Opérations sur les développements limités
Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1
Développements limités Opérations sur les développements limités
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f etg deux fonctions définies surIet admettant chacune un développement limité d’ordre nen 0 :
f(x) =Pn(x) +◦(xn) g(x) =Qn(x) +◦(xn)
Somme : f+gadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est le somme de ceux def etg.
Produit : fgadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le produitPnQn.
Composition : sig(0) =0,f◦gadmet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le polynôme composéPn◦Qn.
Développements limités Opérations sur les développements limités
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f etg deux fonctions définies surIet admettant chacune un développement limité d’ordre nen 0 :
f(x) =Pn(x) +◦(xn) g(x) =Qn(x) +◦(xn)
Somme : f+gadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est le somme de ceux def etg.
Produit : fgadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le produitPnQn.
Composition : sig(0) =0,f◦gadmet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le polynôme composéPn◦Qn.
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f etg deux fonctions définies surIet admettant chacune un développement limité d’ordre nen 0 :
f(x) =Pn(x) +◦(xn) g(x) =Qn(x) +◦(xn)
Somme : f+gadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est le somme de ceux def etg.
Produit : fgadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le produitPnQn.
Composition : sig(0) =0,f◦gadmet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le polynôme composéPn◦Qn.
Développements limités Opérations sur les développements limités
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f etg deux fonctions définies surIet admettant chacune un développement limité d’ordre nen 0 :
f(x) =Pn(x) +◦(xn) g(x) =Qn(x) +◦(xn)
Somme : f+gadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est le somme de ceux def etg.
Produit : fgadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le produitPnQn.
Composition : sig(0) =0,f◦gadmet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le polynôme composéPn◦Qn.
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Somme :
xlim→0
f(x)−Pn(x) +g(x)−Qn(x) xn
=lim
x→0
f(x)−Pn(x) xn
+lim
x→0
g(x)−Qn(x) xn
=0
Donc :
f(x) +g(x) =Pn(x) +Qn(x) +◦(xn)
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Somme :
xlim→0
f(x)−Pn(x) +g(x)−Qn(x) xn
=lim
x→0
f(x)−Pn(x) xn
+lim
x→0
g(x)−Qn(x) xn
=0 Donc :
f(x) +g(x) =Pn(x) +Qn(x) +◦(xn)
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Produit :
Proposition :Siφest une fonction bornée au voisinage de 0 etψune fonction négligeable devantxnen 0, la fonction produit :φψest négligeable devantxnen 0.
É φbornée au voisinage de 0 ∃M,∀x∈I30 |φ(x)| ≤M É ψnégligeable devantxnen 0 lim
x→0
ψ(x) xn =0 É |φ(x)ψ(x)|
|xn|
≤M|ψ(x)|
|xn| →0 six→0
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Produit :
Proposition :Siφest une fonction bornée au voisinage de 0 etψune fonction négligeable devantxnen 0, la fonction produit :φψest négligeable devantxnen 0.
É φbornée au voisinage de 0 ∃M,∀x∈I30 |φ(x)| ≤M
É ψnégligeable devantxnen 0 lim
x→0
ψ(x) xn =0 É |φ(x)ψ(x)|
|xn|
≤M|ψ(x)|
|xn| →0 six→0
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Produit :
Proposition :Siφest une fonction bornée au voisinage de 0 etψune fonction négligeable devantxnen 0, la fonction produit :φψest négligeable devantxnen 0.
É φbornée au voisinage de 0 ∃M,∀x∈I30 |φ(x)| ≤M É ψnégligeable devantxnen 0 lim
x→0
ψ(x) xn =0
É |φ(x)ψ(x)|
|xn|
≤M|ψ(x)|
|xn| →0 six→0
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Produit :
Proposition :Siφest une fonction bornée au voisinage de 0 etψune fonction négligeable devantxnen 0, la fonction produit :φψest négligeable devantxnen 0.
É φbornée au voisinage de 0 ∃M,∀x∈I30 |φ(x)| ≤M É ψnégligeable devantxnen 0 lim
x→0
ψ(x) xn =0 É |φ(x)ψ(x)|
|xn|
≤M|ψ(x)|
|xn| →0 six→0
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Produit :
Proposition :Siφest une fonction bornée au voisinage de 0 etψune fonction négligeable devantxnen 0, la fonction produit :φψest négligeable devantxnen 0.
É φbornée au voisinage de 0 ∃M,∀x∈I30 |φ(x)| ≤M É ψnégligeable devantxnen 0 lim
x→0
ψ(x) xn =0 É |φ(x)ψ(x)|
|xn| ≤M|ψ(x)|
|xn|
→0 six→0
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Produit :
Proposition :Siφest une fonction bornée au voisinage de 0 etψune fonction négligeable devantxnen 0, la fonction produit :φψest négligeable devantxnen 0.
É φbornée au voisinage de 0 ∃M,∀x∈I30 |φ(x)| ≤M É ψnégligeable devantxnen 0 lim
x→0
ψ(x) xn =0 É |φ(x)ψ(x)|
|xn| ≤M|ψ(x)|
|xn| →0 six→0
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
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Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
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Développements limités Opérations sur les développements limités
Il suffit de montrer que les restes de Taylor de la somme, du produit et de la composition des fonctions sont négligeables devantxn.
Développements limités Opérations sur les développements limités
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f etg deux fonctions définies surIet admettant chacune un développement limité d’ordre nen 0 :
f(x) =Pn(x) +◦(xn) g(x) =Qn(x) +◦(xn)
Somme : f+gadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est le somme de ceux def etg.
Produit : fgadmet un développement limité d’ordrenen 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le produitPnQn.
Composition : sig(0) =0,f◦gadmet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux àndans le polynôme composéPn◦Qn.
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – suite...
É ch(x) =e
x+e−x 2
=1+x
2
2! +· · ·+ x
2n
(2n)!+◦(x2n)
É sh(x) = e
x−e−x 2
=x+x
3
3! +· · ·+ x
2n+1
(2n+1)!+◦(x2n+1)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – suite...
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – suite...
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – suite...
É ch(x) =e
x+e−x
2 =1+x
2
2! +· · ·+ x
2n
(2n)!+◦(x2n)
É sh(x) = e
x−e−x 2
=x+x
3
3! +· · ·+ x
2n+1
(2n+1)!+◦(x2n+1)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – suite...
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – suite...
Développements limités Opération sur les développements limités – suite...
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f une fonctionn−1-fois dérivable sur Iet dont la dérivée n-ième existe en 0.
Soit Pnle polynôme de Taylor de f en 0 etRnson reste.
Toute primitive def admet un développement limité d’ordre n+1 en 0 dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f.
Admis sans démonstration.
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Développements limités Opération sur les développements limités – suite...
Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f une fonctionn−1-fois dérivable sur Iet dont la dérivée n-ième existe en 0.
Soit Pnle polynôme de Taylor de f en 0 etRnson reste.
Toute primitive def admet un développement limité d’ordre n+1 en 0 dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f.
Admis sans démonstration.
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Théorème :Soit nun entier etIun intervalle contenant 0.
Soit f une fonctionn−1-fois dérivable sur Iet dont la dérivée n-ième existe en 0.
Soit Pnle polynôme de Taylor de f en 0 etRnson reste.
Toute primitive def admet un développement limité d’ordre n+1 en 0 dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f.
Admis sans démonstration.
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x
=−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x
=x−x22 +x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x
=−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x
=x−x22 +x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1−x)−1=1+x+x2+· · ·+xn+◦(xn)
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x
=x−x22 +x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1−x)−1=1+x+x2+· · ·+xn+◦(xn)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x
=x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x
=x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1−x)−1=1+x+x2+· · ·+xn+◦(xn)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x
=x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1−x)−1=1+x+x2+· · ·+xn+◦(xn) (1+x)−1=1−x+x2+· · ·+ (−1)nxn+◦(xn)
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x =x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1−x)−1=1+x+x2+· · ·+xn+◦(xn) (1+x)−1=1−x+x2+· · ·+ (−1)nxn+◦(xn)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x =x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x =x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1+x)−1=1−x+x2+· · ·+ (−1)nxn+◦(xn)
(1+x2)−1=1−x2+x4+· · ·+ (−1)nx2n+◦(x2n)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x =x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2
=x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1+x)−1=1−x+x2+· · ·+ (−1)nxn+◦(xn) (1+x2)−1=1−x2+x4+· · ·+ (−1)nx2n+◦(x2n)
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x =x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2 =x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
(1+x)−1=1−x+x2+· · ·+ (−1)nxn+◦(xn) (1+x2)−1=1−x2+x4+· · ·+ (−1)nx2n+◦(x2n)
Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
É ln(1−x) =−R 1−1x =−x−x22 −x33 − · · · −x
n+1
n+1+◦(xn+1)
É ln(1+x) =R 1+1x =x−x22+x33 +· · ·+ (−1)n x
n+1
n+1 +◦(xn+1)
É arctanx=R 1
1+x2 =x−x33+x
5
5 +· · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+1+◦(x2n+1)
É arcsin=R p 1 1−x2
=x+12x33+· · ·+1×3×···×(2×4×···×22n−1n )x2
n+1
2n+1+◦(x2n+1)
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
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Développements limités Développements limités des fonctions usuelles – fin
Développements limités Quelques exemples