Lyc´ee Schuman Perret
Mars 2021 Divisibilit´e Term Maths expert
R´esoudre 7a+ 2b = 5
Une solution ´evidente esta= 1 et b =−1 On a donc 7×1 + 2×(−1) = 5
Par soustraction, on a : 7(a−1) + 2(b+ 1) = 0 donc 7(a−1) = 2(b+ 1)
or 7∧2 = 1 donc le th´eor`eme de Gauss donne : 7|b+ 1 donc il existe k∈Z tel que b+ 1 = 7k donc b=−1−7k donc 7(a−1) = 14k
donc a−1 = 2k donc a= 1 + 2k
Si (a, b) est solution alors a= 1 + 2k etb =−1−7k o`u k∈Z R´eciproquement :
Sia= 1 + 2k etb =−1−7k o`u k∈Z alors
7a+ 2b= 7(1 + 2k) + 2(−1−7k) = 7 + 14k−2−14k = 5 donc (a, b) est solution de l’´equation 7a+ 2b= 5
Toutes les solutions sont les (1 + 2k,−1−7k)
R´esoudre 154a+ 37b= 1
Trouver une solution particuli`ere n’est pas ´evident mais on dispose de plusieurs m´ethodes :
M´ethode 1 Utiliser un tableur pour ´ecrire les tables de 154 et de 37 et rechercher un ´ecart d’une unit´e.→ difficile `a lire
M´ethode 2 Tabuler tous les 1 la fonctiony= 1−15437x jusqu’`a trouver un y entier.→ cela peut ˆetre long
M´ethode 3 Utiliser la m´ethode de B´ezout→ rapide 154 = 37×4 + 6
37 = 6×6 + 1 6 = 6×1 + 0
On obtient : 1 = 37−6×6 puis 1 = 37−6×(154−77×4) donc 1 = 37×25−6×154 Puis on applique la m´ethode de l’exercice pr´ec´edent.
St´ephane Le M´eteil Page 1 sur 1
