E690. Savant remplissage ***
Les cases d’un échiquier de dimensionsn×ncontiennent des entiers strictement positifs pas nécessai- rement distincts.
Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes.
Déterminer en fonction denla plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier.
Application numérique : donner un exemple du remplissage d’un échiquier 10×10.
Solution de Claude Felloneau
La plus petite valeur cherchée est égale àn2−n+1.
Preuve :
Soitunla plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur un échiquiern×ntel que les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos sont toutes différentes.
Chacune de ces sommes est inférieure ou égale àun+(un−1)=2un−1. Elles sont au nombre de 2n(n−1), toutes différentes et supérieures ou égales à 2 donc 2n(n−1)+162un−1, d’oùun>n2−n+1.
Il reste à démontrer qu’il existe une matriceAn=¡ ai j¢
à coefficients entiers strictement positifs vérifiant la propriété suivante :
- le plus grand élément est égal àn2−n+1,
Pn - les sommes de coefficients adjacents sur une ligne ou une colonne sont tous les entiers de 2 à 2n(n−1)+1.
On poseA2= µ 1 1
2 3
¶
et pour toutn>2,An+1=
1 1 3 3 ...
2 3 .
. A0n
. n+1
=¡ bi,j¢
où les coefficients de la première ligne sontb1,j=j−1+(−1)j
2 , ceux de la première colonne sont les en- tiers de 1 àn+1 etA0nest la matrice obtenue en augmentant de 2nchaque coefficient deAn.
On démontre par récurrence surnque la matriceAnvérifie la propriétéPn.
— Les sommes de deux coefficients adjacents sur une ligne ou une colonne deA2 sont 2, 3, 4 et 5=2×2×(2−1)+1 et le plus grand coefficient est 3=22−2+1. AinsiA2vérifieP2.
— Sinest un entier supérieur ou égal à 2 pour lequelAnvérifiePn.
Le plus grand coefficient de A0nestn2−n+1+2n=n2+n+1 qui est supérieur aux termes de la première colonne et de la première ligne de An+1donc le plus grand coefficient deAn+1est n2+n+1=(n+1)2−(n+1)+1.
SoitEl’ensemble des sommes de coefficients adjacents de la matriceAn+1Les sommes de co- efficients adjacents sur une ligne ou une colonne deAnsont tous les entiers de 2 à 2n(n−1)+1 doncEcontient tous les entiers de 2+4nà 2n(n−1)+1+4n=2(n+1)n+1.
Pour 26i6n+1 on abi,1=ietbi,2=2n+(i−1) doncbi,1+bi,2=2n+2i−1.
Pour 26j6n+1 on ab1,j=j−1+(−1)j
2 etb2,j=2n+j−1−1+(−1)j−1 2
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doncb1,j+b2,j=2n+2j−2.
AinsiEcontient les entiers de 2n+2 à 4n+1.
Pour 16i6n,bi,1=ietbi+1,1=i+1 doncbi,1+bi+1,1=2i+1.
Pour 16j6n,b1,j=j−1+(−1)j
2 etb1,j+1=j+1−1+(−1)j+1 2 doncb1,j+b1,j+1=j−1+(−1)j
2 +j+1−1+(−1)j+1 2 =2j. AinsiEcontient les entiers de 2 à 2n+1.
FinalementEcontient tous les entiers de 2 à 2(n+1)n+1.
La matriceAn+1vérifie donc la propriétéPn+1.
— D’après le principe de récurrence, pour tout entiern>2,Anvérifie la propriétéPn.
Comme pour toutn>2, le plus grand coefficient deAnestn2−n+1, on en déduit queun=n2−n+1.
Application numérique : pourn=10, on an2−n+1=91.
1 1 3 3 5 5 7 7 9 9
2 19 19 21 21 23 23 25 25 27
3 20 35 35 37 37 39 39 41 41
4 21 36 49 49 51 51 53 53 55
5 22 37 50 61 61 63 63 65 65
6 23 38 51 62 71 71 73 73 75
7 24 39 52 63 72 79 79 81 81
8 25 40 53 64 73 80 85 85 87
9 26 41 54 65 74 81 86 89 89
10 27 42 55 66 75 82 87 90 91
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