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le 30 Septembre 2010 UTBM MT26

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

S´ eries num´ eriques

Introduction.

Une s´erie est la somme des termes d’une suite. Mais la th´eorie des s´eries n’est pas qu’une simple application des r´esultats obtenus sur les suites. De nombreuses constantes, valeurs de fonctions ne peuvent ˆetre d´efinies que par des s´eries. On pourra ´egalement remarquer qu’une suite peut se ramener `a une s´erie.

1 ”Rappel” sur les suites de Cauchy.

D´efinition 1.1 On appelle suite de Cauchy, une suite (u_n)_n∈N telle que

∀ϵ >0,∃N ∈N,∀p, q ≥N,|u_p−u_q|< ϵ.

Exemples 1.2 1) Consid´erons la suite d´efinie par u₀ ∈R etu_n+1 =u_n+^sin(n)₂n . Cette suite est de Cauchy

2) Soit la suite (S_n)_n d´efinie par S₁ = 1, S₂ = 1 + ¹₂, S_n= 1 + ¹₂ +...+ ¹_n. (S_n)_n n’est pas une suite de Cauchy.

Proposition 1.3 Toute suite convergente est de Cauchy Preuve.

Soit (u_n)_n convergente versl.

Soit ϵ >0.

Il existeN ∈N tel que ∀n ≥N,|un−l| ≤ ₂^ϵ. Alors, ∀p, q ≥N,|u_p−u_q| ≤ϵ.

CQFD

Proposition 1.4 Dans R ou C, toute suite de Cauchy est convergente (⇐⇒ R et C sont complets).

Preuve.

Dans R.

On montre tout d’abord qu’une suite de Cauchy est born´ee (exo).

Si on consid`ere alors (R complet) les deux suites de terme g´en´eral i_p = inf((u_n)_n≥p) et s_p = sup((u_n)_n≥p), elles sont adjacentes donc admettent une limite l

Par le th´eor`eme des gendarmes, l est alors la limite de (u_n)_n. CQFD

Remarque 1.5 La proposition pr´ec´edente n’est pas vraie dans Q. Exemple : u_n= ^E(

√2.10ⁿ) 10ⁿ .

2 Les s´ eries num´ eriques.

K=Rou C.

D´efinition 2.1 Soit (u_n)_n≤n0 ⊂K une suite.

On appelle s´erie de terme g´en´eral u_n la suite (S_n)_n∈N d´efinie par

S_n =

∑n

k=n0

u_k (somme partielle d^′ordre n).

On la note ∑ u_n.

D´efinition 2.2 Une s´erie ∑

u_n est dite convergente ssi la suite (S_n) est convergente.

Cette limite est appel´ee somme de la s´erie et not´ee

S =

+∞

∑

n=n0

u_n.

Sinon, on dit que la s´erie est divergente.

Dans le cas d’une s´erie convergente de limite S, Rn = S −Sn = ∑+∞

k=n+1uk est appel´e reste d’ordre n de ∑

u_n.

Exemples 2.3 i) Soit la s´erie ∑ ₁

n.(n+1) : S_n= 1

1.2 + 1

2.3 +...+ 1 n.(n+ 1).

ii) Soit la s´erie _n (s´erie harmonique) :

S_n= 1 + 1

2 +...+ 1 n.

Remarque 2.4 Les exemples pr´ec´edents montrentlim_n→∞u_n= 0est une conditionn´ecessaire mais non suffisante pour que ∑

un converge.

Exercice 2.5 a, q ∈R. A quelles conditions ∑

a.qⁿ est-elle une s´erie convergente ?

3 Op´ erations sur les s´ eries.

Soient ∑

u_n et ∑

v_n, deux s´eries num´eriques etλ∈K. On d´efinit la somme : ∑

un+∑

vn:=∑

(un+vn), le produit par un scalaire λ : λ.∑

u_n:=∑

(λ.u_n).

D’apr`es les propri´et´es des limites de suites num´erique, on a : Si∑

u_nconverge versket∑

v_nconverge verslalors∑

u_n+∑

v_nconverge versk+letλ.∑ u_n converge vers λ.k.

Ce qui fait de l’ensemble des s´eries convergentes munis des 2 lois pr´ec´edentes un espace vectoriel.

Remarque 3.1 (exo)

La somme de deux s´eries divergentes, n’est pas forc´ement divergente. Trouver un exemple.

Exercice 3.2 D´eterminer la convergence et la somme de ∑

ln(1 +_n¹).

4 S´ eries num´ eriques ` a termes positifs.

D´efinition 4.1 On appelle ∑

u_n s´erie `a termes positifs si∃N ∈N,∀n ≥N, u_n ≥0.

Remarque 4.2 On supposera, pour simplifier les notations, que tous les termes sont positifs.

4.1 Crit` ere de comparaison.

Th´eor`eme 4.3 Soient ∑

u_n, ∑

v_ndeux s´eries num´eriquespositivestelles que∀n ≥N, u_n ≤ v_n.

i) Si ∑

v_n converge alors ∑

u_n converge, ii) Si ∑

u_n diverge alors ∑

v_n diverge.

Preuve.

i) Croissante major´ee donc convergente.

ii) Non major´ee donc divergente.

CQFD

Exercice 4.4 1) La suite Un =∏_n

k=1e^k21k est-elle convergente ? 2) La s´erie ∑ ₁

ln(1+n) est-elle convergente.

4.2 Crit` ere de d’Alembert.

Th´eor`eme 4.5 Soit ∑

u_n une s´erie positive telle que ^un_u⁺¹

n converge vers une limite R ∈ R∪ {∞}.

i) Si R <1 alors ∑

u_n converge.

ii) Si R >1 alors ∑

u_n diverge.

Preuve.

i) Si R < 1, il existe N ∈ N et α < 1, tels que ∀n ≥ N, u_n ≥ 0 et ^un_u⁺¹

n ≤ α. Donc ∀n ≥ N u_n≤α^n−Nu_N. Or ∑

α^n−Nu_N converge, d’o`u le r´esultat par comparaison.

ii) Si R > 1, il existe N ∈ N et α > 1, tels que ∀n ≥ N, u_n ≥ 0 et ^un_u⁺¹

n ≥ α. Donc ∀n ≥ N un≥α^n−NuN. Or ∑

α^n−NuN diverge, d’o`u le r´esultat par comparaison.

CQFD

Remarque 4.6 la preuve nous pousse `a affiner un peu le crit`ere ci-dessus. (exo.) Remarque 4.7 ATTENTION !

i) Soit ∑

u_n avec u_n = _n¹. Alors ^un+1_u

n <1 et ∑

u_n diverge (lim_n→+∞ ^un+1_u

n = 1).

ii) Soit ∑

u_n avec u_n= _n(n+1)¹ . Alors ^u_uⁿ⁺¹

n <1 et ∑

u_n converge (lim_n→+∞ ^u_uⁿ⁺¹

n = 1).

Exercice 4.8 Etudier, suivant la valeur de α∈R, la convergence de la s´erie ∑(n!)^α nⁿ .

4.3 Crit` ere de Cauchy.

Th´eor`eme 4.9 Soit ∑

u_n une s´erie positive telle que √ⁿ

u_n converge vers une limite R ∈ R∪ {∞}.

i) Si R <1 alors ∑

u_n converge.

ii) Si R >1 alors ∑

u_n diverge.

Preuve.

i) Si R < 1, il existe N ∈ N et α < 1, tels que ∀n ≥ N, u_n ≥ 0 et √ⁿ

u_n ≤ α. Donc ∀n ≥ N u_n≤α^n−N. Or ∑

α^n−N converge, d’o`u le r´esultat par comparaison.

ii) Clair car dans ce cas,u_n −→+∞. CQFD

Remarque 4.10 la preuve nous pousse `a affiner un peu le crit`ere ci-dessus. (exo.) Exercice 4.11 1) Etudier suivant a, b, c, d∈R⁺_∗, ∑

(^an+b_cn+d)ⁿ.

2) Etudier, suivant la valeur de α∈R, la convergence de la s´erie ∑₂ⁿ

n² sin²ⁿ(α).

3) Etudier la convergence de la s´erie ∑ ₁

n^n.ln(n). Remarque 4.12 ATTENTION !

i) Soit ∑

u_n avec u_n = _n¹. Alors √ⁿ

u_n <1 et ∑

u_n diverge (lim_n→+∞ √ⁿ

u_n= 1).

ii) Soit ∑

u_n avec u_n= _n(n+1)¹ . Alors √ⁿ

u_n <1 et ∑

u_n converge (lim_n→+∞ √ⁿ

u_n = 1).

4.4 Crit` ere d’´ equivalence.

Th´eor`eme 4.13 Soit ∑

un et ∑

vn, deux s´eries positives telles que un ∼+∞ vn. Alors ∑ vn

et ∑

u_n sont de mˆeme nature.

Preuve.

i) Supposons que∑

u_n converge. On av_n= (1 +ϵ(n))u_navec lim_n→+∞ϵ(n) = 0. Donc il existe N ∈N tel que ∀n≥N, 0< v_n≤2.u_n. D’o`u le r´esultat par comparaison.

ii) Supposons que ∑

u_n diverge. On a v_n = (1 +ϵ(n))u_n avec lim_n→+∞ϵ(n) = 0. Donc il existe N ∈N tel que ∀n≥N, v_n ≥ ¹₂.u_n >0. D’o`u le r´esultat par comparaison.

CQFD

Exercice 4.14 1) ∑_n+^√_n

n³−1, 2) ¹

n^{1+ 1n}.

4.5 Comparaison avec une int´ egrale.

Proposition 4.15 Soit f : R −→ R⁺ continue d´ecroissante, d´efinie sur [p,+∞[ (p ∈ N).

Alors ∀N > a, N ∈N

∫ N+1 a+1

f(t)dt ≤

∑N

k=a+1

f(k)≤

∫ N a

f(t)dt.

Preuve.

DESSINS CQFD

On en d´eduit le

Th´eor`eme 4.16 Soit f : R −→ R⁺ d´ecroissante, d´efinie sur [p,+∞[ (p ∈ N). Alors la s´erie

∑f(n) est de mˆeme nature que l’int´egrale impropre

∫ +∞ p

f(t)dt.

Exemples 4.17 S´eries de Riemann.

∑u_n avec u_n = _n¹α.

Remarque 4.18 ( Crit`ere de Riemann)

A partir du r´esultat ci-dessus, on peut, de la mˆeme fa¸con que pour les int´egrales g´en´eralis´ees, construire de crit`ere de Riemann :

((n^α.u_n −→0)∧(α >1)) =⇒(∑

u_n converge)

((n^α.u_n−→+∞)∧(α ≤1)) =⇒(∑

u_n diverge).

Exercice 4.19 (s´eries de Bertrand)

Quelle est, suivant les valeurs de α et β, la nature de la s´erie

∑ 1 n^α.(lnn)^β ?

5 S´ eries num´ eriques ` a termes quelconques.

5.1 Absolue convergence.

D´efinition 5.1 Soit ∑

un une s´eries num´erique. Si la s´erie de ∑

|un| est une s´erie conver- gente, on dit que ∑

u_n est absolument convergente.

Th´eor`eme 5.2 Une s´erie num´erique ∑

u_n absolument convergente est convergente. De plus,

|∑

u_n| ≤∑

|u_n|.

Preuve.

Dans le cas complexe, ∑

u_n =∑

Re(u_n) +i∑

Im(u_n) et |Re(u_n)| ≤ |u_n|, |Im(u_n)| ≤ |u_n|. Il suffit donc de v´erifier le th´eor`eme pour une s´erie r´eelle.

∑u_n=∑

max{u_n,0} −∑

max{−u_n,0}. Or∑

max{u_n,0} et∑

max{−u_n,0}sont des s´eries

`

a termes positifs qui convergent si on suppose que ∑

|u_n|converge.

CQFD

Exemples 5.3 ∑ln(n)+(−1)ⁿ.(n+1)

n³ est absolument convergente.

Exercice 5.4 a, q ∈C. A quelles conditions ∑

a.qⁿ est-elle une s´erie convergente ?

D´efinition 5.5 Une s´erie convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Exemples 5.6 La s´erie∑₍₋₁₎ⁿ

n est convergente (voir ci-dessous) mais pas absolument conver- gente.

Remarque 5.7 En changeant l’ordre des termes d’une s´erie r´eelle semi-convergente, on peut construire une s´erie qui converge vers une limite l∈R choisie au d´epart.

[Notons u⁺_k les termes positifs et u⁻_k les termes n´egatifs. Clairement ∑

u⁺_k et ∑

u⁻_k divergent (car la s´erie est semi-convergente). Soit l ∈R⁺.

i) Il existe k₁⁺ ∈N, tel que S₁⁺ =∑k₁⁺

i=0u⁺_i > l et ∑k⁺₁−1

i=0 u⁺_i ≤l. Et |S₁⁺−l| ≤ |u⁺

k₁⁺|. ii) Il existe k⁻₁ ∈N, tel que S₁⁻=S₁⁺+∑k⁻₁

i=0u⁻_i < l et ∑k₁⁻−1

i=0 u⁻_i ≥l. Et |S₁⁻−l| ≤ |u⁻

k₁⁻|. iii) Il existek₂⁺ > k₁⁺, tel queS₂⁺ =S₁⁻+∑k⁺₂

i=k₁⁺u⁺_i > letS₁⁻+∑k⁺₂−1

i=k⁺₁ u⁺_i ≤l. Et|S₂⁺−l| ≤ |u⁺

k₂⁺|. iv) Il existek₂⁻> k₁⁻, tel queS₂⁻=S₂⁺+∑k₂⁻

i=k₁⁻u⁻_i < letS₂⁺+∑k₂⁻−1

i=k⁻₁ u⁻_i ≥l. Et|S₂⁻−l| ≤ |u⁻

k⁻₂|. etc...

Or |u_n| converge vers 0.

Donc la suite {S₁⁺, S₁⁻, S₂⁺, S₂⁻, ....} converge vers l.]

5.2 S´ eries altern´ ees.

D´efinition 5.8 Une s´erie ∑

u_n est ditealtern´ee ssiu_n = (−1)ⁿα_n avec α_n une suite de signe constant.

Th´eor`eme 5.9 Toute s´erie r´eelle, altern´ee, telle que la suite (|u_n|)_n d´ecroit vers 0est conver- gente.

Preuve.

Supposons α_n≥0. Posons S_p =∑p n=0u_n.

Il est facile de montrer que les deux suites (S_2p)_p et (S_2p+1)_p sont adjacentes. Elles convergent donc vers une limite commune l. Ce qui montre que (S_p)_p converge vers l.

De plus, S_2p+1 ≤l≤S_2p+2 avec S_2p+2−S_2p+1 =α_2p+2 =|u_2p+2|. D’o`u la majoration.

CQFD

Remarque 5.10 On a montr´e que, pour une s´erie telle que donn´ee dans le th´eor`eme pr´ec´edent,

|Rp|:=|∑_+∞

n=p+1un| ≤ |up+1|. Ce r´esultat sera utile pour approch´e la somme d’une s´erie altern´ee au paragraphe 6.4.

Exemples 5.11 La s´erie harmonique ∑

n≥1 (−1)ⁿ⁻¹

n converge.

De plus, en int´egrant l’egalit´e ∀t∈[0,1],∑_p−1

n=0(−t)ⁿ = ¹⁻_1+t^(−t)p, on obtient ∑_p−1

n=0 (−1)ⁿ

n+1 = ln 2 + (−1)^p∫1

0 t^p

1+tdt, donc |∑₍₋₁₎ⁿ⁻¹

n −ln 2| ≤∫1

0 t^pdt = _p+1¹ . Donc la somme de la s´erie harmonique est ln 2.

5.3 Sommation d’Abel.

On peut g´en´eraliser le r´esultat sur les s´eries altern´ees de la fa¸con suivante : Soit ∑

u_n une s´erie `a termes r´eels ou complexes telle que u_n=ϵ_n.a_n. Posonsσn =∑k=n

k=0 ak.

On a alors (m´ethode de sommation d’Abel) : S_n:=∑k=n

k=0 u_n = ϵ₀.a₀+ϵ₁.a₁+...+ϵ_n.a_n

= ϵ₀σ₀+ϵ₁.(σ₁−σ₀) +ϵ₂.(σ₂−σ₁) +...+ϵ_n.(σ_n−σ_n−1)

= σ₀.(ϵ₀−ϵ₁) +σ₁.(ϵ₁−ϵ₂) +...+σ_n−1.(ϵ_n−1−ϵ_n) +σ_n.ϵ_n Supposons, de plus, que (ϵ_n)_n est une suite de r´eels positifs, d´ecroissante et

∃M ∈R⁺,∀n ∈N,|σ_n| ≤M Alors

|S_n| ≤M.(ϵ₀ −ϵ₁+ϵ₁−ϵ₂+...+ϵ_n−1−ϵ_n+ϵ_n) =M.ϵ₀. Remarque 5.12 On montre de la mˆeme fa¸con

∀n₀ < n₁ ∈N,|

k=n∑1

k=n0

u_n| ≤ϵ_n0.M.

On a donc d´emontr´e la

Proposition 5.13 (R`egle d’Abel.)

Soient (ϵ_n)_n une suite de r´eels positifs, d´ecroissante de limite 0 et (a_n)_n une suite de com- plexes telle que

∃M ∈R⁺,∀n ∈N,|

∑k=n

k=0

a_k| ≤M

Alors la s´erie u_n converge et

∀n₀ < n₁ ∈N,|

k=n∑1

k=n0

u_n| ≤ϵ_n0.M.

Preuve.

Grˆace `a la derni`ere majoration, la suite des sommes est alors de Cauchy CQFD

6 Estimation de la somme d’une s´ erie.

Dans quelques rares cas, on peut d´eterminer de fa¸con exacte la somme d’une s´erie num´erique : s´eries g´eom´etrique, s´eries t´elescopiques (ex. ∑ ₁

n²−1),...

Dans les autres cas, pour une s´erie convergente ∑

u_n, on peut approximer S = ∑+∞

n=0u_n par S_p =∑n=p

n=0u_n pourp grand.

L’erreur commise est mesur´ee par R_p =∑_+∞

n=p+1u_n et on a

|R_p| ≤

+∞

∑

n=p+1

|u_n|.

Notre but, pour ϵ >0 donn´e, est de trouver p tel que |R_p|< ϵ.

Pour cela nous allons majorer cette erreur pour une s´erie dont la convergence a ´et´e montr´ee grˆace au crit`ere de D’Alembert, de Cauchy, grˆace `a la comparaison avec une int´egrale ou le crit`ere des s´eries altern´ees.

6.1 Crit` ere de D’Alembert.

Pour n assez grand ^|u_|u^n+1|

n| ≤k < 1.

Donc, pour p assez grand (p ≥p₀), |u_p+1| ≤k|u_p|, |u_p+2| ≤k²|u_p|, ... donc

|R_p| ≤ |u_p|(k+k²+k³ +...) =|u_p| k 1−k. Exemples 6.1 Valeur approch´ee `a 10⁻³ pr´es de ∑₅ⁿ

n!.

6.2 Crit` ere de Cauchy.

Pour n assez grand √ⁿ

|u_n| ≤k <1.

Donc, pour p assez grand (p ≥p₀), |u_p+1| ≤k^p+1, |u_p+2| ≤k^p+2, ... donc

|R_p| ≤k^p(k+k² +k³+...) = k^p+1 1−k. Exemples 6.2 Valeur approch´ee `a 10⁻³ pr´es de ∑

(¹⁰⁰_n )ⁿ.

6.3 Comparaison avec une int´ egrale.

Soit une s´erie de terme g´en´eral un=f(n) avec f positive d´ecroissante sur [a,+∞[.

On a vu que, pour p≥a,

∫ _+∞

p+1

f(x)dx < R_p <

∫ _+∞

p

f(x)dx.

Si on approxime S par S_p, on peut majorer l’erreur par ∫+∞

p f(x)dx.

Remarque 6.3 Il est plus int´eressant d’approximer S par S_p +∫_+∞

p+1 f(x)dx et de majorer l’erreur E_p par ∫p+1

p f(x)dx qu’on peut lui-mˆeme majorer par u_p. Exemples 6.4 Valeur approch´ee `a ϵ pr´es de ∑ ₁

n^α.

6.4 Crit` ere des s´ eries altern´ ees.

Soit une s´erie de terme g´en´eral u_n = (−1)ⁿa_n avec (a_n)_n suite positive d´ecroissante de limite 0.

On a vu (remarque 5.10) que, dans ce cas,|R_p| ≤a_p+1.

Donc, si on approximeS par S_p, on peut majorer l’erreur par a_p+1. Exemples 6.5 Valeur approch´ee `a 10⁻³ pr´es de ∑ ₍₋₁₎ⁿ

n²ln(n).