G152. Qui est le plus obtus des deux?

G152. Qui est le plus obtus des deux?

Q1 On donne un segment fixe AB de longueur d dans le plan Oxy et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P1) selon une loi de probabilités uniforme.

Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?

Q2 On donne un segment fixe AB de longueur d dans l'espace à 3 dimensions Oxyz et on considère la portion (P2) de l'espace qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P2) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?

Solution de Paul Voyer

Q1

Aire de P1 =

 

6

² 3 3 4  d

Aire (obtus) = 4

²

d

(aire du cercle de diamètre AB) Probabilité = ²





Q2

Volume de P2 = 12

³ 5d

(2*volume de la calotte sphérique de hauteur d/2) Volume (obtus) =

6

³

d

(volume de la sphère de diamètre AB) Probabilité = 2/5 = 0.4.