PanaMaths Mai 2014
Etudier la série de terme général :
n
1
nu
n= n + − n .
Analyse
On vérifie rapidement que l’on a affaire à une série à termes positifs.
Ensuite, on peut facilement obtenir un équivalent de un.
Résolution
Pour tout n entier naturel non nul, la fonction racine n-ième est strictement croissante sur + et on a : n+ > ⇔1 n nn+ >1 nn ⇔un>0. Nous avons donc affaire ici à une série à termes (strictement) positifs.
On a :
( )
( )1 1
ln ln 1 ln 1
ln 1
1 ln ln ln ln
1
ln 1 1
ln ln ln
ln
1
1 1 1 1 1
1 exp ln 1 1 exp o 1
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n
n n n n
n n n n
u n n e e e e e e e
e e e e
n n n n n
e
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜+ ⎟ ⎜+ ⎟
+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛+ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + − = − = − = × −
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ×⎜⎜⎝ − =⎟⎠⎟ ×⎜⎝ ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠− =⎟⎠ ×⎜⎜⎝ ⎜⎝ ×⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠⎟⎠− ⎟⎟⎠
= 2 2 ln 2 2
ln
2 2
1 1 1 1
exp o 1 1 o 1
1 1
o
n n
n n
n n
n n e n n
e n n
⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
×⎜⎝ ⎜⎝ + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠− =⎟⎠ × +⎜⎝ + ⎜⎝ ⎟⎠− ⎟⎠
⎛ ⎛ ⎞⎞
= ×⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠
Comme ln
lim 0
n
n
→+∞ n = (croissance comparée), on a :
ln
lim 1
n n
n e
→+∞ = (continuité de la fonction exponentielle en 0) et, finalement :
ln
2 2 2 2
1 1 1 1
o o
n n
un e
n n n n
⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞
= ×⎜⎝ + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠= + ⎜⎝ ⎟⎠
Et donc : 12 un
+∞∼ n .
PanaMaths Mai 2014
Le terme général positif de la série
∑
un étant équivalent à celui d’une série de Riemann convergente, on en déduit que∑
un converge.Résultat final
La série de terme général un= nn+ −1 nn est convergente.
