Lemme de Cesàro « à l’infini »
Soit (un)n∈N une suite de nombres réels admettant pour limite+∞. La suite (vn)n∈N∗ définie par :
∀n∈N∗ vn= 1 n·
n k=1
uk admet également pour limite +∞.
Dém.Soit A >0 ; par définition de la limite+∞, je dispose de n0 dans Ntel que
∀n≥n0 un≥2A.
J’écris, pourn > n0 :
vn = 1 n ·
n0 k=1
uk+ 1 n ·
n k=n0+1
uk
≥ 1 n ·
n0 k=1
uk+n−n0
n ·2A.
n0 étant fixé, la suite 1 n·
n0 k=1
uk
n∈N∗
converge vers 0 et la suite n−n0
n n∈N∗
converge vers 1.
Par conséquent, je peux fixer :
•d’une partn1 ∈Ntel que : ∀n≥n1
1 n·
n0 k=1
uk ≤ A
3 (et donc 1 n·
n0 k=1
uk≥ −A 3 ) ;
•d’autre partn2 ∈Ntel que : ∀n≥n2
n−n0
n −1 ≤ 1
3 (et donc n−n0
n ≥ 2 3 ).
Alors, comme 2A >0,
∀n≥max (n0, n1, n2) vn≥ −A 3 +2
3 ·2A=A.
Finalement,
∀A >0 ∃N ∈N ∀n≥N vn≥A.
Autrement dit, par définition de la limite +∞
n→∞lim vn= +∞.
NB : En changeant tous les signes on obtient le résultat en cas de limite−∞. Commentaire philosophique
On voit que cette démonstration est un peu moins “standard” que celle dans le cas d’une limite finie, où il suffit de majorer deux termes “petits” parε/2.
Malgré tout la méthode ci-dessus est naturelle : on minore le terme qui tend vers +∞par une valeur arbitrairement grande (ici 4A/3) et on minore le terme qui tend vers 0 par une valeurnégative, mais pas trop loin du côté de−∞ (ici−A/3), de sorte que la somme des deux reste arbitrairement grande : ici je me suis appliqué à obtenir pile A comme minorant, c’est bien sûr un luxe superflu ; n’importe quel minorant du genre αAaurait permis de conclure, pour autant queαsoit strictement positif !!
C’est la même idée qui est à l’œuvre dans de nombreuses études locales, par exemple au chapitre 12, au voisinage d’un point critique, pour montrer qu’il y a un minimum local : on est souvent amené à minorer une expression se présentant comme la somme d’un premier terme positif et d’un second terme éventuellement négatif, mais “négligeable” devant le premier. . .
Même chose bien sûr en changeant les signes pour montrer l’existence d’un maximum local.
