Chapitre 1:
Séries Numériques
Hamid Boua
Faculté pluridisciplinaire-Nador- Module: Analyse 2
SMP-SMC 1ermai 2021
Sommaire
1 Définitions et Propriétés
2 Série à termes positifs
3 Série à termes réels
Sommaire
1 Définitions et Propriétés
2 Série à termes positifs
3 Série à termes réels
Définitions et Propriétés
Le but est de donner un sens précis à une somme infinie de termes. Soitun, n
≥
0, une suite réelle. On poseSn=
u0+
u1+
....+
un=
n
∑
k=0
uk, la somme des premiers termes jusqu’a l’ordren.
Définition
On appelle série attachée à la suiteunet on la note par
∑
un, la suiteSndéfinie parSn=
n
∑
k=0
uk.
unest appelé le terme général de la série.
La série associée àunest notée par
∑
unou bien paru0+u1+....+un+....Définitions et Propriétés
Le but est de donner un sens précis à une somme infinie de termes. Soitun, n
≥
0, une suite réelle. On poseSn=
u0+
u1+
....+
un=
n
∑
k=0
uk, la somme des premiers termes jusqu’a l’ordren.
Définition
On appelle série attachée à la suiteunet on la note par
∑
un, la suiteSndéfinie parSn
=
n
∑
k=0
uk.
unest appelé le terme général de la série.
La série associée àunest notée par
∑
unou bien paru0+
u1+
....+
un+
....Définition
a) La série
∑
unest dite convergente si la suiteSna une limite finie quand n7→ +∞
. Dans ce casS= lim
n7→+∞Snest appelée la somme de la série, on la note parS
=
+∞
∑
k=0
uk. On dit aussi que la série∑unconverge et sa somme est S.
b) La série
∑
unest dite divergente si la suiteSnn’a pas de limite finie (c’est-à direSnn’a pas de limite, ou bien admet une limite infinie)Définition
a) La série
∑
unest dite convergente si la suiteSna une limite finie quand n7→ +∞
. Dans ce casS= lim
n7→+∞Snest appelée la somme de la série, on la note parS
=
+∞
∑
k=0
uk. On dit aussi que la série∑unconverge et sa somme est S.
b) La série
∑
unest dite divergente si la suiteSnn’a pas de limite finie (c’est-à direSnn’a pas de limite, ou bien admet une limite infinie)Exemples
1) Soit la série de terme généralun
=
13n,n>0. On a : Sn
=
13
+
132
+
...+
1 3n=
13
1
− (
13)
n 1−
13 . Sn=
12
(
1−
13n
)
, donclim
n7→+∞Sn
=
1 2.Donc la série∑31n est convergente de somme 1 2.
2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un= 1
n, oùn∈N∗. Cette série n’est pas convergente.
Exemples
1) Soit la série de terme généralun
=
13n,n>0. On a : Sn
=
13
+
132
+
...+
1 3n=
13
1
− (
13)
n 1−
13 . Sn=
12
(
1−
13n
)
, donclim
n7→+∞Sn
=
1 2.Donc la série∑31n est convergente de somme 1 2.
2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un
=
1n, oùn
∈
N∗. Cette série n’est pas convergente.Définition : Nature et Caractère
Déterminer la nature ou le caractère d’une série c’est déterminer si elle est convergente ou divergente
Définition : Série déinie à partir d’un certain rang
Soit(un)n≥p une suite définie à partir dep. On poseSn=n
∑
k=p
uk. On dit que la série
∑
n≥p
unconverge si et seulement si la suiteSnadmet une limite finie.
Définition : Nature et Caractère
Déterminer la nature ou le caractère d’une série c’est déterminer si elle est convergente ou divergente
Définition : Série déinie à partir d’un certain rang
Soit(
un)
n≥p une suite définie à partir dep. On poseSn=
n
∑
k=p
uk. On dit que la série
∑
n≥p
unconverge si et seulement si la suiteSnadmet une limite finie.
Définition
Soit
∑
unune série qui converge, et soitSsa somme. On poseRn=
S−
SnoùSn
=
n
∑
k=0
uk et on la note parRn
=
+∞
∑
p=n+1
uk.Rnest appelée le reste d’ordre nde la série
∑
un. On an7→+∞lim
Rn=
0Proposition
a) Si la série
∑
unconverge alors limn7→+∞un=0.
b) La réciproque est fausse : La série harmonique
∑
1n diverge malgré quen7→+∞lim 1 n =0
Définition
Soit
∑
unune série qui converge, et soitSsa somme. On poseRn=
S−
SnoùSn
=
n
∑
k=0
uk et on la note parRn
=
+∞
∑
p=n+1
uk.Rnest appelée le reste d’ordre nde la série
∑
un. On an7→+∞lim
Rn=
0Proposition
a) Si la série
∑
unconverge alorslim
n7→+∞un
=
0.b) La réciproque est fausse : La série harmonique
∑
1n diverge malgré quen7→+∞
lim
1 n=
0Proposition
Si les séries
∑
unet∑
vnconvergent et leurs sommesSetS0, alors on : a) La série∑ (un+
vn)
converge et sa somme estS+
S0.
b) La série
∑ (λun)
converge et sa somme estλS,∀λ ∈
R.
Remarque
∀λ∈R∗, les séries
∑
unet∑
λunsont de même nature. En effet : si∑
unconverge alors la série
∑
λunconverge. Réciproquement, si la série∑
λunconverge alors la série
∑
λ−1λunconverge, c-à-d la série∑
unconverge.Proposition
Si les séries
∑
unet∑
vnconvergent et leurs sommesSetS0, alors on : a) La série∑ (un+
vn)
converge et sa somme estS+
S0.
b) La série
∑ (λun)
converge et sa somme estλS,∀λ ∈
R.
Remarque
∀λ ∈
R∗, les séries∑
unet∑
λunsont de même nature. En effet : si∑
unconverge alors la série
∑
λunconverge. Réciproquement, si la série∑
λunconverge alors la série
∑
λ−1λunconverge, c-à-d la série∑
unconverge.Cas particuliers
a) Soit
∑
unune série telle queun=
an−
an+1,∀
n∈
N, alors : la série∑
unconverge⇐⇒
la suiteanconverge.Dans ce cas, on a
+∞
∑
k=0
uk
=
a0− lim
n→∞an. Exemple :un
=
1n
(
n+
1)
on aun=
1 n−
1n
+
1,∀
n∈
N∗. On posean=
1 n on a un=
an−
an+1n→+∞
lim
an=
0 donc la série∑
unconverge et on a+∞
∑
k=1
uk
=
a1− lim
n→+∞
1
n
+
1=
a1=
1b) Série géométrique.
Soienta
∈
R∗etq∈
R. On appelle série géométrique de premier termeaet de raisonq, la sérieqna, c-à-d, la série :a+
qa+
q2a+
...+
qna+
...La série∑qnaconverge si et seulement si
|
q|
<1. Dans ce cas on a :+∞
∑
n=0
qna
=
a1
−
q donc+∞
∑
n=0
qn
=
11
−
q si|
q|
<1.Sommaire
1 Définitions et Propriétés
2 Série à termes positifs
3 Série à termes réels
Définition
Une sérieunest dite à termes positifs si pour toutn
∈
Non aun≥
0.Proposition
Pour qu’une série
∑
unà termes positifs converge, il faut et il suffit que sa somme partielleSnsoit majorée.Définition
Une sérieunest dite à termes positifs si pour toutn
∈
Non aun≥
0.Proposition
Pour qu’une série
∑
unà termes positifs converge, il faut et il suffit que sa somme partielleSnsoit majorée.Théorème : (Critère de comparaison des séries)
Soient
∑
unet∑
vndeux séries à termes positifs, tel que 0≤
un≤
vn∀
n∈
N, alors on a :1 Si
∑
vnconverge alors∑
unconverge,2 Si
∑
undiverge alors∑
vndiverge.Exemples 1) 1
n2
≤
1n
(
n−
1)
, donc la série∑
n12 converge car la série∑
n(
n1−
1)
estconverge.
2) 1 n
≤ √
1n, donc la série
∑ √1n est divergente.
Définition
On dit que les deux séries
∑
unet∑
vnsont équivalente et on noteun∼
∞vn quandn7→ +∞
silim
n7→+∞
un
vn
=
1Proposition
Soient
∑
unet∑
vndeux séries à termes positifs avecun∼vnquand n7→+∞, alors on a :∑
unest convergente⇐⇒∑
vnest convergente.Définition
On dit que les deux séries
∑
unet∑
vnsont équivalente et on noteun∼
∞vn quandn7→ +∞
silim
n7→+∞
un
vn
=
1Proposition
Soient
∑
unet∑
vndeux séries à termes positifs avecun∼
vnquand n7→ +∞
, alors on a :∑
unest convergente⇐⇒ ∑vnest convergente.
Proposition : (Critère de Cauchy)
Soit
∑
unune série à termes positifs telle quelim
n7→+∞
√
nun
=
l alors :1 Sil<1 : la série
∑
unconverge.2 Sil>1 : la série
∑
undiverge.3 Sil
=
1 : ce critère ne donne rien.Exemple
Poura>0 etn
∈
N∗on poseun= (
a+
1n
)
n. Trouver la nature de la série∑un.•
On a√
nun
=
a+
1n
⇒ lim
n7→+∞
√
nun
=
a.?Sia>1 alors
∑
undiverge.?Sia<1 alors
∑
unconverge.?Sia
=
1 alorsun= (
a+
1n
)
n=
enlog(1+n1),lim
n7→+∞un
=
e6=
0 donc∑
undiverge.
Proposition : (Critère de d’Alembert)
Soit
∑
unune série à termes positifs telle quelim
n7→+∞
un+1 un
=
l1 Sil<1 : la série
∑
unconverge ;2 Sil>1 : la série
∑
undiverge.4
Sil=
1, ce critère ne donne rien.Exemple
a)un
=
nn
n
!
on a un+1un
= (
n+
1)
nnn
= (
n+
1n
)
n=
enlog(1+1n).n7→+∞
lim
un+1un
=
e>1 d’où∑
undiverge.b)un=b
n
n! avecb>0, un+1
un
= b
n+1−→0<1 donc
∑
unconverge.Proposition : (Série de Riemann)
Soitα∈R, la série
∑
n1α converge siα>1 et diverge siα≤1.Exemple
a)un
=
nn
n
!
on a un+1un
= (
n+
1)
nnn
= (
n+
1n
)
n=
enlog(1+1n).n7→+∞
lim
un+1un
=
e>1 d’où∑
undiverge.b)un
=
bn
n
!
avecb>0, un+1un
=
bn
+
1−→
0<1 donc∑
unconverge.Proposition : (Série de Riemann)
Soitα
∈
R, la série∑
n1α converge siα>1 et diverge siα≤
1.Sommaire
1 Définitions et Propriétés
2 Série à termes positifs
3 Série à termes réels
Définition
La série
∑
unest dite absolument convergente si la série∑ |un|
est
convergente.
Proposition
Si la série est absolument convergente alors elle est convergente.
Remarque :
i) La réciproque de la proposition précédente est fausse.
ii) Ce résulat, permet parfois de ramener le problème à l’étude de série à termes positifs.
Définition
La série
∑
unest dite absolument convergente si la série∑ |un|
est
convergente.
Proposition
Si la série est absolument convergente alors elle est convergente.
Remarque :
i) La réciproque de la proposition précédente est fausse.
ii) Ce résulat, permet parfois de ramener le problème à l’étude de série à termes positifs.
Exemples
a) Soitun
= (−
1)
nn4 on a
|
un| =
1n4, la série
∑
n14 converge, donc la série∑
unabsolument convergente donc converge.
b) Soitvn=(−1)n
√n on a|vn|= 1
n12. La série
∑
1n12 diverge, donc la série
∑
vnn’est pas absolument convergente.
Exemples
a) Soitun
= (−
1)
nn4 on a
|
un| =
1n4, la série
∑
n14 converge, donc la série∑
unabsolument convergente donc converge.
b) Soitvn
= (−
1)
n√
n on a|
vn| =
1n12. La série
∑
1n12 diverge, donc la série
∑
vnn’est pas absolument convergente.
Définition
La série
∑
unest dite altermée si on a :un
= (−
1)
nvn,∀
n∈
Navecvn≥
0∀
n∈
N ou bien si on a :un
= (−
1)
n+1vnavecvn≥
0∀
n∈
NThéorème (de Leibnitz )
Soit
∑ (−1)
nunune série alternée avecun≥
0,∀
n∈
N. Si la suiteunest
décroissante et si lim
n7→+∞un
=
0, alors la série∑ (−1)
nunest convergente et on
a|
Rn| ≤
un+1,∀
n∈
NoùRn=
+∞
∑
k=n+1
(−
1)
kukExemple :
Etudier la série
∑ (−1)
n
√
n . C’est une série alternée, on a 1√
n est décroissante etlim
n7→+∞
√
1n
=
0 donc par le Théorème de Leibnitz, la série∑ (−1)
n
√
n est convergente.Définition
Une série qui converge sans être absolument convergente est dite semi-convergente.
Ex :
∑ (−1)
n
