Stanislas
T.D. 15
Séries numériques
Critères de convergence MPSI 1
2015/2016
Dans tout ce problème,P
un etP
vn désignent des séries de terme général strictement positif.
Partie I : Règle de d’Alembert On suppose, dans cette partie, qu'il existeλ∈R+ tel que lim
n→+∞
un+1
un =λ.
1. Montrer que, siλ <1, alorsP
un converge.
2. Montrer que, siλ >1, alorsP
un diverge.
3. Applications.Soitx >0. Déterminer le comportement des séries de terme général xn!n etn!xn2. 4. Montrer que, lorsqueλ= 1, on ne peut, en général, pas conclure.
Utiliser des séries de Riemann.
5. Montrer que si u
n+1
un
converge vers λ, alors (√n
un) converge vers λ mais que la réciproque est fausse.
Partie II : Règle de Cauchy On suppose, dans cette partie, qu'il existeλ∈R+ tel que lim
n→+∞
√n
un=λ. 6. Montrer que siλ <1, alors P
un converge.
7. Montrer que siλ >1, alors P
un diverge.
8. Applications.Déterminer le comportement des séries de terme général
2n+1 3n+4
n
et
3n+4 2n+1
n
9. Montrer que, lorsqueλ= 1, on ne peut, en général, pas conclure.
Partie III : Comparaison des séries à termes positifs
10. Siun=o(vn) etP
vn converge, montrer que +∞P
k=n+1
uk=o
+∞
P
k=n+1
vk
! . 11. On suppose qu'il existe` non nul tel queun∼`·vn.
a)Montrer que siP
vn converge, alors +∞P
k=n+1
uk∼`
+∞
P
k=n+1
vk. b)Montrer que si P
vn diverge, alors Pn
k=0
uk∼` Pn
k=0
vk. 12. En déduire le lemme de Cesàro.
Stanislas A. Camanes
