3. Exercices sur les séries numériques

UNS Compléments d'algèbre et d'analyse L2 2016-2017

3. Exercices sur les séries numériques

Exercice 3.1 Convergence des suites et convergence des séries

Soit(un)_n∈Nune suite de nombres complexes. Montrer que la sériePun+1−un converge si et seulement si la suite(un)_n∈Nconverge.

Exercice 3.2 Séries géométriques Soita∈C. Montrer que la sérieP

aⁿ converge si et seulement si|a|<1. Exercice 3.3 Séries à termes positifs

Étudier la convergence des séries à termes positifs suivantes. 1.P

n≥1exp(_n¹); 2.P

sin(₂¹n); 3.P

ln(1 +^√_n+1¹ ); 4.P 4n+3

n³+4n²+1; 5.P

n≥1

2+(−1)ⁿ n² . Exercice 3.4 Séries de Riemann

Soitα∈R. On veut étudier la convergence de la sérieP

n≥1 1 n^α. 1. Dans quels cas cette série diverge-t-elle grossièrement ?

2. On suppose dans cette question queα >0. Montrer que, pour tout entiern≥2, Z n+1

n

dt t^α ≤ 1

n^α ≤ Z n

n−1

dt t^α. 3. En déduire que la série P 1

n^α converge si et seulement siα >1. Exercice 3.5 Séries de Bertrand

Dans cette exercice, on souhaite étudier les séries de la forme P

n≥2 1 n^αln(n)^β.

1. En comparant le terme général de cette série avec le terme général d'une série de Riemann, montrer que cette série converge siα >1et diverge siα <1.

2. En utilisant la même méthode que dans l'exercice 3.4, montrer que la série diverge si α= 1et β≤1 et converge siα= 1etβ >1.

Exercice 3.6 Séries de complexes

Parmi les séries numériques suivantes, lesquelles convergent absolument ? Lesquelles convergent ? 1.P

n≥1 cos(n)

n² ; 2.Peⁱⁿ(0,5)ⁿ; 3.P

n≥1 (−1)ⁿ

√n . Démonstration des propriétés du cours

Exercice 3.7 Généralités sur la convergence des séries SoitP

an une série de complexes.

1. On suppose que la sérieP

an converge. Montrer que limn→+∞an= 0. 2. SoitP

bnune série de complexes telle que l'ensemble{n∈N, an 6=bn}est ni. Montrer que la sérieP

an converge si et seulement si la sérieP

bn converge.

Exercice 3.8 Séries à termes positifs

1. Soit(un)_n∈Nune suite croissante de nombres réels. Montrer que, si la suite(un)_n∈Nest majorée, alors elle converge vers s= sup{un, n∈N}.

2. Montrer que, si la suite(un)_n∈Nn'est pas majorée, alorslim_n→+∞un = +∞. 3. SoitP

anune série de réels positifs. Montrer que la sérieP

anconverge si et seulement si la suite(PN

n=0an)N∈Nest majorée. Dans le cas contraire, montrer quelim_N→+∞PN n=0an= +∞

Exercice 3.9 Comparaison de séries à termes positifs SoientP

an etP

bn des séries de réels positifs telles que, pour tout entiern,an ≤bn. 1. Montrer que, si la sérieP

bn converge, alors la sérieP

an converge.

2. Montrer que, si la sérieP

an diverge, alors la sérieP

bn diverge.

1

Exercice 3.10 Critère de d'Alembert pour les séries numériques SoitP

anune série de réels positifs. On suppose que la suite(an)n∈Nest non lacunaire et que la suite(^an+1_a

n )n∈N

a une limiteL∈[0,+∞]. Montrer que, siL >1, alors la sérieP

an diverge grossièrement et que, siL <1, alors la sérieP

an converge absolument.

Exercice 3.11 Convergence absolue

1. Soit Pa_n une suite de réels qui converge absolument. On note, pour tout entier n, a⁺_n = max(a_n,0)eta⁻_n = min(a_n,0). Montrer que les sériesPa⁺_n et Pa⁻_n convergent.

En déduire que la série Pa_n converge.

2. Soit Pu_n une série de complexes qui converge absolument. Montrer que les séries PRe(u_n)et PIm(u_n)convergent. En déduire que la sériePu_n converge.

Pour aller plus loin

Exercice 3.12 Produit de Cauchy de séries numériques le produit de Cauchy des séries de nombres complexes Pan et Pbn est la série de nombres complexes Pcn dénie par :

∀n∈N, cn=

n

X

k=0

akb_n−k.

1. On suppose quePa_n etPb_nsont des séries de réels positifs. Montrer que la suite des sommes partielles de leur produit de Cauchy est majorée.

2. On suppose désormais que Pa_n et Pb_n sont des séries de complexes. Montrer que, si ces deux séries convergent absolument, alors leur produit de Cauchy Pc_n converge absolument et

+∞

X

n=0

c_n= (

+∞

X

n=0

a_n)(

+∞

X

n=0

b_n).

2