Cubes d’enfants
Problème A456 de Diophante
L’aîné des petits enfants de Diophante a des talents de bricoleur arithméticien. Il dispose d’une collection de 15 cubes tous différents dont les arêtes sont des nombres entiers compris entre 1 cm et 15 cm. Il fabrique deux pyramides en empilant pour chacune d’elles 4 cubes dans un ordre décroissant de volume puis il colle les surfaces communes aux cubes pris 2 à 2 (voir figure ci-contre).
Il calcule le volume exprimé en et la surface exprimée en de chacune d’elles et constate que pour l’une et l’autre le
volume a une valeur qui est double de celle de la surface.
Comparer les hauteurs des deux pyramides.
A
B
C
D
Solution
Désignons par A,B,C et D les quatre cubes formant une pyramide en notons a, b, c et d les mesures de leurs arêtes (16 > a > b > c > d > 0).
Le volume total de la pyramide est V = a3 + b3 + c3 + d3 et sa surface totale est S = 4 (a2 + b2 + c2 + d2) + 2 a2 où le premier terme représente le cumul des surfaces verticales (jaunes et vertes) et le second celui des faces horizontales (bleues).
Dire que V =2S c’est dire que ; a3 – 12 a2 = 8 b2 – b3 + 8 c2 – c3 + 8 d2 – d3
Autrement dit il s’agit, dans le tableau ci-contre, de trouver un nombre dans la colonne du milieu, qui soit la somme de trois nombres de la colonne de droite, situés plus haut que lui.
On trouve deux solutions : 169 = 49 + 75 + 45
soit a = 13 b = 7 c = 5 d = 3 - 121 = - 200 + 72 + 7
soit a = 11 b = 10 c = 6 d = 1
Pour chacune la hauteur est a + b + c + d = 28
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n3 – 12 n2 - 11 - 40 - 81 - 128 - 175 - 216 - 245 - 256 - 243 - 200 - 121 0 169 392 675
n3 – 8 n2 7 24 45 64 75 72 49 0 - 81 - 200 - 363 - 576 - 845 -1176 -1575
