Chapitre 18
Séries numériques
Dans ce chapitre, KdésigneRou C.
I - Généralités I.1 - Notion de série Définition 1 (Série).
Soit(un)n∈Nune suite d'éléments deK. La série associée à la suite(un)n∈N est la suite dénie pour tout entier naturelp par
sp=
p
X
k=0
uk.
Cette suite est notéeP
uk. La suite(sp)p∈Nest la suite des sommes partielles de la sérieP un. Exercice 1.Donner des exemples de séries et préciser leur comportement limite.
Définition 2 (Série convergente, Reste).
Si la suite(sp)p∈Nest convergente, la sérieP
unest convergente. La limite, notée+∞P
n=0
un, est la somme de la série. Le cas échéant, pour tout p∈N, on noterp =
+∞
P
n=0
un−
p
P
n=0
un=
+∞
P
n=p+1
un. Le réel rp est le reste d'ordrep de la série.
Exercice 2.
1.Soitq ∈]0,1[. Déterminer la somme et le reste de la série géométrique de raisonqet de premier terme1.
2. Montrer que la série de terme général n1 diverge.
Propriété 1 (Structure).
L'ensemble des séries convergentes est un K-espace vectoriel. L'application qui à toute série convergente associe sa limite est une application linéaire.
I.2 - Premiers critères de convergence Propriété 2 (Suite télescopique).
S'il existe une suite v telle que pour tout entier naturel n non nul, un = vn−vn−1, alors la suitev et la sérieP
un ont le même comportement asymptotique.
Exercice 3.Soitα∈R?+. Déterminer la nature de la série de terme général (n+1)1 α − n1α. Propriété 3 (Changement d’un nombre fini de termes).
S'il existe un entier naturel N tel que pour tout n > N, un = vn, alors P
un et P vn ont même comportement asymptotique.
Théorème 1 (Divergence grossière). SiP
un converge, alors(un)n∈N converge vers0. Exercice 4.
1. Montrer que la réciproque est fausse.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 18. Séries numériques MPSI 1
2. Montrer que siα 60, la série de terme général n1α diverge.
3. Montrer que la série de terme général tanh(−1)nn est divergente.
Théorème 2 (Théorème des séries alternées).
Soit (un)n∈N une suite réelle telle que (i). (un)n∈N est décroissante, (ii). (un)n∈N converge vers0.
Alors, P(−1)nun est convergente. De plus, rp =
∞
P
n=p+1
un est du signe de (−1)p+1 et |rp|6 up+1.
Exercice 5.
1. Montrer que la série de terme général (−1)n+1n est convergente.
2. Soitx∈R. Montrer que la série de terme général (−1)n x(2n+1)!2n+1 converge.
II - Séries de nombres réels positifs II.1 - Relations de comparaison
Théorème 3 (Séries à termes positifs). Soit(un)une suite de réels positifs.P
unconverge si et seulement si la suite(sp)de ses sommes partielles est majorée. Alors,
+∞
X
n=0
un= lim
p→+∞sp = sup
p∈N
sp.
Exercice 6. (Série exponentielle)Soit x un réel positif. Montrer quePxk
k! converge.
Propriété 4.
On suppose que pour tout entier natureln,06un6vn. (i). Si P
un diverge, alors P
vn diverge.
(ii). Si P
vn converge, alorsP
un converge.
Théorème 4 (Séries de Riemann). (i). Si α >1,P 1
nα converge.
(ii). Si α61,P 1
nα diverge.
Exercice 7. Lorsque α ∈]0,1[, en utilisant le théorème des accroissements nis, déterminer un équivalent du reste de la série de terme général n1α.
Propriété 5.
Soit a∈N,a>2 et(vn)∈J0, a−1KN. Alors, la série de terme général avnn converge et
06
+∞
X
n=1
vn an 61.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 18. Séries numériques MPSI 1
Théorème 5 (Développement décimal).
Soitα∈[0,1[. Pour toutn∈N, on notevn=bα10nc −10
10n−1α
. Alors,α=
+∞
P
n=1 vn
10n est le développement décimal deα.
Théorème 6 (Relations de comparaison).
Soient P
un etP
vn deux séries à termes positifs. On suppose qu'il existe ` non nul tel que un∼`·vn. Alors,P
un etP
vn ont même comportement asymptotique.
Exercice 8.
1. Soita∈R?. Montrer que la série de terme général a2+n1 2 converge.
2. Étudier le comportement de la série de terme général n(4n12−1).
3. Comparer le comportement des séries de terme généralun= (−1)√nn etvn= (−1)√nn +n1. II.2 - Comparaison à des intégrales
Théorème 7.
Soientn0∈Netfune fonction continue sur[n0,+∞[, à valeurs réelles, positive et décroissante.
(i). La série de terme général Z n n−1
f(t)dt−f(n)est convergente, à termes positifs.
(ii). La série P
n>n0
f(n) converge si et seulement sif x7→
Z x n0
f(t)dtadmet une limite réelle en +∞.
De plus, si P
f(n) converge, alors
N→+∞lim Z N
n+1
f(t)dt6
+∞
X
k=n+1
f(k)6 lim
N→+∞
Z N n
f(t)dt.
Exercice 9.
Reprendre l'exemple des sommes de Riemann. En déduire des équivalents des restes et / ou des sommes partielles.
III - Séries absolument convergentes III.1 - Convergence absolue
Définition 3 (Convergence absolue).
Soit (un) une suite d'éléments deK. La série P
un converge absolument siP
|un|converge.
Exercice 10.Déterminer si les séries de terme général (−1)n2n puis (−1)nn sont absolument conver- gentes ou convergentes.
Théorème 8. SiP
un converge absolument, alors P
un converge.
Exercice 11.Montrer que pour toutx réel, la série Pxk
k! converge.
III.2 - Critères élémentaires de convergence absolue Théorème 9 (Relations de comparaison).
Soit P
un une série d'éléments de K et P
vn une série à termes positifs. Si un = O(vn) et Pvn converge, alorsP
un converge.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 18. Séries numériques MPSI 1
Exercice 12.Montrer que la série de terme général n+12
ln 1 + n1
−1 converge.
Théorème 10 (Formule de Stirling).
n!∼n e
n√ 2πn.
Exercice 13.Déterminer la nature de la série de terme général2−2n 2nn .
Stanislas A. Camanes
