Chapitre 2 Séries numériques

(1)

Chap 2 : Séries numériques

Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1

Chap 2 : Séries numériques

I. Généralités

 ou

0

( , ) ( ) ,

Une série à valeur dans est un couple _n _n où _n et

k n

n

n k

u U u n U u



   



( ) ( ) ( , )

,

est le terme général de la série, la suite des sommes partielles. On note pour La série décalée à l'ordre de est où

L'ensemble des séries muni des lois natur

n

n p

n n n n

n n n

u U u u U

p u v  n v u _

  

elles est un ev

0 0

( ) série de terme général dans

converge si la suite converge. La limite de est la somme de la série diverge si la suite diverge

n

n n

n

n k

k

u

u U u U U u

u U



 



  



( )

On dit que u_n et v_nsont de même nature lorsque u_n converge ssi v _n converge

0 0 1

série convergente de somme . Le reste d'ordre de est _n

n

m m

m k m k

m k n m

u U n u R u u U U u

 

   

    

    

(

1

)Equivalence suite-série : ( _{n n}) converge ( _n _n) converge

I u 



u _ u

( ) 0

(/!\ ?)

Divergence grossière : converge

Une sombinaison linéaire de séries convergentes converge.

n n n

u u

CV DV DV DV DV



  

 

( ) 1

0 0 0

| | 1 1 (1 ) 1

converge somme : 1

I n n n

n n n

q ssi q q q qn q

q

  



  

   

         

   

II. Séries à termes positifs

(u_{n n})  _

( ) ( ) série à termes positifs : croît

converge est majorée diverge

n n

n n n

u U

u ssi U



  

 



( )

) )

( ( ) :

série à termes positifs

injection de dans , et CV CV de somme

bijection de dans , et CV CV, les sommes sont les mêmes

n

n n n n n

n n n

n

n n n

u

v u u v V U

v u u v









   

  

  

 

( ) 0

( ) , ( ) ( )

extraction. CV CV

n

n k

k

n n n

u U u U U_





  





, :

et séries à termes positifs tels que CV aussi avec

n n n n n n

u v  n u v v  u UV

   

(2)

Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 2 (un n) ,(vn n) _ un ~vn vn et un sont de même nature

  

 

ln(1 )

Application utile :



u_n série à termes positifs. v_n u_n



u_n CV



v_n CV (u_n0:DL)

 

⁰

0

0 0

*

1

0 0

*

1 : ( ) :

( ) ,( ) .

, ( )

( ) Critères multiplicatifs :

Si tq : et CV CV

Théorème de d'Alembert : On SUPPOSE qu'il exis

n

n n p

n n n n

n

n n n n

n n

p

n n n

n

u

pr u v

v

u v

n n n u O v v u

u v

u



    



          

   

   



 

{ } 1

1 1 1

te tel que

Si , converge Si , Si , on ne peut rien dire

n n n

n n

k u k

u

k u k u k



 

   





   

D : ₀ ₀ ¹

1

1 / ,

tq thm

n n

u q

q k q n n n q

u q

 

        

III. Comparaison série-intégrale

, ([ , [, ) On dit que converge lorsque : possède une limite en On dit que diverge sinon

x

a a

a

a f a f F x f

f



  

 

 



C

1

1 1 1

1 1

: 1 ln : 1: 1

1 1

avec ^x ^x x CV (DV sinon)

f f x f x DV f ssi

x



   

 

 

        

 

  

([ , [, ) 0.

( )

( ) : [ , [

( ) (3 2 : )

avec On a équivalence entre : converge

est ma

encadrer avec e jorée sur

La suite est majorée t

pm

a

x a

n

a x

f a f

i f

x

ii F x f a

iii n f x



     

  











C

, _pm([ , [, ), 0 et 0. CV CV DV DV

a a a a

f g^C a  f  g f  g



^g 



^ f



^ f 



^g

2 1 ( 1 1) 1

(ln )dt converge ou et , diverge sinon (multiplier par avec entre et )

ssi b t

t t



     

   



/ / / /

0 0

0

,

( ) ( )

0 ( )

décroissante positive. La suite converge.

Si décroissante, la série et sont de même nature

n n

HP

pm

k

f f k f







 

 

 

C

D :

1 1 1

1 0

0 0

( ( 1) ( )) 0 ( ) ( ) ( ( ) ) 0 : min

n n

n n k

k n

k

u un f n f t dt u f k f f n f k f

  

  

 



   







 









1 1 1

Séries de Riemann : CV si , diverge si

n^  



1 1 ( 1 1)

(ln )

Séries de Bertrand : CV si ou et , diverge sinon

n^ n ^     



// //

1 1 1

1 1

: 0 ln (1)

Constante d'Euler converge vers

n n n

HP

k k

n n

u dt H n o

k t  k 

 









  



  

(3)

IV. Critère de Cauchy

1

, ,

série de nombres complexes : converge 0,

n

n n

k k m

u u ssi  n_ m n n u 

 

       

  

1

0, ,

Négation : tq , tq ne tend pas vers 0

n

k n

m q

n

k n k p

n k

N m n N u p q p u

 

  

     



     



( ,E ) evn, (u_n)E . On dit que



u_n est absolument convergente lorsque



u_n converge ( )

( )

Si est absolument convergente, vérifie le critère de Cauchy Si , l'absolue convergence entraîne la convergence

n n

n n

u U

u 



(u_{n n})  , ( )v_{n n} _ . Si u_n O v( )_n et



v_n converge, la série



u_n converge

1

1 1

0 DV ⁿ CV pour , DV pour . CV ⁿ DV (Cauchy, croissance)

n n n

n n

u u

u u u

U^   R



      

V. Sommation des relations de comparaison

~

0

) ( ), ( )

) ( 0 ) ~

et séries réelles avec , et divergente Si

Si , apcr ,

n n n n

n n n n n

u v n v v

a u o v U o V

b u v u U V

  

 



  

0 0

/ lim 0 (Cesaro généralisé)

n n

n

n n n k k k k

n

k k n

u v U v v

 V  ^ 

  

   

 



  



 

1 1

( ) ( , 0.

) ( )

Comparaison des restes : , ) avec pour tout Supposons que converge Si , est absolument convergente et

Si , est absolume

n

k n

n n n n n n

n n k k

n n n

k n

u v n v v

a u O v u u O v

b u o v u

 

   

 

 

   

 





  



1 1

) ~ ~

nt convergente et Si , est absolument convergente et

k k

k n k n

n

k n

n

n k

n

k k

u o v

c u v u u v

 

   

 

   

 

  

 

  

( )

1 ~ 0, 1 ~

Méthode de validation : ( DV)

I

n n n n n n

a_ a u 



u a _ U

VI. Semi-convergence

(u_{n n})  .



u_n est semi-convergente si



u_n converge et



|u_n| diverge.

( ) On note sup(( ),0), sup(( ),0) ( , | | )

Si est semi convergente, les séries et divergent.

n n n n n n n n n n n

n n n

u u u u u u u u

u u u

     

 

       

  

( )

2 1 2 1

1

( ) ( 1) .

, | | ( 1)

Critère de Leibniz : suite réelle DECROISSANTE de limite nulle, et

La série converge, et _p ^I

n

n n n n

k

p n

k

n n

n

k

v u v

u n U U U R v v



 

 

 

      

 

(4)

|u_n| CV :   ( ), u_( )_n CV de somme U



^S



// //

0 0

1( , ) Supp. | ' | CV. Alors la série ( ) et la suite ⁿ sont de même nature

HP f ^C _



^ f



f k



f

1 1 1 1 1

( ( ) ( ) ) [( ( ) ( )( ( 1))] '( )( ( 1)) | | | ' |

IPP ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ comp°

n^ f n  f t dt  f t  f n t n n^  n^ f t t n dtun n^ f  n^ f 

   

/ / / /

( ) ( ) Les sommes partielles de sont bornées

Transformation d'Abel : , . Supp

décroît vers 0 Alors la série converge

n

n n n

n P

n

n H

n

v v

v

 



 

  





1

1 1

1 1 1

0

( ) ( ) ( ) 2

car décroît

Cauchy

n n n

k k k k n n m k k k n

n

k m m k k m

k m k m k m k m

v V V V V V M M M M

  _   _ ^     ^   

  

   

           

   

VII. Compléments

1 1

Amélioration de d'Alembert : faire un DA quand ⁿ

n

u u

 

2

~ Formule de Stirling : !

n n

n _^{ }_{ }e n

 

1 /2

2 2 2

2 0 2

1 1 1 (2 )!

. ln : 0. sin ( )

! (IPP). 2 (2 !) 2

n

n n n

n n

n n n n

n x n n

x n DL O CV C I tdt I nI I rec I

n e x n n n

  

  

    

          



  

( ) ( 1) 1

( 1) 1

( )

, (0) 0 ...

( ) 0

| | 0

Croupement de termes : extraction avec , Si , et sont de même nature

Sinon, si , et , et sont de même nature

n

n n n n

n n

n n n

n

k n

k n n

u v u u

u u v

u u u v

 



 



 



    



  

 

  

0 0

(

( 1)

2 2

) ( ) ( )

( 0) : :

1 1

Techniques utiles :

"Limite monotone" (ici, décroissante) : , puis fix.

"Règle du " Si

La série si , DV si _n apcr

n

p n

k

n n

k

n

n n n

k k

u n p u

L L

u u u p

n u u n u

u L

n n

CV _



 

 



    

  

      

 

( 1) ( ) Contre-exemples suites "lacunaires", avec pleins de 0

Trouver des équivalents de suites récurrentes : chercher tq finie

" généralisé" : développer avec développement limités pour avo

n n

f f x f x l

DL





 

1

1 1

1

( )

ln

ir des termes CV (et 1 DV)

Etudier pour avoir par exemple la convergence de

k k m n k

m m

m n k k

k n k n

n

n n

v V V V

x x

x

   _ ^   _

 



   

 



1 4

0 1

'

1 1

( 1) ( 1)

4 1

( ( ) ( )) [( ( 1))( ( ) ( )] ( 1 ) '( )

Intégrales : ⁿ

n n

n

n n

n n u v

u t dt

n

f t f k dt t k f t f k ^ k t f t dt

 

   



       