6.0.1 Suites de fonctions

Chapitre 6

Suites et séries de fonctions

6.0.1 Suites de fonctions

Exercice 6.0.1 ^⋆ Une limite simple de fonctions convexes est convexe Montrer que la limite simple d’une suite convergente de fonctions convexes deIdans^Rest encore convexe.

Exercice 6.0.2 ⋆ Une limite simple de fonctions croissantes est croissante exo_limite_simple_de_fcts_croissantes

Montrer que la limite simple d’une suite convergentes de fonctions croissantes deIdans^Rest encore croissante.

Exercice 6.0.3 ⋆ La suite produit de deux suites de fonctions uniformé- ment convergentes et bornées est uniformément convergente

Soient(fn)et(gn)deux suites de fonctions de Idans^Rqui convergent uniformément vers respectivementf : I→Retg: I→R. On suppose que f etg sont bornées. Montrez alors que (fngn)converge uniformément versf g.

Exercice 6.0.4 ⋆ Une combinaison linéaire de suites de fonctions unifor- mément convergentes est uniformément convergente

exo_comb_lin_fonctions_unfi_conv

Soient(fn)et(gn)deux suites de fonctions de Idans^Rqui convergent uniformément vers respectivementf : I→Retg: I→R. Soientα,β∈R. Montrez alors que(αfn+βgn)converge uniformément surIversαf +βg.

Exercice 6.0.5 ^⋆

Soienta,b∈R,a<bet soit(fn)une suite de fonctionsfn: [a,b]→Rcontinues sur[a,b]qui converge uniformément versf : [a,b]→R. Montrer que(inf_[a,b]fn)converge versinf_[a,b]f.

Exercice 6.0.6 ^⋆

Soit(fn)une suite de fonctions de[a,b]dans^Rqui converge uniformément versf : [a,b]→R continue sur[a,b]. Soit(xn)une suite de points de[a,b]qui converge versx∈[a,b]. Montrer quefn(xn)−−−−−→

n→+∞ f(x).

Exercice 6.0.7 ⋆

Soit^Pfn une série de fonctions qui converge uniformément sur un intervalleIde^R. Montrer que la suite de fonctions(fn)converge uniformément surIvers la fonction nulle.

Indication 6.0 : On pourra utiliser l’exercice 6.0.4.

6.0.2 Étude de la convergence d’une suite de fonctions

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions(fn)définies par

∀n∈N, ∀x∈i 0,^π

2

i

, fn(x)=sinxcosⁿx 1−cosx . Exercice 6.0.9 ⋆

Montrer que la suite de fonctions(fn)de terme générale : fn:

½ [0, 1] −→ R x 7−→ xⁿ(1−x) converge uniformément vers0sur[0, 1].

Exercice 6.0.10 ⋆

Montrer que la suite de fonctions(fn)de terme générale : fn:

½ [0, 1] −→ R

x 7−→ xⁿsin(πx) converge uniformément vers0sur[0, 1].

Indication 6.0 : On pourra utiliser l’exercice précédent.

n=1 n=2 n=3 n=4

x y

0 0.5 1

0 0.1 0.2 0.3

F^IGURE6.1 – graphes def1,f2,f3,f4

n=1

n=2 n=3 n=4

x y

0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6

FIGURE6.2 – graphes def1,f2,f3,f4

Exercice 6.0.11 ^⋆ exo_limite_uniforme_C1_pas_C1

Soitfn:R→Rdéfinie par

fn(x)= r

x²+¹

n.

Montrer que chaquefn est^C1sur^R, que la suite(fn)converge uniformément sur^Rvers une certaine fonctionf, mais que f n’est pas^C1sur^R.

Exercice 6.0.12 ⋆

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions(fn)n∈Nsur l’intervalleIpour :

1. I=R

+et pourx∈I,fn(x)= x 1+nx. 2. I=R₊et pourx∈I,fn(x)= 1

1+nx. 3. I = R₊ et pour x ∈ I, fn(x) =

ln (1+nx) 1+nx .

4. I=Ret pourx∈I,fn(x)=ne^−x+1 n+x² . 5. I = [0, 1] et pour fn(x) =





 xp

n si x∈[0, 1/n[

n(x−1) 1−np

n si x∈[1/n, 1]. 6. I=R₊et pourx∈I,fn(x)=nxe^−nx.

n=1 n=2 n=10 n=50 x y

−1 00 1

1 1.5

FIGURE6.3 – graphes de f,f1,f2,f10,f50

Exercice 6.0.13 ⋆

On considère la suite de fonctions(fn)avec

fn:







R₊ −→ R x 7−→

(xⁿlnx si x∈]0, 1]

0 si x=0

.

Étudier la convergence uniforme de cette suite de fonctions sur[0, 1]. Exercice 6.0.14 ^⋆

Étudier la convergence uniforme sur[0,+∞[de la suite(fn)avec

fn:

( [0,+∞[ −→ R

x 7−→ x

n(1+xⁿ) .

Exercice 6.0.15 ⋆ Oral CCP MP 2015

1. Démontrer que, pour tout entiern, la fonctiont7−→ 1

1+t²+tⁿe^−t est intégrable sur [0,+∞[.

2. On poseun= Z_+∞

0

dt

1+t²+tⁿe^−t. Calculer lim

n→+∞un. Exercice 6.0.16 ⋆ Oral CCP MP 2015 On pose :_∀x∈]0;+∞[et_∀t∈]0;+∞[,f(x,t)=e^−tt^x−1.

1. Démontrer que,_∀x∈]0,+∞[, la fonctiont7→f(x,t)est intégrable sur]0;+∞[. On pose alors,_∀x∈]0;+∞[,Γ(x)=

Z_+∞

0

e^−tt^x−1dt. 2. Démontrer que,_∀x∈]0;+∞[,Γ(x+1)=xΓ(x).

3. Démontrer queΓest de classeC¹sur]0;+∞[et exprimerΓ^′(x)sous forme d’intégrale.

Exercice 6.0.17 ^⋆

Démontrer que la suite de fonctions définies sur^R₊parfn(x)=e^−nxsin(nx): 1. converge simplement sur^R₊;

2. que la convergence est uniforme sur tout intervalle de la forme[a,+∞[,a>0; 3. mais qu’elle n’est pas uniforme sur^R₊.

n=1

n=2 n=3 n=4

x y

0 1 2

0 0.2 0.4

F^IGURE6.4 – graphesf1,f2,f3,f3

Exercice 6.0.18 ^⋆

On considère la suite de fonctions(fn)définies par : fn:

½ [0,+∞[ −→ R x 7−→ n^αxe^−nx

oùα>0est un réel fixé. Étudier la convergence simple et uniforme de cette suite.

Exercice 6.0.19 ^⋆

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions(fn)définies par : fn:

( R −→ R

x 7−→ nx

1+n²x² Exercice 6.0.20 ⋆

Étudier le mode de convergence de la suite de fonctions définies sur[0,+∞[par , pour tout n∈N,fn(x)= nx²

1+nx. Exercice 6.0.21 ⋆

Étudier le mode de convergence de la suite de fonctions définies sur[0,+∞[par, pour tout n∈N,fn(x)=exp(−xⁿ).

Exercice 6.0.22 ^⋆ Oral CCP MP 1. SoitXun ensemble,^¡gn

¢

n∈Nune suite de fonctions deXdans^Cetg une fonction deX dans^C.

Donner la définition de la convergence uniforme surXde la suite de fonctions^¡gn¢ vers la fonctiong.

2. On pose fn(x)=n+2 n+1e^−nx2.

(a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions^¡fn¢

n∈N. (b) La suite de fonctions^¡fn¢

n∈Nconverge-t-elle uniformément sur[0,+∞[? (c) Soita>0. La suite de fonctions^¡fn

¢

n∈Nconverge-t-elle uniformément sur[a;+∞[? (d) La suite de fonctions^¡fn

¢

n∈Nconverge-t-elle uniformément sur]0,+∞[? Exercice 6.0.23 ^⋆ Oral CCP MP

1. SoitXune partie de^R,^¡fn

¢

n∈Nune suite de fonctions deXdans^Rconvergeant simple- ment vers une fonctionf.

On suppose qu’il existe une suite(xn)_n∈Nd’éléments deXtelle que la suite^¡fn(xn)−f(xn)¢

n∈N

ne tend pas vers0.

Démontrer que la suite de fonctions^¡fn¢

n∈Nne converge pas uniformément vers f sur X.

2. Pour toutx∈R, on posefn(x)= sin (nx) 1+n²x². (a) Étudier la convergence simple de la suite^¡fn

¢

n∈N. (b) Étudier la convergence uniforme de la suite^¡fn

¢

n∈Nsur[a,+∞[(aveca>0), puis sur]0,+∞[.

Exercice 6.0.24 ^⋆ Oral CCP MP 1. Soit(fn)une suite de fonctions de[a,b]dans^R.

On suppose que la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur[a,b]vers une fonctionf, et que,∀n∈N,fn est continue enx0, avecx0∈[a,b].

Démontrer quef est continue enx0. 2. On pose :_∀n∈N∗,_∀x∈[0; 1],gn(x)=xⁿ.

La suite de fonctions(gn)_n∈N∗ converge-t-elle uniformément sur[0; 1]? Exercice 6.0.25 ⋆ Oral CCP MP

1. Soit(gn)une suite de fonctions deXdans^C,Xdésignant un ensemble non vide quel- conque.

On suppose que, pout toutn∈N,gnest bornée et que la suite(gn)converge uniformé- ment surXversg.

Démontrer que la fonctiongest bornée.

2. On considère la suite(fn)n∈N∗ de fonctions définies sur^Rpar :

fn(x)=

( n²x si |x| É_n¹ 1

x si _{|x| >n}¹

Prouver que(fn)n∈N∗ converge simplement sur^R. La convergence est-elle uniforme sur^R?

Exercice 6.0.26 ^⋆

Étudier suivant la valeur du réelale mode de convergence de la suite de fonctions(fn)où pour toutn∈N,

fn:

½ R₊ −→ R

x 7−→ n^axe^−nx . Exercice 6.0.27 ⋆

Pour toutn∈N∗, on considère la fonction

fn:















[0, 1] −→ R

x 7−→







n²x si x∈£

0,_2n¹¤ n²¡₁

n−x¢

si x∈¤₁

2n, 1/n£

0 si x∈£₁

n, 1¤ .

1. Prouver que(fn)converge simplement sur[0, 1]vers une fonctionf à déterminer.

2. Comparerlimn→∞

R1

0 fn(x)dxet^R₀¹f(x)dx. Que peut-on en conclure ? 3. Étudier la convergence uniforme de(fn)sur[a, 1]aveca∈]0, 1[.

Exercice 6.0.28 ⋆ X PC

Soit(Pn)une suite de polynômes de degré_Édconvergent simplement sur[0, 1]vers une fonc- tionf. Montrer quef est une fonction polynomiale de degré_Éd. Montrer que la convergence est uniforme.

6.0.3 Intégration et dérivation d’une fonction limite d’une suite de fonctions

On considère la suite de fonctions(fn)n∈Ndéfinies par fn:

½ [0, 1] −→ R

x 7−→ n²xⁿ(1−x) 1. Montrer que(fn)_n∈Nconverge simplement.

2. Calculer pourn∈N,^Z1

0

fn(x) dx.

3. En déduire que la convergence n’est pas uniforme.

4. Calculer explicitement_kfnk∞et retrouver le résultat.

Exercice 6.0.30 ⋆ Pour toutn∈N∗, on noteI_n=R1

−1

r x²+1

ndx. Montrer que(I_n)est convergente et calculer sa limite.

Exercice 6.0.31 ⋆ Oral CCP MP On posefn(x)=¡

x²+1¢ne^x+xe^−x n+x .

1. Démontrer que la suite de fonctions^¡fn

¢

n∈Nconverge uniformément sur[0, 1].

2. Calculer lim

n→+∞

1

Z

0

¡x²+1¢ne^x+xe^−x n+x dx. Exercice 6.0.32 ^⋆

Pour(n,x)∈N×R, on définitfn(x)=sin¡_x

2ⁿ

¢. 1. Montrer que(fn)converge simplement sur^R.

2. Montrer que(fn)ne converge pas uniformément sur^R.

3. Montrer par contre que(fn)converge uniformément surK_a=[−a,a]pour touta>0. 4. En déduirelimn→∞

R1

−1sin¡_x

2ⁿ

¢dx. Exercice 6.0.33 ⋆ X PC

Dans tout l’exercice on appellera

an= Z₁

0

(1−t²)ⁿ dt

pour toutn∈N.

1. Déterminer la limite de la suite(an).

2. On pose, pour toutx∈[0, 1]et pour toutn∈N P_n(x)=

Rx

0(1−t²)ⁿdt R1

0(1−t²)ⁿdt. Soitα>0. Montrer que

sup

[α,1]|P_n−1| −→_n

→+∞0.

Exercice 6.0.34 ^⋆ X PC

Soit(fn)une suite de fonctions dérivables de^Rdans^R. On suppose que(fn)converge simple- ment vers une fonctionf :R→Ret que

∀n∈N,∀x∈R, |f_n^′(x)| É1.

Montrer que f est continue.

6.0.4 Théorème de convergence dominée

Montrer que la suites(un)est convergente et calculer sa limite : 1. (un)de terme généralun=Rπ/4

0 tanⁿxdx. 2. (un)de terme généralun=R_+∞

0 1

xⁿ+e^xdx. Exercice 6.0.36 ⋆

Montrer que les suites de termes généraux donnés ci-dessous convergent et calculer leur limite.

1. un=R_+∞

0

sinⁿx

x² dx; 2. un=R_+∞

0

xⁿ

xⁿ⁺²+1dx; 3. un=R_+∞

0

xⁿ x²ⁿ+1dx Exercice 6.0.37 ⋆

Montrer que les suites de termes généraux donnés ci-dessous convergent et calculer leur limite.

1. un=R1 0

1+nx

(1+x)ⁿdx; 2. un=R_+∞

0

nsin^x_n

x(1+x²)dx; 3. un=Rn 0

¡1−_n^x¢n

e^x2dx Exercice 6.0.38 ^⋆

Nature et limite de la suite de terme général un=

Z_n

0

³ 1+x

n

´n

e^−2xdx.

Exercice 6.0.39 ^⋆

Déterminer la limite de la suite de terme général un=

Z_+∞

0

xⁿ xⁿ⁺²+1dx.

Exercice 6.0.40 ⋆ Déterminer un équivalent de

un= Z_n

0

r 1+

³ 1−^x

n

´n

dx.

Exercice 6.0.41 ⋆ Montrer que

Z_+∞

1

e^−xndx_n ∼

→+∞

1 n

Z_+∞

1

e^−y y dy.

Exercice 6.0.42 ⋆ Intégrales de Wallis et de Gauss exo:2004:Aug:Thu:12:07:46

1. Montrer que_∀nÊ1, Zπ/2

0

sin²ⁿ⁺¹xdx= 1 pn

Z^pn 0

³ 1−t²

n

´n

dt 2. Montrer que

Z^pn 0

³ 1−t²

n

´n

dt−−−−−→_n

→+∞

Z_+∞

0 e^−t2dt 3. On rappelle que grâce aux intégrales de Wallis,

Zπ/2 0

sin^pxdx_p ∼

→+∞

s π 2p Retrouver la valeur de l’intégrale de Gauss :

Z_+∞

0

e^−t2dt= pπ

2

Exercice 6.0.43 ^⋆ Oral CCP MP

1. Démontrer que, pour tout entiern, la fonctiont7−→ 1

1+t²+tⁿe^−t est intégrable sur [0,+∞[.

2. On poseun= Z_+∞

0

dt

1+t²+tⁿe^−t. Calculer lim

n→+∞un. Exercice 6.0.44 ^⋆ Oral CCP MP

Pour toutnÊ1, on poseIn= Z_+∞

0

1

¡1+t²¢ndt. 1. Justifier queI_n est bien définie.

2. Étudier la monotonie de la suite(I_n)_n∈N∗ et déterminer sa limite.

3. La série ^X

nÊ1

(−1)ⁿI_nest-elle convergente ? Exercice 6.0.45 ^⋆ Oral CCP MP

∀n∈N∗, on posefn(x)= e^−x

1+n²x² etun= Z₁

0 fn(x)d x.

1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions^¡fn¢

n∈N∗sur[0, 1]. 2. Soita∈]0; 1[. La suite de fonctions^¡fn

¢

n∈N∗converge-t-elle uniformément sur[a; 1]? 3. La suite de fonctions^¡fn

¢

n∈N∗converge-t-elle uniformément sur[0, 1]? 4. Trouver la limite de la suite(un)_n∈N∗.

Exercice 6.0.46 ⋆⋆⋆

1. Montrer queI=R_+∞

0 lnt

e^t dtconverge.

2. Pour toutn∈N∗, on pose fn(t)=

(¡1−_n^t¢n−1

lnt si t∈]0,n]

0 sinon^.

(a) Vérifier que la suite(fn)converge simplement verst7→^lnt_et sur^R∗₊. (b) Montrer queI=lim_n→∞Rn

0

¡1−_n^t¢n−1

lntdt. 3. On admet que ^Xn

k=1

1

k =lnn+γ+ o

n→+∞(1). Montrer queI= −γ.

Indication 6.0 : On pourra effectuer le changement de variablet =nu suivi d’une intégration par parties.

Exercice 6.0.47 ⋆

Soitf : R₊→Rune fonction continue et bornée.

1. Posons pour toutn∈N∗,In=R_+∞

0

n f(x)

1+n²x²dx. Prouver l’existence de ces intégrales.

2. Montrer queIn=R_+∞

0

f(u/n) 1+u² du. 3. Calculerlim I_n.

Exercice 6.0.48 ⋆ Oral Mines-Ponts PC PournÊ3, on poseIn=R_+∞

0 dt

tⁿ+t⁻ⁿ. Justifier l’existence deInet calculer la limite de(In). Exercice 6.0.49 ^⋆ Oral X-ESPCI PC

Limite et équivalent deI_n=R₁

0 xⁿ 1+x+x²dx.

Exercice 6.0.50 ⋆⋆⋆ Type Mines Soitf :R

+→Rune application continue et bornée sur^R₊. Pour toutn∈N, on pose : I_n=

Z_+∞

0

n f(x) 1+n²x²dx.

Après avoir montré queI_n est bien définie pour toutnÊ1, prouver que(I_n)est convergente et calculer sa limite.

Exercice 6.0.51 ^⋆ Minettes 2016

Prouver que la limite suivante existe et la calculer :lim_n→+∞R_+∞

0

sin(πt) 1+nt dt.

6.0.5 Séries de fonctions

Exercice 6.0.52 ^⋆

Étudier les modes de convergence des séries de fonctions de terme général : 1. an(x)= e^−nx

1+n² sur^R; 2. bn(x) = (−1)ⁿ

n+x sur

R₊;

3. cn(x) = x n³+x² sur R;

4. dn(x) = x² n³+x² sur R;

5. en(x)= x

n²+x²sur^R. Exercice 6.0.53 ⋆

Pour toutn∈N, on considère

fn:







R −→ R x 7−→ e^−nx2

1+n² .

Étudier les modes de convergence de^Pfn. Exercice 6.0.54 ⋆

Pour toutn∈N, on considère fn:

( R −→ R

x 7−→ sin(nx)

1+nx⁸+x²⁴+n² .

Étudier les modes de convergence de^Pfn.

Exercice 6.0.55 ^⋆ Pour toutn∈N, on considère

fn:

½ R₊ −→ R

x 7−→ nx²e^−nx .

1. Montrer que^Pfn converge simplement mais pas normalement sur^R₊. 2. Montrer que la convergence est néanmoins normale sur tout segment de^R∗₊.

Exercice 6.0.56 ^⋆

Étudier les modes de convergence de la série de terme général fn:

( R −→ R

x 7−→ 1

n²+x²

,nÊ1.

Exercice 6.0.57 ^⋆

1. Montrer que la série de terme général fn:

½ ]0, 1] −→ R

x 7−→ xⁿlnx ,nÊ0.

converge simplement sur]0, 1]et calculer sa somme sur]0, 1]. 2. Montrer que^Pfn ne converge pas uniformément sur]0, 1].

Exercice 6.0.58 ^⋆

1. Étudier la convergence normale de la série de fonctions^PnÊ1

e^−nx2 n² sur^R. 2. Même question avec^P_nÊ1^{ln (1+x)}

n²x sur]0,+∞[. Exercice 6.0.59 ⋆

Étudier la nature de la convergence sur[0,π]de la série de fonctions^Pfnavec pour toutn∈N, fn:

½ [0,π] −→ R

x 7−→ sinxcosⁿx . Exercice 6.0.60 ^⋆

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctions de terme général donné par

fn(x)= (−1)ⁿ n+x² pournÊ1etx∈R.

Exercice 6.0.61 ⋆

Étudier les modes de convergence sur^R₊de la série de fonctions^P_nÊ1p⁽⁻¹⁾ⁿ n+x

Exercice 6.0.62 ^⋆

Étudier les modes de convergence sur^R₊de la série de fonctions^P_nÊ1 ⁽⁻¹⁾ⁿ xn²+n Exercice 6.0.63 ⋆

exo:2004:Aug:Sun:16:43:05

Étudier les modes de convergence sur]0,+∞[de la série de fonctions ^X

nÊ0

nx²e^−xpn. Exercice 6.0.64 ⋆

exo:2004:Dec:Wed:14:33:57

Étudier les modes de convergence sur[0, 1]de la série de fonctions^Pn^αxⁿ(1−x)oùα∈R. Exercice 6.0.65 ⋆

exo:2004:Aug:Sun:16:50:34

Étudier les modes de convergence sur]0,+∞[de la série de fonctions ^X

nÊ1

1

n+n³x². On mon- trera qu’il n’y a pas convergence uniforme en minorant le reste :R_n(x)Ê

X2n k=n+1

fk(x). Exercice 6.0.66 ⋆

exo:2005:Jan:Sat:11:45:53

Étudier les modes de convergence de la série de fonctions ^X

nÊ0

xⁿ

x²+n sur[−1, 0[. Exercice 6.0.67 ⋆ Oral CCP MP

Soit(un)_n∈Nune suite décroissante positive de limite nulle.

1. (a) Démontrer que la série^X(−1)^kukest convergente.

Indication: on pourra considérer(S2n)_n∈Net(S2n+1)_n∈NavecSn=

n

X

k=0

(−1)^kuk. (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série^X(−1)^kuk. 2. (a) Étudier la convergence simple sur^Rde la série de fonctions ^X

nÊ1

(−1)ⁿe^−nx

n .

(b) Étudier la convergence uniforme sur[0,+∞[de la série de fonctions^P_nÊ1^{(−1)ne−nx}

n .

Exercice 6.0.68 ⋆ exo:2004:Aug:Mon:10:13:53

Soit une suite de fonctions(un)_n∈Npositives définies sur un intervalleI⊂R. On suppose que :

— La suite de fonctions(un)converge uniformément vers la fonction nulle.

— Pour toutx∈I, la suite numériqueun(x)est décroissante.

Montrer que la série de fonctions ^X

nÊ1

(−1)ⁿun converge uniformément surI. Exercice 6.0.69 ⋆ Oral CCP MP

SoitXune partie de^Rou^C.

1. Soit^Xfn une série de fonctions définies surXà valeurs dans^Rou^C.

Rappeler la définition de la convergence normale de^XfnsurX, puis de la convergence uniforme de^Xfn surX.

2. Démontrer que toute série de fonctions, à valeurs dans^Rou^C, normalement conver- gente surXest uniformément convergente surX.

3. La série de fonctions^Xn2

n!zⁿ est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre0et de rayonR∈R∗

+?

Exercice 6.0.70 ^⋆ Oral CCP MP SoitA⊂Cet^¡fn

¢

n∈Nune suite de fonctions deAdans^C. 1. Démontrer l’implication :

¡la série de fonctions^Xfn converge uniformément surA¢

⇓

¡la suite de fonctions^¡fn

¢

n∈N converge uniformément vers 0 surA¢ 2. On pose :_∀n∈N,_∀x∈[0;+∞[,fn(x)=nx²e^−xpn.

Prouver que^Xfn converge simplement sur[0;+∞[. Xfn converge-t-elle uniformément sur[0;+∞[? Justifier.

Exercice 6.0.71 ^⋆ Oral CCP MP 1. Démontrer que la série^Xzn

n! est absolument convergente pour toutz∈C. 2. On pose :_∀z∈C, f(z)=

+∞X

n=0

zⁿ n! . Démontrer que_∀(z,z^′)∈C²,f(z)×f¡

z^′¢

=f¡ z+z^′¢

, sans utiliser le fait quef(z)=e^z. 3. En déduire que :_∀z∈^C, f (z)6=0et ¹

f(z)=f (−z). Exercice 6.0.72 ^⋆ Mines PC 2018 exo:2005:Jan:Sat:12:23:34

On posef(x)=

+∞X

n=1

cosⁿ(x) sin(nx)

n .

1. Montrer quef est de classe^C1sur]0,π[et calculerf^′(x). 2. En déduiref.

Exercice 6.0.73 ⋆ Pour toutn∈N^∗, on pose :

fn:







]−1, 1[ −→ R

x 7−→ xⁿsin(nx) n

.

1. Montrer que^Pfnconverge simplement surI=]−1, 1[. On noteraf la fonction somme.

2. Montrer quef est de classe^C1surI.

3. Pour toutx∈I, calculerf^′(x)en utilisant deux suites géométriques de raisonxe^{i x}. 4. En déduire que f(x)=arctan

µ xsinx 1−xcosx

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