plus grande valeur

E690 Savant remplissage

Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.

Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes.

Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier.

Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.

PROPOSITION

Soit 91 pour un échiquier de 10 sur 10.

Pour un échiquier 2*2,

plus grande valeur

Somme des dominos :

valeurs de somme, obtenues allant de

à

: 3, 2, 4, 5

1 2 1 3

Pour un échiquier 3*3,

plus grande valeur

Somme des dominos :

valeurs de somme, obtenues allant de

à

: 2, 3, 4, 7, 5, 8, 6, 9, 12, 10, 13, 11

1 1 2 3 4 4 6 6 7

Pour un échiquier 4*4,

plus grande valeur

Somme des dominos :

valeurs de somme, obtenues allant de

à

: 2, 3, 4, 5, 9, 6, 10, 7, 11, 8, 12, 16, 13, 17, 14, 18, 15, 19, 23, 20, 24, 21, 25, 22

1 1 2 2 4 5 5 6 8 8 9 9 11 12 12 13

Pour un échiquier 5*5,

plus grande valeur

Somme des dominos :

valeurs de somme, obtenues allant de

à

:

2,3,4,5,6,11,7,12,8,13,9,14,10,15,20,16,21,17,22,18,23,19,24,29,25,30,26,31,27,32,28,33,38,34,39,35,40, 36,41,37

1 1 2 2 3 5 6 6 7 7 10 10 11 11 12 14 15 15 16 16 19 19 20 20 21

A chaque fois, on note que la plus grande valeur est 1 + n(n-1)

De façon générale, nous aurons :

-pour chaque case de coin de l’échiquier : 2 dominos associés.

Ces cases sont au nombre de 4  4*2= 8 dominos.

-pour chaque case du bord n’étant pas un coin de l’échiquier : 3 dominos associés.

Ces cases sont au nombre de 4*(n-2)  4*(n-2)*3 = 12*(n-2) dominos.

--pour chaque case centrale ne touchant pas le bord : 4 dominos associés.

Ces cases sont au nombre de (n-2)²  4*(n-2)² dominos.

Le total est :

8 + 12*(n-2) + 4*(n-2)²

Chaque domino est compté 2 fois puisqu’il fait intervenir 2 cases.

Finalement, il faut diviser par 2, le nombre total de dominos précédent, et nous obtenons ainsi : 4 + 6*(n-2) + 2*(n-2)² = 4 + 6n - 12 + 2n² + 8 - 8n = 2n² - 2n

= 2n ( n-1 ) sommes différentes.

Et la plus petite somme de domino est 2.

Les plus petites sommes iront au mieux de 2 à 2 + 2n (n – 1) - 1 = 2n (n – 1) + 1 Par exemple :

-pour n = 3 elles vont au mieux de 2 à 6*2 + 1 = 13 -pour n = 4 elles vont au mieux de 2 à 8*3 + 1 = 25 -pour n = 5 elles vont au mieux de 2 à 10*4 + 1 = 41

Posons SM = la plus petite somme maximale espérée pour deux dominos.

SM = 2n (n – 1) + 1 ;

Ceci mène à la plus petite valeur maximale correspondant à la moyenne entière de ce résultat : Ent [ ( 2n (n –1)+1) / 2 ] = n (n-1) + 1.

On ne pourra pas faire mieux.

Pour un échiquier de 10 *10, nous obtenons 91.

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 29 30 30 31 31 32 32 33 33 34 39 39 40 40 41 41 42 42 43 43 48 49 49 50 50 51 51 52 52 53 58 58 59 59 60 60 61 61 62 62 67 68 68 69 69 70 70 71 71 72 77 77 78 78 79 79 80 80 81 81 86 87 87 88 88 89 89 90 90 91

Dans les exemples suivants, je donne une stratégie simple de construction qui permet de confirmer la généralisation du résultat ci-dessus.

Echiquier 6*6  on obtient 31 1 1 2 2 3 3

6 7 7 8 8 9 12 12 13 13 14 14 17 18 18 19 19 20 23 23 24 24 25 25 28 29 29 30 30 31 Echiquier 7*7  résultat 43 1 1 2 2 3 3 4 7 8 8 9 9 10 10 14 14 15 15 16 16 17 20 21 21 22 22 23 23 27 27 28 28 29 29 30 33 34 34 35 35 36 36 40 40 41 41 42 42 43 Echiquier 8*8  résultat 57

1 1 2 2 3 3 4 4 8 9 9 10 10 11 11 12 16 16 17 17 18 18 19 19 23 24 24 25 25 26 26 27 31 31 32 32 33 33 34 34 38 39 39 40 40 41 41 42 46 46 47 47 48 48 49 49 53 54 54 55 55 56 56 57

Echiquier 9*9  résultat 73

1 1 2 2 3 3 4 4 5 9 10 10 11 11 12 12 13 13 18 18 19 19 20 20 21 21 22 26 27 27 28 28 29 29 30 30 35 35 36 36 37 37 38 38 39 43 44 44 45 45 46 46 47 47 52 52 53 53 54 54 55 55 56 60 61 61 62 62 63 63 64 64 69 69 70 70 71 71 72 72 73