G1916. Entrainement au basket ***
Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entrainer il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied.
Au cours de ses quatre premiers essais, il réussit trois d’entre eux.
Par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > 4) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Ainsi la probabilité de réussir le 5ème lancer est égale à 3/4 et s’il le réussit, la probabilité de réussir le 6ème lancer est égale à 4/5 et celle d’échouer à 1/5.
Q ₁ Déterminer la probabilité que Zig réussisse au moins huit lancers à l’issue de dix lancers (incluant les quatre premiers).
Q ₂ Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier ≥ 3) lancers à l’issue de n (entier > 4) lancers (incluant les quatre premiers).
Q ₃ Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de cent essais.
Q ₄ Pour les plus courageux : Zig réussit p lancers sur les q premiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > q) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de n essais (n > q).
Q1 :
Les séries suivantes répondent à la question :
1110111111 prob = 1/3 1110011111 prob = 1/24 1110101111 prob = 1/24 1110110111 prob = 1/24 1110111011 prob = 1/24 1110111101 prob = 1/24 1110111110 prob = 1/24
Pour une probabilité de 7 12
Q2 :
Les séries sont de la forme :
1110 suivis de 11100101010001....1101 ( (k-3) fois 1 et (n-k+1) fois 0 ) Donc prob = 3
4 ⋅ 4
5 .... ⋅ k−1
k ⋅ 1
k +1 ⋅ 2
k +2 ... ⋅ n−k −1
n−1 ⋅ C
n−4k−3= (k −1) ⋅(k− 2) ⋅ 3
(n−1)(n−2)(n−3)
Q3 :
Pour n=100
Espérance = ∑
k=3
99
(k −1) ⋅( k −2 ) ⋅ 3
99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ k = 75
Q4 :
prob réussir k paniers =
p
q ⋅ p1
q1 .... ⋅ k −1
q− p k −1 ⋅ q− p
k q− p ⋅ q− p1
k q− p1 ... ⋅ n−k −1
n−1 ⋅ C
n−qk−p= f n , k , p , q
Espérance = ∑
k=p n−(q−p)
f (n , k , p , q) ⋅ k
Espérance = ∑
k=p
n−(q−p)
( q−1) ! ⋅k ! ⋅( n−k −1) ! ⋅(n−q) !
( n − 1 ) ! ⋅( p − 1 ) ! ⋅( q − p − 1 ) ! ⋅( k − p ) ! ⋅( n − q − k + p ) !
Et il semble que :
Espérance = n ⋅ p
q
Quelques exemples qui confirment le denier résultat :
Annexes :
Programme Python pour vérifier Q1
from random import*
def fact(n):
p = 1
for i in range(1,n+1):
p=p*i return p
for kk in range(10):
cpt = 0
for k in range(200000):
ok = 3 pok = 1
tot = ok + pok
for i in range(10-tot):
a = random() if a <= ok/tot : ok = ok+1
else :
pok = pok+1 tot = ok + pok if ok >=8 : cpt = cpt+1
print(cpt/200000)
Résultats :
0.582725
0.582455
0.581535
0.583745
0.58388
0.58412
0.58545
0.582585
0.585075
0.5856
Programme Python pour vérifier Q3
from random import*
def fact(n):
p = 1
for i in range(1,n+1):
p=p*i return p
for kk in range(10):
tott=0 cpt = 0
for k in range(10000):
ok = 3 pok = 1
tot = ok + pok
for i in range(100-tot):
a = random() if a <= ok/tot : ok = ok+1
else :
pok = pok+1 tot = ok + pok tott=tott+ok
print("Espérance= ",tott/10000) Résultats :
Espérance= 75.0002
Espérance= 75.1554
Espérance= 75.1637
Espérance= 75.2209
Espérance= 75.1118
Espérance= 75.1534
Espérance= 75.0303
Espérance= 75.1735
Espérance= 74.9118
Programme Python pour vérifier Q4
from random import*
def fact(n):
p = 1
for i in range(1,n+1):
p=p*i return p somme = 0
nnn = [12,80,100]
for p in range(1,4):
for q in range(p+1,6):
for nn in nnn:
somme=0 n = nn
for k in range(p,n-q+p+1):
nb1 = fact(q-1)*fact(k)*fact(n-k-1)*fact(n-q)
nb2 = fact(n-1)*fact(p-1)*fact(q-p-1)*fact(k-p)*fact(n-q-k+p) nb3=nb1/nb2
somme=somme+nb3 #print(nb3)
print(n,p,q,round(somme,3),round(n*p/q,3))
Résultats :
12 1 2 6.0 6.0 80 1 2 40.0 40.0 100 1 2 50.0 50.0 12 1 3 4.0 4.0 80 1 3 26.667 26.667 100 1 3 33.333 33.333 12 1 4 3.0 3.0
80 1 4 20.0 20.0 100 1 4 25.0 25.0 12 1 5 2.4 2.4 80 1 5 16.0 16.0 100 1 5 20.0 20.0 12 2 3 8.0 8.0 80 2 3 53.333 53.333 100 2 3 66.667 66.667 12 2 4 6.0 6.0
80 2 4 40.0 40.0 100 2 4 50.0 50.0 12 2 5 4.8 4.8 80 2 5 32.0 32.0 100 2 5 40.0 40.0 12 3 4 9.0 9.0 80 3 4 60.0 60.0 100 3 4 75.0 75.0 12 3 5 7.2 7.2 80 3 5 48.0 48.0 100 3 5 60.0 60.0
Vérification de Q4 à l'aide du programme Q3 :
from random import*
def fact(n):
p = 1
for i in range(1,n+1):
p=p*i return p
for p in range(1,4):
for q in range(p+1,6):
for n in [12,80,100]:
tott=0 cpt = 0
for k in range(10000):
ok = p pok = q-p tot = ok + pok
for i in range(n-tot):
a = random() if a <= ok/tot : ok = ok+1 else :
pok = pok+1 tot = ok + pok tott=tott+ok
print("n = ",n," p = ",p," q = ",q," Espérance= ",tott/10000)
Résultats :
n = 12 p = 1 q = 2 Espérance= 6.0545 n = 80 p = 1 q = 2 Espérance= 39.9572 n = 100 p = 1 q = 2 Espérance= 49.2848 n = 12 p = 1 q = 3 Espérance= 4.0098 n = 80 p = 1 q = 3 Espérance= 26.8234 n = 100 p = 1 q = 3 Espérance= 33.4999 n = 12 p = 1 q = 4 Espérance= 3.0078 n = 80 p = 1 q = 4 Espérance= 20.0482 n = 100 p = 1 q = 4 Espérance= 24.7803 n = 12 p = 1 q = 5 Espérance= 2.4137 n = 80 p = 1 q = 5 Espérance= 15.8003 n = 100 p = 1 q = 5 Espérance= 20.0827 n = 12 p = 2 q = 3 Espérance= 7.99 n = 80 p = 2 q = 3 Espérance= 53.4081 n = 100 p = 2 q = 3 Espérance= 66.6811 n = 12 p = 2 q = 4 Espérance= 5.9926 n = 80 p = 2 q = 4 Espérance= 39.8383 n = 100 p = 2 q = 4 Espérance= 49.8223 n = 12 p = 2 q = 5 Espérance= 4.8208 n = 80 p = 2 q = 5 Espérance= 32.1511 n = 100 p = 2 q = 5 Espérance= 39.7104 n = 12 p = 3 q = 4 Espérance= 9.0228 n = 80 p = 3 q = 4 Espérance= 59.7197 n = 100 p = 3 q = 4 Espérance= 75.163 n = 12 p = 3 q = 5 Espérance= 7.205 n = 80 p = 3 q = 5 Espérance= 48.0829
