'on trouve p(8,10) = 1/4 et p(9,10) = 1/3.
D'où une probabilité de 1/4+1/3=7/12 soit environ 58%.
Q2
On montre par récurrence que p(k,n) = C(2,k-1)/C(3,n-1) Q3
E_n = sum(k=3..n-1, k*p(k,n))
E_n = sum(k=3..n-1, k*C(2,k-1))/C(3,n-1) E_n = 3*sum(k=3..n-1, C(3,k))/C(3,n-1) E_n = 3*C(4,n)/C(3,n-1)
E_n = 3n/4
Application numérique : E_100 = 75 Q4
Notons p(k,n) la probabilité d'avoir réussi k>=p lancers à l'issue de n>=q lancers.
Nous avons les relations suivantes :
* p(p/q) = 1
Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entrainer il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied (voir photo ci-contre).
Au cours de ses quatre premiers essais, il réussit trois d’entre eux.
Par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > 4) est égale au
pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Ainsi la probabilité de réussir le 5ème lancer est égale à 3/4 et s’il le réussit, la probabilité de réussir le 6ème lancer est égale à 4/5 et celle d’échouer à 1/5.
* p(k/n) = 0 lorsque k>=n-(q-p)+1 (à cause des q-p lancers ratés parmi les q premiers) ou k=<p-1 (p lancers ont déjà été réussis)
* p(k,n) = p(k,n-1)*(1-k/(n-1)) + p(k-1,n-1)*(k-1)/(n-1) pour n>q et k>=p On montre par récurrence que p(k,n) = C(q-p-1,n-k-1)*C(p-1,k-1)/C(q-1,n-1) E_n = sum(k=p..n-(q-p), k*p(k,n))
E_n = sum(k=p..n-(q-p), k*C(q-p-1,n-k-1)*C(p-1,k-1))/C(q-1,n-1) E_n = sum(k=p..n-(q-p), p*C(q-p-1,n-k-1)*C(p,k))/C(q-1,n-1) E_n = p*C(q,n)/C(q-1,n-1)
E_n = pn/q
