Séries numériques

Chapitre 2

Séries numériques

2.1 Sommes partielles et restes

Exercice 2.1.1 ⋆ exo:2004:Sep:Sat:16:28:10

Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leur somme : 1. S1=X

nÊ1

1

n(n+1), 2. S2=X

nÊ1

1

n(n+1)(n+2) 3. S3=X

nÊ2

ln³ 1− ¹

k²

´

Exercice 2.1.2 ⋆

Indiquer la nature et, si elle existe, la somme de la série de terme général un= 1

pn+p n+1. Exercice 2.1.3 ⋆

Indiquer la nature et, si elle existe, la somme de la série de terme général

un=

sin 1

n(n+1) cos1

ncos 1 n+1

.

Exercice 2.1.4 ^⋆ On admet queS1=P_∞

k=1 1

k² = ^π₆². Montrer que ^P_kÊ1 ¹

(2k+1)² est convergente et calculer sa sommeS2.

Exercice 2.1.5 ⋆

Soit z∈C avec_{|z| <}1 etp ∈N. Après avoir prouvé sa convergence, calculer les sommes partielles et le reste de la série ^X

nÊp

zⁿ.

Exercice 2.1.6 ⋆ Soitα>0. Montrer que

Z₁

0

x^α−1 1+xdx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ n+α Exercice 2.1.7 ^{⋆ +∞X}

n=1

1 n²=^π

2

exo:2004:Oct:Fri:17:36:24 6

On considère la série de Riemann ^X

nÊ1

1

n² et on noteL=

+∞X

n=1

1

n² sa somme. On veut trouver une valeur approchée deLà10^−p près (pdécimales exactes).

1. On décide de prendre comme valeur approchée deL, la somme partielleSn=

n

X

k=1

1 k². Écrire une procédure Python qui calculeSn.

2. En utilisant une comparaison avec une intégrale, montrer que pour toutn∈N∗: 1

n− 1

n²ÉRnÉ1 n.

3. Combien de termes sommer pour obtenir une valeur approchée deLà10⁻⁴près ? 4. Trouver une amélioration de la méthode.

Exercice 2.1.8 ⋆ Pourp∈N, on pose

ap=^+∞X

n=0 n^p 2ⁿ

1. Montrer queapexiste puis exprimerap en fonction dea0, . . . ,ap−1. 2. En déduire queap∈N.

Exercice 2.1.9 ^⋆ Existence et valeur pourmÊ1de

Sm=

+∞X

n=1

1

n(n+1) . . . (n+m).

2.2 Séries à termes positifs

Exercice 2.2.1 ^⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=_n2ⁿ +1, 2. un=_ch^ch_(2n)⁽ⁿ⁾,

3. un=^p_n¹₂

−1−^p_n¹₂

+1, 4. un=e−¡

1+¹_n¢n,

5. un=¡ _n

n+1

¢n² , 6. un=_ncos¹2n. Exercice 2.2.2 ^⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=_(lnn)¹lnn, 2. un=¡₁

n

¢1+1 n,

3. un=2⁻¹ⁿ, 4. un=_n¹ln

³ 1+_n¹2

´,

5. un=_(lnn)¹ 2, 6. un=e^−pn. Exercice 2.2.3 ^⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=_(lnn)^{1 n}, 2. un=_n^n!n,

3. un=_a^n!n, 4. un=sinn,

5. un=_n²ⁿ₊₂ⁿ, 6. un=^p_2n¹

+1. Exercice 2.2.4 ^⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=_n¹2sin^π_n, 2. un=e

p1 n+1−1,

3. un=¡ 1+_n¹¢n, 4. un=1−cos_n¹,

5. un = p

ln (n+1) − plnn+1,

6. un=ⁿ²_n!⁺¹. Exercice 2.2.5 ⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=ⁿ_n!³, 2. un=_2n^ln3ⁿ−1,

3. un=ⁿ⁺

pn 2n³−1, 4. un=_n^ln2+ⁿ3,

5. un=e⁻ⁿ², 6. un=sin^{3 1}_n. Exercice 2.2.6 ^⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=(−1)^nsinpn

n^3/2 , 2. un=^e−

pn pn , 3. un=_nlnn¹ ,

4. un=(1+p n)⁻ⁿ, 5. un= n^lnn

(lnn)ⁿ,

6. un =a^pn

n^α ,a>0,α>

0.

Exercice 2.2.7 ⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un= 1 pncos²n, 2. un=sin¹_n−ln¡

1+_n¹¢ ,

3. un = 1

n^α+arctann, α∈R,

4. un= n+3 n²+n+1,

5. un=sin 1 2ⁿ, 6. un= (n+2)^4/3

(n+1)(n+3)^3/2; Exercice 2.2.8 ⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un= 4ⁿ−n 5ⁿ+2n⁴, 2. un= lnn

3n⁴−2,

3. un=2ⁿn! nⁿ ,

4. un=ln n⁴+3n²+n n⁴+2n²−n+1,

5. un=lnn n , 6. un= 1

nsin²n; Exercice 2.2.9 ⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=2ⁿn!

n^pn, 2. un=_(lnn)^nlnnn,

3. un=¡p_n n−1¢α, 4. un=p³

n³+n²+n+1−

pn²+1+a+b n,

5. un=ln

µn²+an+1 n²+bn+2

¶ , 6. un=arccos³ n

n+1

´. Exercice 2.2.10 ^⋆

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un=a^lnn,a>0, 2. un=(lnn)ⁿ

n! ,

3. un=nⁿ¹−nⁿ¹+1, 4. un = (ln(n+a))^α −

(lnn)^α,a>0,

5. un=¡ cos_n¹¢n^α

, 6. un=|sinn| + |cosn|

n .

Exercice 2.2.11 ⋆⋆⋆ Type X

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

1. un= 1 n^α

n

X

k=1

pk, 2. un= 1 n^α

n

X

k=1

(lnk)², 3. un = 1

(n+p)!

n

X

k=1

k!

avecpÊ1. On cherchera un équivalent deun

Exercice 2.2.12 ^⋆

Déterminer la nature de la série de terme général un=

Z_+∞

0

p dx x^α+n^α avecα>0.

Exercice 2.2.13 ^⋆⋆

Étudier la convergence puis calculer la somme, quand celle-ci existe, de la série de terme général

un=ln(n+1)+aln(n+2)+bln(n+3).

Exercice 2.2.14 ⋆

Trouver le polynômePpour que la série de terme général un=¡

n⁴+2n²¢1/4

−(P(n))^1/3 soit convergente.

Exercice 2.2.15 ^⋆

Pour quelles valeurs deαla série de terme généralun =(1+2+3+. . .+n)^α est-elle conver- gente ?

Exercice 2.2.16 ^⋆⋆

Soit(un)une suite réelle à termes positifs.

1. Montrer que les séries de terme généralun,vn= un

1+un

etwn=ln(1+un)sont de même nature.

2. Si^Xunconverge, montrer que la série^X(un)^α, avecαÊ1, est aussi convergente.

Exercice 2.2.17 ⋆⋆

Soit(an)une suite de réels positifs.

1. On suppose que la série^Panconverge. Quelle est la nature de la série de terme géné- ral :

(a) un=a²_n; (b) un=

pan

n ;

(c) un=sin µ an

1+an

¶ . (d) un=

pan

n+p n;

(e) un= pan

n−p n.

2. On suppose que la série^Pandiverge. Quelle est la nature de la série de terme général : (a) un= an

1+n²an

; (b) un= an

1+an

. Exercice 2.2.18 ^⋆ Règle de Raabe-Duhamel Soient(un)et(vn)deux suites de réels strictement positifs.

1. On suppose qu’à partir d’un certain rang un+1

un Évn+1

vn

Montrer queun= O

n→+∞(vn). 2. On suppose que

un+1

un =1−α n+ o

n→+∞

µ1 n

¶

avecα>1

Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la série ^Pun

converge.

3. On suppose cette fois-ci que un+1

un =1−α n+ o

n→+∞

µ1 n

¶

avecα<1 Montrer que la série^Pun diverge

Exercice 2.2.19 ⋆

Déterminer la nature de la série de terme général un=

½ 1/n sinest un carré 1/n² sinon

Exercice 2.2.20 ⋆

Soit^Punune série convergente et à terme général positif. Étudier la convergence de^Pu_n². Exercice 2.2.21 ⋆⋆⋆ Centrale PC

Pour toutn∈N∗, on notes(n)le nombre de chiffres de l’écriture décimale den. Étudier la convergence et la somme de

X s(n) n(n+1).

Exercice 2.2.22 ^⋆ CCP MP

Soit(un)_n∈Nune suite de réels strictement positifs etlun réel positif strictement inférieur à 1.

1. Démontrer que si lim

n→+∞

un+1

un =l, alors la série^Xun converge.

Indication: écrire, judicieusement, la définition de lim

n→+∞

un+1

un =l, puis majorer, pour nassez grand,un par le terme général d’une suite géométrique.

2. Quelle est la nature de la série ^X

nÊ1

n!

nⁿ? Exercice 2.2.23 ⋆ CCP MP

1. Soient(un)_n∈N et(vn)_n∈Ndeux suites de nombres réels positifs. Montrer que : un ∼

+∞vn =⇒ X

un et^Xvnsont de même nature.

2. Étudier la convergence de la série ^X

nÊ2

(i−1) sin µ1

n

¶

¡pn+3−1¢ lnn. (iest ici le nombre complexe de carré égal à−1) Exercice 2.2.24 ^⋆

Soita∈R. Déterminer la nature de la série^Pun où un=p³

n³+an−p n²+3 Exercice 2.2.25 ⋆ Oral CCP PC

Pour toutn∈N, on pose

an= Z1

0

tⁿp

1−t²dt.

1. Calculera0eta1.

2. (a) Montrer que(an)est décroissante.

(b) Montrer que_∀n∈N, an+2=n+1 n+4an. (c) En déduire qu’au voisinage de_+∞, on aan_n ∼

→+∞an+1.

3. (a) Montrer que la suite de terme généraln(n+1)(n+2)anan−1est constante.

(b) En déduire un équivalent deanau voisinage de_+∞et la nature de la série^PnÊ0an. Exercice 2.2.26 ⋆⋆ Intégrales de Wallis, Formule de Stirling

exo_series_formule_de_stirling

Le but de cet exercice est de démontrer la formule de Stirling n!_n ∼

→+∞

p2πn

³n e

´n

qui donne un équivalent de la factorielle.

1. Montrer que la suite de terme général an=

pnnⁿe⁻ⁿ

n!

converge vers une limiteLnon nulle.

Indication : Poserun=lnanpuis considérer la série(vn)de terme généralun+1−un. 2. En déduire quen!_n ∼

→+∞

1 L

pnnⁿe⁻ⁿ .

3. L’objet de la suite du problème est de calculerL. Pour ce faire, on considère, pourn entier naturel, l’intégrale (dite de Wallis) définie par :

Wn= Z^π

2

0 sinⁿ(t) dt (a) Montrer que

∀n∈N, Wn= Z^π

2

0 cosⁿtdt.

(b) CalculerW0etW1. stirling 1c (c) Montrer que

∀n∈N, Wn+2=n+1 n+2Wn

stirling 1d (d) En déduire, pour toutn∈N: W2n= (2n)!

2²ⁿ(n!)² π

2 et W2n+1=2²ⁿ(n!)² (2n+1)!.

stirling 1e (e) Montrer que(Wn)est décroissante et positive. En déduire que(Wn)est convergente.

(f) En déduire que pour toutn∈N:

1ÉWn+1

Wn+2É Wn

Wn+2

.

(g) Montrer queWn_n ∼

→+∞Wn+1.

(h) Établir que pour toutn∈N, (n+1) Wn+1Wn=π 2. (i) En déduire que :Wn_n ∼

→+∞

rπ 2n. 4. En calculant, pourn∈N∗, ^a2n

a²_n et en faisant apparaîtreW2n, calculerLet en déduire la formule de Stirling.

Exercice 2.2.27 ⋆⋆ Mines PC 2003 Quelle est la nature de la série de terme généralun=R_+∞

0 e^−nxarctanxdx.

Exercice 2.2.28 ^⋆⋆⋆ Centrale MP Pourα>1, on pose

SN=

N

X

n=1 1

n^α et RN=

+∞X

n=N+1 1 n^α

Étudier la nature de la série^PnÊ1Rn

Sn selon la valeur du réelα. Exercice 2.2.29 ⋆⋆⋆ X PC 2017

Soi(an)une suite réelle. On supose quean_n ∼

→+∞αlnnoùα>0

1. Montrer que la série de terme générale^−an converge siα>1et diverge siα<1. 2. Peut-on conclure quandα=1?

Exercice 2.2.30 ^⋆⋆⋆ X PC 2017 Étudier la nature de la série de terme général

∀n∈N^∗, un=(−1)^n(n2+1) pn(n+1). Exercice 2.2.31 ^⋆⋆⋆ X PC 2016

Soit(an)une suite croissante de réels strictements positifs. On suppose que(an)diverge vers +∞. Quelle est la nature de la série de terme général^an−_a^an−1

n ?

Exercice 2.2.32 ⋆⋆⋆ X PC 2016 Soit(un)une suite de réels positifs. On suppose que :

∀n∈N^∗,

2n

X

k=n+1

ukÉ1 n

n

X

k=1

uk

Montrer que la série de terme généralun converge.

Exercice 2.2.33 ⋆

On considère la suite réelle(un)définie pour toutn∈N∗par : un=

n

Y

k=1

Ã

1+(−1)^k−1 pk

! .

1. Justifier que :_∀n∈N∗, un>0.

2. Montrer que :_∀kÊ1, _k¹₊₁Éln(k+1)−ln(k)É_k¹. 3. On pose, pour toutn∈N∗,Hn=

n

X

k=1 1

ketan=Hn−ln(n). (a) Montrer que :_∀nÊ1, an>0.

(b) Montrer que la suite(an)converge vers un réelγ∈[0, 1]. 4. (a) Montrer l’égalité :

ln(un)=

n

X

k=1

(−1)^k−1 pk −1

2Hn+

n

X

k=1

wk

où ^X

kÊ1

wkest une série convergente.

(b) Déterminerlimun. Quelle est la nature de la série ^X

nÊ1

un. 5. Pourα>0, on considère la suite(vn)définie par

vn= Yn k=1

Ã

1+(−1)^k−1 k^α

! .

Montrer que cette suite admet une limite finieV, puis queV=0si et seulement siαɹ₂. Exercice 2.2.34 ⋆ C.C.P. – P.C.

Soit(un)la suite définie paru0=1etun+1=²ⁿ_2n⁺₊²₅un pour toutn∈N. 1. Étudier la convergence de la suite(un).

2. On posevn=¡_n+1

n

¢3/2un+1

u_n . Déterminera>0tel que ln(vn)= ^a

n²+o³₁

n²

´ . 3. La série^Pln(vn)est-elle convergente ?

4. Montrer qu’il existeC>0tel queun∼_n^C3/2. 5. La série^Pun est-elle convergente ?

Exercice 2.2.35 ⋆ X PC 2017 Indiquer la nature des séries :

X

nÊ2

1

lnn et ^X

nÊ2

1 (lnn)^lnn. Exercice 2.2.36 ⋆ Mines PC 2017

Soit(un)n∈¡ R^∗

+

¢^N

une suite réelle strictement positive. On suppose qu’il existeα∈Rtel que un+1

un =1−α n+ O

n→+∞

µ 1 n²

¶ . On pose aussi pour toutn∈N,bn=ln (n^αun)etan=bn+1−bn.

1. Quelle est la nature de la série ^X

nÊ0

an? 2. Montrer queun_n ∼

→+∞

λ

n^α avecλ>0à déterminer.

3. Pourn∈N, on poseIn=R_+∞

0

t²

(1+t⁴)ⁿdt. Trouver une relation de récurrence entreIn

etIn+1.

4. Trouver un équivalent deIn.

Exercice 2.2.37 ^⋆⋆⋆ Centrale, X – P.C.

1. Justifier la convergence de la séries de terme généralun=_(8n+1)(8n¹ ₊₅₎. 2. Exprimer la somme de cette série à l’aide d’une intégrale.

2.3 Comparaison série-intégrale

Exercice 2.3.1 ⋆ Constante d’Euler

Montrer qu’il existe un réelγ(appelé constante d’Euler) tel que Hn=

Xn k=1

1

k =lnn+γ+o(1) Exercice 2.3.2 ⋆

Étudier la nature de la série^{P 1}

n(lnn)^β oùβ>0. Exercice 2.3.3 ⋆ Série de Bertrand Étudier la nature de la série de Bertrand :^{P 1}

n^α¡

lnn¢β oùα,β∈R. Exercice 2.3.4

Étudier la nature de la série de terme généralun= 1 nlnn(ln(lnn))².

Exercice 2.3.5 ^⋆ Équivalent du reste de la série de Riemann exo:2004:Sep:Mon:12:16:26

1. Montrer que si0<α<1alors ^Xn

k=1

1 k^α_n ∼

→+∞

n^1−α 1−α.

2. Déterminer un encadrement puis un équivalent du reste d’ordren de la série de Rie- mann^P_nÊ1 ¹

n^α pourα>1.

3. Application : donner la nature de la série de terme généralun=

+∞X

k=n+1

1

k² puis celle de la série de terme généralvn=

+∞X

k=n+1

1 k⁴. Exercice 2.3.6 ⋆⋆ Mines-Pont PC Indiquer la nature de^Pun si

un=arccos µ 1

pn

¶

−arccos µ 1

pn+1

¶

sans utiliser un télescopage.

Exercice 2.3.7 ⋆ CCP MP

1. On considère la série de terme généralun= 1

n(lnn)^α oùnÊ2etα∈R. (a) Cas αÉ0

En utilisant une minoration très simple deun, démontrer que la série diverge.

(b) Cas α>0

Étudier la nature de la série.

Indication: On pourra utiliser la fonctionf définie parf(x)= 1 x(lnx)^α. 2. Déterminer la nature de la série ^X

nÊ3

µ e−

µ 1+1

n

¶n¶ eⁿ¹

¡ln(n²+n)¢2 . Exercice 2.3.8 ⋆ Centrale PC 2001

Quelle est la nature de la série de terme général un=

p1+p

2+. . .+p n n^a oùa∈R.

Exercice 2.3.9 ^⋆⋆

Quelle est la nature de la série de terme général un=n^a

+∞X

k=n

1 k² oùa∈R.

Exercice 2.3.10 ⋆ CCP 2011 PournÊ2, on pose :

un=

n

X

k=2

ln²k.

1. Montrer que^P_nÊ2un diverge.

2. Montrer que :

Zn

1 ln²tdtÉunÉ Zn+1

2 ln²tdt.

3. Calculer^R₁^xln²tdtet en déduire que : Zn

1

ln²tdt_n ∼

→+∞nln²n.

4. Donner un équivalent de _u¹

n quandn→ +∞. 5. Quelle est la nature de la série^P_u¹

n? Exercice 2.3.11 ⋆

Pourα>1on pose

ζ(α)=

+∞X

n=1 1 n^α

Déterminer la limite de(α−1)ζ(α)quandαtend vers1⁺ Exercice 2.3.12 ⋆

En exploitant une comparaison avec des intégrales, établir :

1. ^Pn_k=1^pk∼²₃np

n 2. ln(n!)∼nlnn 3. ^Pn_k=2klnk¹ _∼ln(lnn) Exercice 2.3.13 ⋆⋆⋆ Centrale MP

Soita>0,b>0et pourn∈N∗, An=¹

n n

X

k=1

(a+bk), Bn=

n

Y

k=1

(a+bk)^1/n

Trouverlimn→+∞Bn

A_n en fonction dee. Exercice 2.3.14 ^⋆ Mines MP Nature de la série de terme général

n^α Pn

k=2ln²k

oùαest réel.

Exercice 2.3.15 ⋆ Mines MP Soitα∈R∗. On pose, pourn∈N∗

un=_Pn¹

k=1k^α

Nature de la série de terme généralun?

Exercice 2.3.16 ⋆⋆⋆ Mines PC 2017 Déterminer un équivalent de^2nX−1

k=1

1 2k+1.

2.4 Critère de d’Alembert

Exercice 2.4.1 ⋆ Nature de la série^{P n!}

nⁿ. Exercice 2.4.2 ⋆ Nature de la série^P

¡_2n

n

¢ 2ⁿ . Exercice 2.4.3 ^⋆⋆

Nature de la série^{P nα}

(1+a)(1+a²) . . . (1+aⁿ)oùa>0etα∈R. Exercice 2.4.4 ⋆

Nature de la série^Pun où

un=









 1

2ⁿ sinest pair 1

3ⁿ sinest impair

Exercice 2.4.5 ^⋆⋆ Règle de Cauchy On considère une série à termes positifs^Pun. On suppose que

pn

un−−−−−→_n

→+∞ l

En utilisant une série géométrique, montrer la règle de Cauchy : 1. Si0Él<1, alors^Punconverge.

2. Sil>1, alors^Pun diverge.

Exercice 2.4.6 ⋆ Règle de Raabe-Duhamel, preuve avec le critère de com- paraison logarithmique

Soit une série^Pun à termes strictement positifs. On suppose que : un+1

un =1−α n+ o

n→+∞(1/n) 1. Siα<1, montrer que la série^Pun diverge.

2. Siα>1, montrer que la série^Pun converge.

On utilisera le théorème de comparaison logarithmique avec une série de Riemann. Ce résultat s’appelle larègle de Raabe-Duhamelqui est hors-programme mais qu’il faut savoir retrouver.

2.5 Quotient terme sur somme

Exercice 2.5.1 ⋆ Mines MP

Soit(un)une suite réelle strictement positive et convergeant vers0. On pose vn=^un+1

Sn

avecSn= Xn k=0

uk.

Montrer que les séries^Pun et^Pvn ont même nature.

Indication 2.0 : On pourra montrer quevn_n ∼

→+∞ln(Sn+1)−ln(Sn) Exercice 2.5.2 ^⋆⋆⋆ X MP

Soit(un)nÊ1une suite de réels strictement positifs.

On pose, pourn∈N∗,vn=^u_Snⁿ oùSn=u1+ ··· +un. Déterminer la nature de^Pvn. Exercice 2.5.3 ^⋆ CCP MP, Mines PC 2017

Soit(an)une suite de réels strictement positifs etSn=Pn k=0ak.

1. On suppose que la série^Panconverge, donner la nature de^Pan/Sn. 2. On suppose que la série^Pandiverge, montrer

∀n∈N^∗,an

S²_n É 1 Sn−1− 1

Sn

En déduire la nature de^Pan/S²_n.

3. On suppose toujours la divergence de la série^Pan. Quelle est la nature de^Pan/Sn?