III. Développements limités

G.Hargé-S.Sidaner Niveau : Bac+1

Diculté : FàFF Durée : 3 heures

Rubrique(s) : Analyse .

Cette che a pour but de revoir et retravailler les développements limités.

Les deux thèmes abordés sont les équivalents et les développements limités avec des exercices d'application. Ils sont précédés de rappels concernant les limites de fonctions dénies sur une partie deRet à valeurs réelles ou complexes, ainsi que les limites des suites à valeurs réelles ou complexes. La partie de rappel sur les limites ne comporte pas d'exercices.

I. Rappels sur les limites

1. Voisinages

Soitx₀∈R∪ {−∞,+∞}(ce qu'on notera [−∞,+∞]). Dans la suite, on dira qu'une propriété dépendant d'un réelxest vraie au voisinage de x0,x0 exclus (ou sur un voisinage dex₀,x₀ exclu) si et seulement si elle est vraie pour :

• x ∈ ]x₀−r, x₀+r[ \ {x₀} avec un certain r > 0, si x₀ ∈ R (on ne demande donc pas que la propriété soit vraie en x0). Suivant le contexte, on se contentera des intervalles]x₀−r, x₀[(voisinage à gauche) ou]x0, x0+r[(voisinage à droite).

• x∈]−∞, A[avec un certain A∈R, six0 =−∞.

• x∈]A,+∞[avec un certain A∈R, six₀ = +∞.

Remarque : l'hypothèse "la propriétéP(x)est vraie pourxdans un voisinage de x0, x0 exclu" ne signie pas que P(x) est nécessairement fausse pour les autres valeurs de x. Cela signie juste que P(x) est vraie pour x au moins dans un voisinage dex0,x0 exclu.

2. Limites

Soientx0 ∈R, r >0 eth: ]x0−r, x0[→R(ouC). Rappelons la dénition de lim

x→x⁻₀

h(x) =`dans le cas où`∈R(ou`∈C) :

[∀ε >0,∃α >0,∀x∈]x₀−r, x₀[, x₀−α < x < x₀ ⇒ |h(x)−`|< ε].

Dans cette phrase mathématique, il est important de noter qu'on ne demande pas que l'inégalité |h(x)−l|< ε soit vériée pour x=x0. Dans cette notion de limite,xtend donc versx₀ par la gauche en étant diérent dex₀. La même remarque est valable pour la dénition de lim

x→x⁺₀

h(x) = l ainsi que pour celle de lim

x→x^±₀

h(x) =±∞.

En s'appuyant sur cette remarque, on introduit la dénition suivante.

Dénition : Soientx0 ∈Rethune application à valeurs réelles ou complexes dénie au voisinage de x₀, x₀ exclu. Avec une telle hypothèse, h peut être dénie enx₀ ou ne pas être dénie enx₀. Soit `∈[−∞,+∞]ou`∈C.

• Si le voisinage de x₀ sur lequel h est dénie est du type ]x0−r, x0+r[\ {x₀}, on dira que h tend vers l lorsque x tend vers x0, xdiérent de x0,si et seulement si

lim

x→x⁻₀

h(x) =l et lim

x→x⁺₀

h(x) =l, Sil∈Rou sil∈C, ceci équivaut à :

∀ε >0,∃α >0,∀x∈]x₀−r, x₀+r[,0<|x−x₀|< α⇒ |h(x)−l|< ε).

On note ceci : _x→xlim

0

x6=x0

h(x) =l.

• Si le voisinage de x0 sur lequel h est dénie est du type ]x0−r, x0[, l'expression_x→xlim

x6=x00

h(x) =l signiera lim

x→x⁻₀

h(x) =l.

• Si le voisinage de x0 sur lequel h est dénie est du type ]x0, x0+r[, l'expression_x→xlim

x6=x00

h(x) =l signiera lim

x→x⁺₀

h(x) =l. Exemple : Soith dénie par h(x) = 0 si x6= 0 eth(0) = 1. On a : lim

x→0x6=0

h(x) = 0 mais h n'admet pas de limite en 0 (c'est-à-dire que

x→0limh(x)n'existe pas) car h(0)6= 0 (faire un dessin).

Remarque : Dans ce rappel, on écrira lim

x→x0

x6=x₀

h(x) =lmême si x₀ peut valoir

−∞ ou +∞. Dans ce cas-là, il s'agira simplement de lim

x→−∞h(x) = l ou de

x→+∞lim h(x) =l .

II. Équivalents

1. Dénitions

• On dit que deux fonctions f et g (dénies au

voisinage de x₀, x₀ exclu) sont équivalentes en x0 ∈ [−∞,+∞] (notation : f ∼

x0 g) si et seulement si on peut trouverhdénie sur un voisinage de x₀, x₀ exclu, telle que :

x→xlim0

x6=x₀

h(x) = 1 et [f(x) =g(x)h(x) sur un voisinage dex₀,x₀ exclu] (C). Dans le cas où f et g sont dénies en x₀, on demande de plus que f(x₀) =g(x₀)(si l'une des deux fonctions est dénie enx₀et que l'autre ne l'est pas, on se contente de la condition(C)).

Dans le cas oùg ne s'annule pas au voisinage de x0,x0 exclu, on a :

f ∼

x0

g⇔







x→xlim0

x6=x₀

f(x) g(x) = 1

(f(x0) =g(x0) sif etg sont dénies enx0) .

• On dit que deux suites réelles ou complexes (un)_n∈N et (vn)_n∈N sont équivalentes au voisinage de +∞ (notation : un ∼

+∞vn) si et seulement si on peut trouver une suite(wn) dénie pournassez grand telle que :

n→+∞lim w_n= 1et [u_n=v_nw_n au voisinage de +∞]. Dans le cas oùv_n ne s'annule pas sur un voisinage de +∞, on a :

u_n ∼

+∞v_n⇔ lim

n→+∞

un

v_n = 1.

Dans toute la suite x0 ∈[−∞,+∞].

La méthode la plus utilisée pour trouver un équivalent d'une fonction f est de chercher une fonction g non nulle au voisinage dex0, x0 exclu, telle que

x→xlim0

x6=x0

f(x)

g(x) = 1 (de même pour les suites).

Une remarque à ne pas oublier :

De plus, lorsqu'on obtient dans un calcul :f ∼

x0

0 ouu_n ∼

+∞0, il y a de fortes chances que le calcul soit faux.

En eet,f ∼

x0

0 signief(x) = 0×h(x)au voisinage de x0(x0 exclu), c'est-à- dire :f(x) = 0 au voisinage de x0(x0 exclu), ce qui ne se produira pas car on ne vous demandera jamais de trouver un équivalent de la fonction nulle.

Lorsque vous voulez montrerf ∼

x0

gen travaillant surf(x)

g(x), vous devez toujours vérier au préalable queg ne s'annule pas au voisinage dex₀,x₀ exclu (même remarque pouru_n ∼

+∞v_n).

Remarque : Si une fonctionf dénie sur un intervalle[a,+∞[avec aréel a une limite nie`non nulle en+∞, on a alorsf ∼

+∞`. Par exemple la fonction f dénie sur R⁺ par f(x) = x

x+ 1 a pour limite1 en +∞ donc f ∼

+∞1; par contre, la fonction gsur R⁺ parg(x) = 1

x+ 1 a pour limite0 en+∞ et n'est pas équivalente à la fonction nulle.

2. Liste des équivalents à connaître : sinx∼

0 x; tanx∼

0 x;

1−cosx∼

0 x²

2 ; ln (1 +x)∼

0 x; e^x−1∼

0 x

ln (x)∼

1 x−1; pour α∈R : (1 +x)^α−1∼

0 αx.

SiP(x) =a_dx^d+a_d+1x^d+1+· · ·+a_nxⁿaveca_d6= 0eta_n6= 0 ((d, n)∈N² tel qued < n) alors :P(x)∼

0 a_dx^d et P(x)∼

∞a_nxⁿ.Une fonction polynomiale équivaut à son terme de plus bas degré en0et à son terme de plus haut degré en l'inni.

3. Propriétés

• Sif est dérivable enx₀ réel et sif⁰(x₀)6= 0 alors f(x)−f(x₀)∼

x0

f⁰(x₀) (x−x₀).

• Sif ∼

x0

get si_x→xlim

x6=x00

f(x) =l(l∈[−∞,+∞]ou l∈C)alors_x→xlim

x6=x00

g(x) =l (de même pour les suites).

• L'équivalence conserve les signes. On supposef ∼

x0

g, alors :

Sif est positive au voisinage de x₀ alorsg est positive au voisinage de x₀ (de même pour les suites).

Sif est négative au voisinage dex0 alorsg est négative au voisinage de x0 (de même pour les suites).

• Dansf g ou dans ^f_g, on peut remplacerf etgpar un équivalent.

On ne peut pas le faire dans f+g.

En voici un contre-exemple : soient les fonctionsf etgdénies surRpar f(x) =x−x² etg(x) =−x+x³; on a alorsf ∼

0 x,∼

0 −x et∼

0 x².

• Composition des équivalents par "l'intérieur", appelée substitution ou changement de variable : soitϕune fonction, sif ∼

x0

get si lim

t→t₀ϕ(t) =x0

alorsf ◦ϕ∼

t0

g◦ϕ (il s'agit d'une conséquence directe du théorème de composition des limites).

• Sif ∼

x0

g, si α∈Retn∈N^∗ alorsfⁿ ∼

x0

gⁿet|f|^α ∼

x0

|g|^α. Exemple : si lim

t→t0

ϕ(t) = 0alorsln (1 +ϕ(t))∼

t0

ϕ(t)(on a utilisé l'équivalence ln (1 +x)∼

0 x).

Remarque sur la composition des équivalents par "l'exté- rieur" : la régle générale est de se méer. La question est la sui- vante : si f ∼

x0

g, quand peut-on dire : ϕ ◦ f ∼

x0

ϕ ◦ g? Il existe des théorèmes dans des cas particuliers. Pour répondre à la ques- tion, utilisez la composition des limites pour déterminer la limite de ϕ◦ f / ϕ ◦ g. Les erreurs les plus fréquentes concernent les fonc- tions logarithme et exponentielle. En général : f ∼

x0

g ; lnf ∼

x0

lng etf ∼

x0

g;e^f ∼

x0

e^g (de même pour les suites).

Exemples :

Exemple 1 : Soient f(x) = _x+x¹ 2 etg(x) = ¹_x alorsf ∼

0 g mais x →e^f(x) et x→e^g(x) ne sont pas équivalentes en0.En eet :

f(x)

g(x) = x

x+x² = 1 1 +x →

x→01 donc f ∼

0 g.

D'autre part,e^f ete^g ne sont pas équivalentes en 0car :

exp (f(x))

exp (g(x)) =e^f(x)−g(x)=e

1 x+x2−¹

x

Or 1

x+x² − 1

x = −x²

x(x+x²) = −1 1 +x →

x→0−1 Ainsi : lim

x→0

exp (f(x))

exp (g(x)) =e⁻¹6= 1 (composition des limites). Exemple 2 : Siu_n ∼

+∞v_net si lim

n→+∞u_n= +∞alorslnu_n ∼

+∞lnv_n. En eet : un ∼

+∞ vn et lim

n→+∞un = +∞ donc lim

n→+∞vn = +∞. Par conséquent, à partir d'un certain rang,un etvn sont strictement positifs et lnvn 6= 0.

On peut donc écrire, pourn assez grand : lnun

lnv_n = ln

un

vn

+ ln (vn) ln (v_n) =

ln un

vn

ln (v_n) + 1.

Or lim

n→+∞ln un

vn

= 0et lim

n→+∞ln (vn) = +∞. D'où : lim

n→+∞

lnun

lnvn = 1 et donc lnu_n ∼

+∞lnv_n. 4. Mise en pratique

Exercice 1 (Recherche d'équivalents et de limites en 0).

Pour chacune de ces fonctionsf, donner un équivalent en0du numérateurN, du dénominateurD et en déduire la limite` def en0.

1. f(x) = sinx−tanx (e^x−1)²

2. f(x) = sinx+ cosx−tanx−1 x²

3. f(x) = cosx−p

cos(2x) sin²(x)

4. f(x) = e^sin(2x)−e^sin(x) tanx 5. f(x) = e^2x−ln(e+x)

x³+ sin(x) cos(x) 6. f(x) = (ln(cosx))²

x(sinx−tanx) Exercice 2 (Recherche d'équivalents et de limites ).

Pour chacune de ces fonctionsf, donner un équivalent enadu numérateurN, du dénominateurD et en déduire la limite` def ena

1. a > 0, f(x) =

√x−√ a+√

x−a

√

x²−a² (remarque : on ne travaille qu'à droite dea)

2. a= 1,f(x) = 1−x 1−p

1−cos(^πx₂ ) 3. a= π

3,f(x) = sin(x)−√

3 cos(x) 2 cos(x)−1

III. Développements limités

Les développements limités servent pour les approximations numériques, les recherches de limites et d'équivalents.

Soit la fonction sin dénie sur [−π, π]. Voici un graphe la représentant en noir avec ses premiers développements limités ; en bleu y = x− x³

6 ,en vert y=x−x³

6 + x⁵

120 et en rougey=x−x³ 6 + x⁵

120+ x⁷ 5040.

x y

-π −^π₂ ^π π

2

1

−1 0

1. Fonctions négligeables Dénitions :

• Soientf etg deux fonctions dénies au voisinage dex0,x0 exclu. On dit quefest négligeable devantgau voisinage dex₀ ∈[−∞,+∞](notation : f =

x0

o(g)) si et seulement si on peut trouver une fonction ε dénie au voisinage dex₀,x₀ exclu, telle que :

x→xlim0

x6=x0

ε(x) = 0 et [f(x) =g(x)ε(x) au voisinage dex₀,x₀ exclu]. Dans le cas où f et g sont dénies en x₀, on demande de plus que f(x₀) = 0.

Dans le cas où g ne s'annule pas au voisinage de x₀, x₀ exclu, on a f =

x0

o(g) équivaut à :

x→xlim₀

x6=x0

f(x)

g(x) = 0 (et, dans le cas où f etg sont dénies en x₀,f(x₀) = 0)].

• On considère deux suites réelles ou complexes (u_n)_n∈

N et (v_n)_n∈

N. On dit que un est négligeable devant vn au voisinage de +∞ (notation : u_n =

+∞ o(v_n)) si et seulement si on peut trouver une suite (w_n) dénie pournassez grand telle que : :

n→+∞lim w_n= 0 et [u_n=v_nw_n au voisinage de +∞]. Dans le cas oùv_n ne s'annule pas sur un voisinage de +∞, on a :

u_n =

+∞o(v_n)⇔ lim

n→+∞

un

v_n = 0.

Dans toute la suite x0 ∈[−∞,+∞]. Remarques importantes :

(i) On notera donco(g)une fonction qui vérie, dans le cas oùgne s'annule pas au voisinage dex0,x0 exclu :_x→xlim

0

x6=x0

o(g) (x) g(x) = 0.

(ii) L'égalité f(x) =

x0

o(xⁿ) signie qu'on peut écrire au voisinage de x₀, x₀ exclu : f(x) = xⁿε(x) avec

x→xlim0

x6=x0

ε(x) = 0.

En particulier,f(x) =

x0

o(1)signie :f(x) = 1×ε(x)avec_x→xlim

0

x6=x0

ε(x) = 0.

On a donc : _x→xlim

x6=x00

o(1) = 0.

(iii) De même, dans le contexte d'un travail sur les suites : lim

n→+∞o(1) = 0. Méthode générale :

Pour montrer quef =

x0

o(g), on vérie queg est non nulle au voisinage de x₀, x₀ exclu, et on calcule_x→xlim

x6=x00

f(x)/g(x) (de même pour les suites).

Propriétés :

• Si f =

x0

o(g) et si h est une fonction dénie au voisinage de x₀ alors hf =

x0

o(hg) (de même pour les suites).

• Si f₁ =

x0

o(g) et si f₂ =

x0

o(g) alors f₁+f₂ =

x0

o(g) (de même pour les suites).

• f ∼

x0

g⇔f =

x0

g+o(g)⇔g=

x0

f +o(f) (de même pour les suites).

• Sif ∼

x0

galorso(f) =o(g)au voisinage dex0 (de même pour les suites).

Cas particuliers :

• Pourp∈N^∗ etn∈N^∗, on a : x^n+p =

x→0o(xⁿ) etxⁿo(x^p) =

x→0o(x^n+p).

• Croissance comparée :

? dans l'étude de la limite en 0 ou en l'inni de x^α(lnx)^β, c'est x^α qui impose sa limite (siα6= 0) ;

? dans l'étude de la limite en l'inni de x^αe^x, c'est e^x qui impose sa limite.

Ecriture avec des quanticateurs :

Comme toute limite, la notion d'équivalence ou de négligeabilité peut s'écrire avec des quanticateurs, ce qui peut être utile dans des exercices techniques.

En voici quelques exemples :

• Soientf et g deux fonctions dénies sur]a, b[avec f =

b o(g). On a alors sibest réel :

∀ε >0,∃α >0, b−α < x < b=⇒ |f(x)|< ε|g(x)|

• De même, compte-tenu de la troisième propriété,f ∼

b g sib est réel :

∀ε >0, ∃α >0, b−α < x < b=⇒ |f(x)−g(x)|< ε|g(x)|

• Soientf et g deux fonctions dénies sur]a, b[avec f =

b o(g). On a alors sib= +∞:

∀ε >0, ∃A >0, x > A=⇒ |f(x)|< ε|g(x)|

On peut de même écrire l'équivalence de deux fonctions en+∞.

Les autres cas à droite de a, en un point,en −∞ ou l'équivalence de deux suites ou la négligeabilité d'une suite par rapport à une autre suite se traitent de manière analogue.

Dans toute la suite, x0 désigne un réel.

2. Dénitions d'un développement limité

Dénition : Soient n ∈ N et x₀ ∈ R. Soit f une fonction dénie sur un ensembleD(avecD⊂R) et à valeurs dansR(ouC). On noteUun ensemble du type]x0−ε, x0+ε[\ {x₀} ou]x0−ε, x0+ε[ou]x0, x0+ε[ou[x0, x0+ε[ou ]x₀−ε, x₀[ou]x₀−ε, x₀](avecε >0).On dit quef admet un développement limité à l'ordre n en x0 (en abrégé : unDLn(x0)) si et seulement si on peut trouver un ensemble de typeU contenu dansD et des réels (ou des complexes sif est à valeurs dans C) a₀, ..., a_n tels que pour tout x dansU :

f(x) =a0+a1(x−x0) +· · ·+an(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ). (∗) Si x₀ ∈ U, ceci signie en particulier que (∗) est vraie en x₀ et donc que f(x0) =a0.

Il est sous-entendu ici que o((x−x₀)ⁿ) est une fonction négligeable devant (x−x₀)ⁿ au voisinage de x₀. Si le contexte n'est pas clair, on pourra noter cette expression :

x→xo ₀((x−x₀)ⁿ).

a0+a1(x−x0) +· · ·+an(x−x0)ⁿs'appelle la partie régulière du développe- ment limité, o((x−x0)ⁿ)s'appelle le reste.

Remarque : Suivant six₀∈ U ou six₀ ∈ U/ , le DLpeut être valable enx₀ ou ne pas être valable en x0. Dans la suite, on emploiera le vocabulaire suivant (vocabulaire non standard mais compréhensible par tout le monde) :

(i) Si U = ]x₀, x₀+ε[ avec un certain ε >0, on dit que f admet un déve- loppement limité à droite en x0, x0 exclu.

(ii) Si U = [x₀, x₀+ε[ avec un certain ε >0, on dit que f admet un déve- loppement limité à droite en x0, x0 inclu.

(iii) De même pour des ensembles U du type]x₀−ε, x₀[ou]x₀−ε, x₀]. (iv) Si U = ]x0−ε, x0+ε[\ {x₀}avec un certain ε >0, on dit quef admet

un développement limité enx₀, x₀ exclu.

(v) Si U = ]x0−ε, x0+ε[ avec un certain ε > 0, on dit que f admet un développement limité enx₀, x₀ inclu.

Exemples :

(i) LeDL3(0)desinest :sinx=x−^x₆³+o x³

. CeDLest valable pourx dans tout intervalle du type]−ε, ε[(ε >0) donc en particulier en x= 0. Il s'agit donc d'un DL en0,0inclu.

(ii) On en déduit, pourx6= 0: ^sin_x^x = 1−^x₆² +o x²

. Il s'agit d'un DL₂(0) de la fonction :x7→ ^sin_x^x. CeDL est valable pourx dans tout ensemble du type ]−ε, ε[\ {0} (ε > 0) et il n'est pas valable en x = 0 (car ^sin_x^x n'est pas déni en0!). Il s'agit d'un DL en0,0exclu.

Dénition. Si f admet un développement limité à l'ordre n en x0, on peut toujours l'écrire sous la forme :

f(x0+h) =

h→0h^p(a0+a1h+· · ·+amh^m+o(h^m)) avec a06= 0 (n=m+p).

Cette écriture est appelée forme normalisée d'un développement limité. On a alors : f(x0+h) ∼

h→0a0h^p (cara0 6= 0).

Exemple : la forme normalisée duDL₃(0) desin est sinx=x

1−x²

6 +o x²

3. Premières propriétés

(i) Si f admet unDL_n(x₀) alors ce DLest unique.

(ii) Si f admet un DLn(0) du type f(x) =P(x) +o(xⁿ) avec P fonction polynomiale de degré au plus n et si f est une fonction paire, alors P est aussi une fonction paire, on en déduit que P ne contient que des puissances paires. De même, si f est impaire, P ne contient que des puissances impaires.

(iii) Si f admet un DLn(x0) de type (∗) avec n ≥ 1, alors f admet un DLn−1(x₀) donné par

f(x) =a0+a1(x−x0) +· · ·+an−1(x−x0)ⁿ⁻¹+o

(x−x0)ⁿ⁻¹

, c'est-à-dire qu'il sut d'enlever le dernier terme.

(iv) Dans le cas oùx₀ ∈ U, on a les équivalences suivantes : f admet unDL₀ enx₀, x₀ inclu ⇐⇒f est continue enx₀

f admet unDL0 à droite enx0, x0 inclu⇐⇒ f est continue à droite en x₀

f admet un DL0 à gauche en x0, x0 inclu ⇐⇒f est continue à gauche enx0

Rappelons que pour unDL de ce type :a₀=f(x₀).

De même :f admet unDL₁ enx₀, x₀ inclu ⇐⇒f est dérivable enx₀ f admet unDL1à droite enx0, x0 inclu ⇐⇒f est dérivable à droite en x₀

f admet un DL₁à gauche enx₀, x₀ inclu ⇐⇒ f est dérivable à gauche enx0

Dans ce cas,f⁰(x₀) =a₁.

(v) Dans le cas oùx₀ ∈ U/ et si f n'est pas dénie enx₀, on peut se servir de l'existence d'unDL₀(x₀) ou d'unDL₁(x₀) pour prolonger f enx₀.

• Supposons que f ne soit pas dénie en x₀ et que f admette un DL₀(x₀), x₀ exclu, donné par f(x) = a+o(1). On peut choisir alors de prolonger f en x0 en posant fe(x) = f(x) si x 6= x0 et fe(x₀) =a.feprolongef par continuité en x₀ car on a :

x→xlim₀

x6=x0

fe(x) = lim_x→x

x6=x00

f(x) = lim_x→x

x6=x00

[a+o(1)] =a=fe(x0).

• Supposons de plus quef admette unDL₁(x₀),x₀ exclu,donné par f(x) =a+b(x−x0) +o(x−x0). On prolonge comme précédem- ment f par continuité en x₀ en posant fe(x) = f(x) si x 6= x₀ et fe(x₀) = a. L'existence d'un DL₁(x₀) permet de montrer que ce prolongement est en réalité dérivable enx0. En eet :

x→xlim₀

x6=x0

fe(x)−fe(x₀)

x−x₀ = lim_x→x

x6=x00

f(x)−a

x−x₀ = lim_x→x

x6=x00

[b+o(1)] =b.

Doncfeest dérivable enx₀ et fe0

(x₀) =b.

(vi) Les propriétés 4 et 5 ne s'étendent pas aux DL d'ordres supérieurs ou égaux à deux sans hypothèse supplémentaire.

(vii) Le premier terme non nul d'un DLde f en x₀ donne un équivalent de f en x0 (il s'agit du premier terme non nul car il faut pouvoir diviser par ce terme pour trouver un équivalent).

Exemple important concernant l'utilisation de la propriété 4 : Considérons l'applicationf dénie par :

f(0) = 1 et f(x) = e^x−1

x si x6= 0.

Pourx∈R,e^x= 1 +x+^x₂² + o

x→0 x² .

On en déduit, pour x 6= 0 : f(x) = 1 +^x₂ + o

x→0(x). On constate, grâce à la dénition def en0, que ceDL₁ est aussi valable enx= 0. On en déduit, avec la propriété 4, quef est dérivable en0.

Considérons maintenant l'applicationg dénie par : g(0) = 2 et g(x) = e^x−1

x six6= 0.

On obtient, pourx6= 0:g(x) = 1 +^x₂+ o

x→0(x). On constate que ceDL₁ n'est pas valable enx= 0. On ne peut donc pas utiliser la propriété 4. De plus, sur cet exemple, on observe queg n'est pas dérivable en0 car elle n'est même pas continue en 0.

L'existence d'unDL₁ pour g en 0 ne permet donc pas d'en déduire queg est dérivable en 0.

Si on souhaite utiliser la propriété 4 pour montrer qu'une application est déri- vable enx₀, il faut s'assurer que leDL₁(x₀)obtenu est bien valable enx=x₀. 4. Théorème de Taylor-Young.

Le théorème de Taylor-Young ci-dessous concerne des fonctions qui sont dénies en x₀. Ce théorème permet donc d'armer l'existence d'un DL en x₀,x₀ inclu.

Théorème de Taylor-Young : SoitI un intervalle quelconque de R(I peut être ouvert, semi-ouvert ou fermé). Soientx₀ ∈I etn∈N. On considère une applicationf de classeCⁿ surI (f est à valeurs dans RouC). Alorsf admet unDLn(x0),x0 inclu, donné par :

∀x∈I, f(x) = Pn k=0

f^(k)(x0)

k! (x−x₀)^k+o((x−x₀)ⁿ).

Ce théorème permet d'obtenir tous les développements limités usuels en 0 (c'est-à-dire enx0 = 0).

Remarque : x₀ peut être à l'intérieur deI ou x₀ peut être une extrémité de I (tout en appartenant àI).

Une conséquence du théorème de Taylor-Young :

Si f est de classe Cⁿ sur un intervalle du type]x0−ε, x0]ou ]x0−ε, x0+ε[

ou[x₀, x₀+ε[(avecε >0) et si on connait par ailleurs unDL_n(x₀)donné par

f(x) =a₀+a₁(x−x₀) +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ), alors, par unicité duDL :∀k∈[[0, n]], a_k= ^f(k)_k!^(x0).

Attention à ne pas oublier le reste lorsque vous écrivez des dévelop- pements limités et à ne pas utiliser un signe ∼à la place du signe =.

L'assertion sinx ∼

x→0 x + 10x² est aussi vraie que sinx ∼

x→0 x − x⁴ ou sinx ∼

x→0x−x³ 6

Liste des développements limités en 0 à connaître :

e^x=

n

P

k=0 x^k

k! +o(xⁿ) (DL_n(0) de exp),

cosx=

n

P

k=0

(−1)^{k x}_(2k)!^2k +o x²ⁿ⁺¹

(DL2n+1(0) de cos),

sinx=

n

P

k=0

(−1)^{k x}_(2k+1)!^2k+1 +o x²ⁿ⁺²

(DL_2n+2(0) de sin),

chx=

n

P

k=0 x^2k

(2k)! +o x²ⁿ⁺¹

(DL2n+1(0) de ch),

shx=

n

P

k=0 x^2k+1

(2k+1)! +o x²ⁿ⁺²

(DL_2n+2(0) desh),

ln (1 +x) =

n

P

k=1

(−1)^k+1x_k^k +o(xⁿ) (DLn(0) de : x7→ln (1 +x)), Pourα∈R,DLn(0)de : x7→(1 +x)^α :

(1 +x)^α = 1 +αx+^α(α−1)_2! x²+· · ·+α(α−1)···(α−n+1)

n! xⁿ+o(xⁿ) Cas particuliers :

• α=−1

1 1+x =

n

P

k=0

(−1)^kx^k+o(xⁿ)

• α ∈ N^∗. Si α = p, an le coecient de xⁿ est an = α(p−1)···(p−n+1) n! ; il est donc nul pour n > p et vaut ⁿ_p

pour n ≤ p. On a pour n ≥ p : (1 +x)^p =

p

X

k=0

p k

x^k. Le reste est donc nul.

• On peut aussi en déduire lesDL_n(0) de √

1 +x (α = 1

2) et ^√_1+x¹ (α =

−1 2).

√1 +x= 1 +¹₂x+

n

P

k=2

(−1)^{k−1 1}×3×5×···×(2k−3)

2×4×6···×(2k) x^k+o(xⁿ)

√1

1+x = 1 +

n

P

k=1

(−1)^k1×3×5×···×(2k−1)

2×4×6···×(2k) x^k+o(xⁿ) 5. Opérations sur les développements limités

La connaissance des DL usuels et l'utilisation des règles de calculs sur les développements limités permettent de calculer la plupart des dévelop- pements limités. En dernier recours, on peut utiliser la formule de Taylor- -Young. Tous les théorèmes cités dans cette partie concernent uni- quement des développements limités en 0.

La première règle à retenir est la suivante :

Si l'on souhaite calculer grâce aux théorèmes ci-dessous le DL en 0 à l'ordre n d'une fonction h construite à l'aide d'un certain nombre de fonctions f₁, f₂, ..., on doit écrire les DL des fonctions f₁, f₂, ... à l'ordren en 0. Cette règle peut-être contournée dans certains cas en écrivant les DL sous forme normalisée mais il est conseillé de ne le faire que lorsqu'on a acquis une certaine dextérité.

Notation : si P ∈ C[X] et si n ∈ N, on appelle Troncature de P au degré n, et on note Troncn(P), la partie de P constituée des monômes de degrés inférieurs ou égaux à n.

Par exemple, si P = 2X + 5X² + X³ alors Tronc2(P) = 2X + 5X² et Tronc4(P) =P.

• Addition des DL (en0).

Si, sur un même voisinage de0,f(x) =P(x) +o(xⁿ)etg(x) =Q(x) + o(xⁿ) avec (P, Q)∈(Cn[X])² alors

f(x) +g(x) =P(x) +Q(x) +o(xⁿ).

• Produit des DL (en 0).

Si, sur un même voisinage de0,f(x) =P(x) +o(xⁿ)etg(x) =Q(x) + o(xⁿ) avec (P, Q)∈(Cn[X])² alors

f(x)g(x) =Troncn[P(x)Q(x)] +o(xⁿ).

• Composition des DL (en 0).

On suppose que sur un voisinage de0, notéV₁,f(x) =P(x) +o(xⁿ) et que sur un voisinage de0, notéV2,g(x) =Q(x) +o(xⁿ)(avec(P, Q)∈ (Cn[X])²). Si g(0) = 0 et si g(V₂) ⊂V₁ alorsf ◦g est bien dénie au voisinage de0 etf◦g admet unDLn(0) donné par :

f(g(x)) =Troncn[P(Q(x))] +o(xⁿ). Remarque :

g(0) = 0⇐⇒Q(0) = 0⇐⇒( le terme constant dansQest nul). Voici la méthode sur deux exemples :

(i) Calcul du DL₃(0)de exp (sinx).

Ici,g(x) = sinx et on a biensin (0) = 0.

LesDL3(0)de sinet de l'exponentielle sont : sinx=x−x³

6 +o x³

et exp(u) = 1 +u+u² 2 +u³

6 +o u³ . NotonsQ(x) =x−^x₆³.Le DL3(0)de exp (sinx)se calcule en rem- plaçant u parQ(x) dans la partie régulière du DL3(0)de exp (u) et en ne conservant que les termes de degrés inférieurs ou égaux à 3.

Le théorème arme qu'on peut écrire : exp(sinx) =Tronc3

"

1 +Q(x) + Q(x)²

2 +Q(x)³ 6

#

+o x³ .

Plus précisement, le théorème arme qu'on peut écrire o x³ à la n de la ligne précédente car on a écrit les DL de sin et exp à l'ordre3.

On en déduit :

exp (sinx) = 1 +x+ 1

2x²+o x³ .

Remarque 1 : On peut faire le calcul sous forme de tableau :

1 x x² x³

1 1

Q(x) 1 −1/6

Q²(x) 1

Q³(x) 1

exp(sin(x)) 1 1 1/2 −1/6 + 1/6 = 0 Remarque 2 : ici, le coecient du terme enx³ est nul.

(ii) Calcul du DL₃(0)de exp (cosx).

Ici, g(x) = cosx et cos (0)6= 0. On ne peut donc pas appliquer le théorème de composition. Sur ce cas particulier, on peut néanmoins calculer le DL3(0) de exp (cosx) de la façon suivante. Le DL3(0) decosx donne cosx= 1−^x₂² +o x³

.On peut donc écrire : e^cosx = exp

1−x²

2 +o x³

=e¹exp

−x²

2 +o x³

. On voit apparaîtreexp (g₁(x))avecg₁(x) =−^x₂²+o x³

.g₁est une application possédant unDL₃(0)et vériant de plusg₁(0) = 0. On peut donc appliquer àexp (g1(x))la méthode utilisée dans l'exemple précédent. On pose donc Q(x) = −^x₂² et on remplace u par Q(x) dans la partie régulière duDL3(0)deexpu.On peut armer qu'on obtient bien ainsi leDL3(0)deexp (g1(x))car on utilise lesDL3(0) deexp (u) et deg₁(x).D'où :

exp

−x²

2 +o x³

=Tronc3

"

1 +Q(x) +Q(x)²

2 +Q(x)³ 6

#

+o x³

= 1−x²

2 +o x³ . On en déduit :

e^cosx=e−ex²

2 +o x³ .

• Inversion d'un DL (en0).

Si, sur un voisinage de0, f(x) =P(x) +o(xⁿ) (avecP ∈Cn[X]) et si f(0)6= 0 , alors 1/f admet unDLn(0)sur le même voisinage de 0. Remarque : f(0) 6= 0 ⇔ P(0) 6= 0 ⇔ (le terme constant de P est non nul).

On procède de la façon suivante. On part de :

f(x) =a0+a1x+a2x²+· · ·+anxⁿ+o(xⁿ) , avec a06= 0.

D'où :

1 f(x) = 1

a0

1 1 +^a_a¹

0x+· · ·+^a_aⁿ

0xⁿ+o(xⁿ). On poseQ(x) = ^a_a¹

0x+· · ·+^a_aⁿ

0xⁿet on utilise le théorème de composition avec le DLn(0)de _1+u¹ :

1 1 +u =

n

X

k=0

(−1)^ku^k+o(uⁿ).

Dans la partie régulière de ce DL, on remplace u par Q(x). Cette dé- marche est légitime carQ(0) = 0. D'où :

1

f(x) = 1

a0Troncn

" _n X

k=0

(−1)^kQ(x)^k

#

+o(xⁿ).

Lorsquef(0) = 0, on peut adapter cette technique. Comme on va le voir sur l'exemple suivant, on n'obtient pas un développement limité mais ce qu'on appelle un développement asymptotique (ou généralisé).

Exemple DL3(0)de x/sinx.

Cette fonction est l'inverse def1 :x7→ sin(x)

x prolongée par continuité en0. En utilisant la forme normalisée du DL de sin, on obtient :

f₁(x) = 1−x²

6 +o x²

On a bienf₁(0)6= 0. On peut donc appliquer la méthode d'inversion à 1/f1(x).

sin étant développable à tout ordre, il en est de même de f1. De plus f₁ étant paire, les parties régulières des développements limités d'ordre

2 et 3 sont les mêmes. On se limite donc à l'ordre 2.f₁ est connue par son DL2(0). En utilisant le DL2(0) de _1+u¹ , on obtient le DL2(0) de 1/f₁(x) (on remplace u par Q(x) = −x²/6 dans la partie régulière du DL₂(0)de _1+u¹ ) :

1

1−^x₆² +o(x²) = 1 +x²

6 +o x² .

On a donc par parité de la fonction x

sinx = 1

1−^x₆² +o(x³) = 1 +x²

6 +o x³ Exemple : Développement de 1/sinx en 0.

On ne peut pas utiliser la méthode d'inversion d'un DL carsin (0) = 0 mais 1

sin(x) = 1 x

x

sin(x), d 'où : 1 sinx = 1

x+x

6 +o x² .

On a obtenu ce qu'on appelle le développement asymptotique de1/sinx à l'ordre 2 en 0 (remarquer la diérence entre l'ordre 3 pris pour sin et celui obtenu à la n).

• DL d'un quotient (en0).

On calcule leDL de f /gen calculant leDL de f×1/g.

Exemple : Développement de tan(x) à l'ordre 3 en0. Commecos(x) = 1−x²

2 +o(x³) : 1

cos(x) = 1

1−x²

2 +o(x³)

= 1 +x²

2 +o(x³)

Commetan(x) = sin(x) cos(x) : tan(x) =

x−x³

6 +o(x³) 1 +x²

2 +o(x³)

=x+

1 2 −1

6

x³+o(x³)

soittan(x) =x+x³

3 +o(x³).

Si on avait voulu calculer le développement decosx/sinxen0, on aurait obtenu un développement asymptotique. La fonction cos/sin n'admet pas de développement limité en0.

• Intégration des développements limités

On suppose que f est dérivable sur ]x0−r, x0+r[ ou [x0, x0+r[ ou ]x₀−r, x₀] (avec un certain r >0). Si f⁰ admet un DL_n(x₀), x₀ inclu, du type :

f⁰(x) =a₀+a₁(x−x₀)+a₂(x−x₀)²+· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ), alorsf admet unDL_n+1(x₀),x₀ inclu, donné par

f(x) =f(x₀)+a₀(x−x₀)+a₁(x−x₀)²

2 +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ⁺¹ n+ 1 +o

(x−x₀)ⁿ⁺¹ . On peut retrouver ainsi leDL en0 de la fonction :x7→ln (1 +x).

1 1 +x =

n

X

k=0

(−1)^kx^k+o(xⁿ)

⇒ln (1 +x) = ln (1) +

n

X

k=0

(−1)^k x^k+1

k+ 1+o xⁿ⁺¹ .

On peut aussi trouver le DL en 0 de arctan et de arcsin grâce à : (arctan)⁰(x) =_1+x¹ 2 et(arcsin)⁰(x) = ^√_1−x¹ ₂ :

arctan(x) =

n−1

P

k=0

(−1)^{k x}_2k+1^2k+1 +o(x²ⁿ) arcsin(x) =x+

n

P

k=1

1×3×5×···×(2k−1) 2×4×6···×(2k) x^2k+1

2k+1 +o(x²ⁿ⁺¹)

Remarque : On suppose connu le développement limité d'ordrendef en x0. Si on sait que quef est dérivable sur]x0−r, x0+r[et quef⁰ admet unDLn−1(x₀), alors on l'obtient en dérivant celui de f.

6. Méthodes de calculs rapides de développements limités Les exemples donnés ici montrent comment accélérer le calcul d'un dévelop- pement limité. Les deux premiers exemples sont fondamentaux. La technique

utilisée dans le troisième exemple doit être manipulée avec précaution. En par- ticulier, il est déconseillé de se servir de cette méthode si vous n'êtes pas sûr de vous.

(i) Recherche du DL5(0) de (sinx)³.

Si on applique la règle générale indiquée au début du paragraphe 5., on doit utiliser leDL à l'ordre 5 de sin en 0. Sur ce cas particulier, on va voir que leDLà l'ordre3 sut.

Grâce au DL de sin, on peut écrire : sinx= xh(x) (forme normalisée) oùh admet unDL en 0à tout ordre de premier terme non nul.

On a donc : (sinx)³ = x³(h(x))³. Par conséquent, pour obtenir le DL5(0) de (sinx)³, il sut d'avoir le DL2(0) de (h(x))³. D'après la règle sur le produit, il sut donc d'écrire le DL₂(0) de h(x). Cela signie donc qu'on peut se contenter du DL₃(0) de sin. D'où comme sinx=x−^x₆³ +o x³

(sinx)³ =

x−x³

6 +o x³ 3

=x³

1−x²

6 +o x² 3

, (ici,h(x) = 1−^x₆² +o x²

).

On applique deux fois la règle sur le produit des DL :

1−x²

6 +o x² 2

=

1−x²

6 +o x²

1−x²

6 +o x²

= Tronc2

1−x²

6 2!

+o x²

= 1−x²

3 +o x² . On obtient bien un DL à l'ordre 2 car on a utilisé deux DL à l'ordre 2.

On continue :

1−x²

6 +o x² 3

=

1−x²

6 +o x² 2

1−x²

6 +o x²

= Tronc2

1−x²

3 1−x² 6

+o x²

= 1−x²

2 +o x² .

Bien entendu, on eectue toujours ce calcul de façon plus rapide en écri- vant directement :

1−x²

6 +o x² 3

()= Tronc2

1−x²

6 3!

+o x²

= 1−x²

2 +o x² .

Remarque : l'égalité()ci-dessus est légitime car elle s'obtient en réalité en utilisant deux fois de suite la règle sur le produit des DL, comme on vient de le voir.

On en déduit :

(sinx)³ =x³

1−x²

2 +o x²

=x³−x⁵

2 +o x⁵ .

(ii) Exemple important : recherche duDLm(0)de(e^x−1)^m oùmest un entier xé non nul.

On peut écrire, en utilisant le DL de e^x : e^x−1 = xh(x) où h admet un DL en 0 à tout ordre. On a donc : (e^x−1)^m = x^m(h(x))^m. Par conséquent, pour obtenir le DL_m(0) de (e^x−1)^m, il sut d'écrire le DL₀(0)de h(x), c'està-dire leDL₁(0)de e^x. D'où :

(e^x−1)^m= (x+o(x))^m =x^m(1 +o(1))^m.

On applique la règle sur le produit des DL. L'expression : 1 +o(1) est un DL à l'ordre0 donc (1 +o(1))^m donne un DL à l'ordre0 :

(1 +o(1))^m=Tronc0(1^m) +o(1) = 1 +o(1). D'où :

(e^x−1)^m =x^m(1 +o(1)) =x^m+o(x^m).

Si on avait utilisé directement la règle sur le produit des DL, on aurait écrit leDL_m(0)de e^x,ce qui donne :

(e^x−1)^m =

m

X

k=1

x^k

k! +o(x^m)

!m

=Troncm

_m X

k=1

x^k k!

!m!

+o(x^m) =...

Remarque : sim est une fonction de x, on doit procéder autrement. On a utilisé ici la règle sur le produit de deux fonctions, qu'on a généralisée à un produit demfonctions, car mest un entier xé.Pour déterminer leDLde (e^x−1)^g(x), on est obligé d'écrire :

(e^x−1)^g(x)= exp (g(x) ln (e^x−1)) et d'utiliser les DL deg, de lnet de exp.

(iii) Recherche du DL₅(0) de cos (sinx). Cet exemple est destiné à ceux qui maîtrisent bien les DL et qui souhaitent comprendre complètement les méthodes de simplications.

On peut appliquer àcos (sinx) la méthode de calcul du DL d'une com- posée de fonctions carsin (0) = 0.

A priori, on doit écrire lesDL decos etsinà l'ordre5. On sait quecosx= 1−^x₂²+^x₂₄⁴+o x⁵

. On voit donc apparaître(sinx)² et(sinx)⁴. On va utiliser la technique présentée dans les deux exemples précédents :

sinx=xh(x) donc (sinx)²=x²(h(x))² et (sinx)⁴ =x⁴(h(x))⁴. Pour obtenir(sinx)² à l'ordre5, il sut d'écrire(h(x))²à l'ordre3donc h(x)à l'ordre3. On a donc besoin desinx à l'ordre4, c'est-à-dire de :

sinx=x−x³

6 +o x⁴

=x

1−x²

6 +o x³

. On a gagné un terme par rapport auDL₅(0)de sin.

Le calcul donne alors : (sinx)² = x²

1−x²

6 +o x³ 2

=x² Tronc3

1−x²

6 2!

+o x³

!

= x²

1−x²

3 +o x³

=x²−x⁴

3 +o x⁵ .

Pour obtenir(sinx)⁴ à l'ordre5, il sut d'écrire(h(x))⁴à l'ordre1donc h(x)à l'ordre1. On a donc besoin desinx à l'ordre2, c'est-à-dire de :

sinx=x+o x²

=x(1 +o(x)). Le calcul donne :

(sinx)⁴=x⁴(1 +o(x))⁴ =x⁴ Tronc1 1⁴

+o(x)

=x⁴(1 +o(x)) =x⁴+o x⁵ . D'où nalement :

cos (sinx) = 1−1 2

x²−x⁴ 3

+ 1

24x⁴+o x⁴

= 1−x² 2 + 5

24x⁴+o x⁴ . On remarque que la partie régulière du développement limité est paire, ce qui est attendu puisque la fonction initiale l'est.

7. Développement limité en x₀ réel

Pour calculer leDL_n(x₀)def six₀ est réel , on calcule leDL_n(0)degdénie parg(h) =f(x0+h). On obtient comme f(x) =g(x−x0) :

g(h) = a₀+a₁h+a₂h²+· · ·+a_nhⁿ+o(hⁿ)

⇒f(x) = a₀+a₁(x−x₀) +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ). soit f(x) =

n

X

k=0

a_k(x−x₀)^k+o((x−x₀)ⁿ).

8. Développements asymptotiques (ou généralisés) en +∞ ou en −∞

On se ramène à une étude en0 : pour calculer le développement généralisé de f six₀ est inni, on calcule le DL_n(0)de g(h) =f

1 h

. On obtient : g(h) = a0+a1h+a2h²+· · ·+anhⁿ+o(hⁿ)

⇒f(x) = g 1

x

=a0+a1

x + a2

x² +· · ·+ an

xⁿ +o 1

xⁿ

.

• Exemple en+∞ :

√

1 +x=√ x

r 1 +1

x (x >0quand x→+∞) On utilise : √

1 +u= 1 +1 2u−1

8u²+ o

u→0 u² . D'où :

√1 +x = √ x

1 + 1

2x − 1 8x² +o

1 x²

= √

x+ 1 2√

x − 1 8x√

x +o 1

x√ x

.

Ici :o

1 x√ x

désigne une quantité négligeable devant _x^√1_x lorsquextend vers+∞.

On a bien : −_8x^1√_x = o 1

2√ x

et ₂^√1_x = o(√

x). Les termes sont bien rangés dans l'ordre du plus prépondérant au plus négligeable.

Remarque : on ne peut pas chercher de développement asymptotique de

√1 +x en −∞car √

1 +x n'est pas déni pour x <−1.

• Exemple en−∞ :

√1−x = √

−x r

1− 1

x (x <0 quandx→ −∞)

= √

−x− 1 2√

−x − 1 8x√

−x +o 1

x√

−x

. On a utilisé : √

1−u= 1−1 2u−1

8u²+ o

u→0 u² .

• Développement asymptotique deu_n= ^ln(^n+√n2+1)

n(lnn)² quand ntend vers+∞ :

Commeln

n+√ n²+ 1

= ln

n

1 + q

1 +_n¹2

,on a alors :

ln

n+p n²+ 1

= lnn+ ln 1 + r

1 + 1 n²

!

= lnn+ ln

1 + 1 + 1 2n² − 1

8n⁴ +o 1

n⁴

= lnn+ ln

2 + 1 2n² − 1

8n⁴ +o 1

n⁴

ln n+p

n²+ 1

= lnn+ ln 2 + ln

1 + 1

4n² − 1 16n⁴ +o

1 n⁴

=

(?) lnn+ ln 2 + 1

4n² − 1 16n⁴ −1

2 1

4n² 2

+o 1

n⁴

= lnn+ ln 2 + 1

4n² − 3 32n⁴ +o

1 n⁴

. D'où :

u_n= 1

nlnn + ln 2

n(lnn)² + 1

4n³(lnn)² − 3

32n⁵(lnn)² +o

1 n⁵(lnn)²

Remarques :

(i) Dans ce développement asymptotique, les termes sont bien rangés du plus prépondérant au plus négligeable car :

3

32n⁵(lnn)² =o

1 4n³(lnn)²

, 1

4n³(lnn)² =o

ln 2 n(lnn)²

et ln 2 n(lnn)² =o

1 nlnn

.

(ii) Pour(?), on a utiliséln (1 +x) =x−^x₂² +o x² avec x=xn= 1

4n² − 1 16n⁴ +o

1 n⁴

. La suite(x_n)_n∈

N^∗ tend bien vers 0 quandntend vers +∞. De plus :xn ∼

n→+∞

1

4n² donc o x²_n

=o _n¹4

, ce qui justie(?). 9. Mise en pratique :

Exercice 3 (Développements limités en 0).

Eectuer les développements limités des expressions suivantes en 0 à l'ordren:

1. n= 4 1−x

√1 +x; 2. n= 5 ln(1 +x) 1 +x ; 3. n= 4 ln

2−x² 3−x

.

4. n= 4 x

e^x−1; 5. n= 4 (1 + sin(x))^1x; 6. n= 4 1

x² − 1 (arcsin(x))²;

Exercice 4 (Etude au voisinage de0 de f(x) = arcsin(1−x²)).

Soitf(x) = arcsin(1−x²).

1. Montrer que f admet un développement limité à l'ordre 3 en 0⁺ (à droite de0) et le calculer.

2. Montrer que f admet un développement limité à l'ordre 3 en 0⁻ (à gauche de0) et le calculer.

3. f admet-elle un développement limité à l'ordre 3 en 0? Exercice 5.

Déterminer les réelsaetbpour quef(x) = arcsin(x)−x+ax³

1 +bx² soit en0 un inniment petit d'ordre maximal. Pour ces valeurs, donner l'équivalent def(x) en0.