Physique avancée I 28 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 11 - Oscillateurs et r´ esonance
1. Projet´e d’une balan¸coire
Une enfant se jette d’une balan¸coire en mouvement. Son papa se demande `a quelle po- sition du mouvement d’amplitude donn´ee est-ce qu’elle devrait se laisser aller hors du si`ege pour aller le plus loin. Pour analyser la situation, on mod´elise l’enfant sur sa balan¸coire par un pendule math´ematique : un point mat´eriel pesant au bout d’un fil. Un dispositif sans masse lib`ere le point mat´eriel sans interf´erer autrement sur le mouvement du pendule.
a) Si le pendule a une amplitude maximum θmax, trouver la vitessev0 =kv0kau pointθ0 < θmax quelconque.
b) Quel est l’angle α que fait la vitesse v0 en θ0 par rapport `a l’horizontale ? Quelle est la hau- teur H du point mat´eriel par rapport au sol quand le pendule est `a l’angle θ0, compar´ee `a H0, la hauteur du point d’attache du pendule ? c) Quelle est l’´energie cin´etique de l’enfant au ni-
veau du sol ? 2. Jokari vertical
Un Jokari est constitu´e d’un bloc de masse M pos´e sur le sol et d’une balle de masse m reli´ee `a ce bloc par un ´elastique de constante de rappel k. Le syst`eme subit l’action de la pesanteur.
La longueur au repos et la masse de l’´elastique sont suppos´ees nulles.
a) Etablir le bilan des forces pour la balle.
b) D´eterminer l’´equation du mouvement de la balle.
c) Etablir le bilan des forces pour le bloc.
d) Exprimer la condition d’´equilibre du bloc.
e) D´eterminer la hauteur h de la balle `a laquelle le bloc d´ecolle.
f) La balle est initialement lˆach´ee de cette hauteurh. D´eterminer l’´equation horaire de la balle avant le premier rebond sur le bloc.
3. Gotham City
Le Joker a r´eussi `a pi´eger Batman ! Ce dernier se retrouve suspendu au bout d’une corde de longueur l entre deux h´elices g´eantes tranchantes comme des lames de rasoir. Ces deux h´elices tournent `a des vitesses variables, de telle mani`ere que le souffle qui en r´esulte exerce une force totale Fh = F0sin(Ωt)eθ (perpendiculaire `a la corde) sur Batman. On assimile Batman `a un point mat´eriel de masse m qui oscille dans un plan contenant les axes de rotation des h´elices et on consid`ere la corde comme ´etant rigide. On n´eglige de plus les frottements.
S´erie 11 - Oscillateurs et r´esonance 1/2
Physique avancée I 28 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
a) Donnez l’´equation du mouvement de Batman dans l’approximation des petites oscillations.
b) Exprimez l’amplitude des oscillations de Batman ainsi que la pulsation de r´esonnance Ωr. c) La rotation des h´elices est contrˆol´ee par le Joker, de telle sorte que ce dernier puisse ajus-
ter la pulsation Ω de la force s’exer¸cant sur Batman. Par ailleurs, les h´elices sont assez
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eloign´ees pour que l’approximation des petits angles ne soit plus vraie quand Batman s’en approche. Le Joker ´etant joueur, il propose au h´eros de choisir entre une pulsation l´eg`erement sup´erieure ou inf´erieure `a la pulsation de r´esonnance Ωr (calcul´ee au point b).
Lequel de ces choix sauvera Batman ? Justifiez sans calcul.
Indication : Dans l’approximation des petits angles sinθ ≈ θ. De plus, la solution d’une
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equation diff´erentielle du typeAθ¨+Bθ=Csin(ωt+φ) est de la forme θ(t) = θ0sin(ωt+φ).
S´erie 11 - Oscillateurs et r´esonance 2/2
