Programme colle math Semaine 30 du 08/06/20 au 13/06/20 MPSI B Hoche
Séries numériques
L’étude des séries prolonge celle des suites. Elle permet d’illustrer le chapitre « Analyse asymptotique » et, à travers la notion de développement décimal de mieux appréhender les nombres réels.
L’objectif majeur est la maîtrise de la convergence absolue ; tout excès de technicité est exclu.
a) Généralités
Sommes partielles. Convergence, divergence. Somme et La série est notée X
un. En cas de convergence, sa
restes d’une série convergente. somme est notée
+∞
X
n=0
un. Linéarité de la somme.
Le terme général d’une série convergente tend vers 0. Divergence grossière.
Séries géométriques : condition nécessaire et suffisante de convergence, somme.
Lien suite-série. La suite (un) et la série X
(un+1 − un) ont même nature.
b) Séries à termes positifs
Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Si 0 6un 6vn pour toutn, la convergence de X vn
implique celle deX un.
Si (un)n∈N et (vn)n∈N sont positives et si un ∼vn, les sériesX
un etX
vn ont même nature.
c) Comparaison série-intégrale dans le cas monotone
Si f est monotone, encadrement des sommes partielles Application à l’étude de sommes partielles et de restes.
deX
f(n) à l’aide de la méthode des rectangles.
Séries de Riemann.
d) Séries absolument convergentes
Convergence absolue.
La convergence absolue implique la convergence. Le critère de Cauchy est hors programme. La conver- gence de la série absolument convergentePun est éta- blie à partir de celles dePun+ etPun−.
Si (un) est une suite complexe, si (vn) est une suite d’élé- ments deR+, siun=O(vn) et siX
vn converge, alors Xun est absolument convergente donc convergente.
e) Représentation décimale des réels
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S30
Programme colle math Semaine 30 du 08/06/20 au 13/06/20 MPSI B Hoche
Existence et unicité du développement décimal propre La démonstration n’est pas exigible.
d’un réel.
Exercices sur toute l’année.
Questions de cours
Condition nécessaire et suffisante de convergence pour les séries à termes positifs. Exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0. Toute série absolument convergente est convergente. Cas de convergence et de divergence pour les séries de Riemann.
Prochain programme Fin des colles. Merci à tous.
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