Chapitre 3 : Suites et séries

Compléments sur les suites et les séries

Table des matières

1 Compléments sur les suites 2

1.1 Comportement asymptotique des suites . . . 2

1.1.1 Relation de négligeabilité . . . 2

1.1.2 Relation d’équivalence . . . 4

1.2 Suites implicites . . . 7

1.3 Suites définies par récurrence . . . 8

2 Compléments sur les séries 9 2.1 Rappels . . . 9

2.1.1 Sommation . . . 9

2.1.2 Définition . . . 10

2.1.3 Exemples de référence . . . 10

2.1.4 Propriétés . . . 11

2.2 Séries à termes positifs . . . 12

2.2.1 Critère de comparaison par inégalité . . . 13

2.2.2 Critère de comparaison par équivalence . . . 13

2.2.3 Critère de comparaison par négligeabilité . . . 13

2.3 Séries à termes de signe quelconque . . . 14

1 Compléments sur les suites

1.1 Comportement asymptotique des suites

1.1.1 Relation de négligeabilité

Définition 1.1 : Suite négligeable devant une autre suite

On dit que la suite (u_n) est négligeable devant la suite (v_n), s’il existe une suite (_n) qui converge vers 0 et qui vérifie, à partir d’un certain rang

u_n=_nv_n. On note :u_n =

+∞o(v_n) ou u_n =

n→+∞o(v_n).

Remarque 1.2

On lit (u_n) est un "petit o" de (v_n) au voisinage de +∞.

Exemple 1. Vérifier que n =

+∞o(n²).

Exemple 2. Vérifier que 1 n² =

+∞o 1

n

.

Proposition 1.3 : Suite convergente Une suite (un) qui vérifie un =

+∞o(1) signifie que (un) converge vers 0 lorsquen→+∞.

Démonstration. On a simplement _n=u_n. Remarque 1.4 : Important !

Attention, la notation de Landau ("petito") repose sur un abus d’écriture : o(wn) ne désigne pas une suite particulière, mais toute suite possédant la propriété d’être négligeable devant (w_n).

Siu_n =

+∞o(w_n) et v_n =

+∞o(w_n), on n’a pas nécessairementu_n=v_n. . . Exemple 3. On a n =

+∞o(n²) et n+ 2 =

+∞o(n²), cependantn6=n+ 2pourn∈N. Proposition 1.5 : Caractérisation de la négligeabilité

Sivn6= 0 à partir d’un certain rang, alors u_n =

+∞o(v_n) ⇔ lim

n→+∞

u_n v_n = 0.

Démonstration. Puisque vn6= 0 à partir d’un certain rang, on peut écrire : u_n =

+∞o(v_n) ⇔ ∃_n tel queu_n=_nv_n et_n →

n→+∞0 ⇔ _n= u_n vn

n→+∞→ 0

Exemple 4. Vérifier que n+ 2 =

+∞o (n+ 1)².

2

Proposition 1.6 : Négligeabilité et transitivité Siun =

+∞o(vn) et vn =

+∞o(wn), alors un =

+∞o(wn).

Démonstration. On a

• u_n =

+∞o(v_n), alors∃_n tel queu_n=_nv_n et_n →

n→+∞0.

• vn =

+∞o(wn), alors ∃⁰_ntel que vn=⁰_nwn et⁰_n →

n→+∞0.

On poseµ_n=_n⁰_n, on a

un=µnwn etµn →

n→+∞0.

Ainsi un =

+∞o(wn).

Exemple 5. Comme n+ 2 =

+∞o (n+ 1)² et (n+ 1)² =

+∞o n³, alors n+ 2 =

+∞o n³.

Proposition 1.7 : Négligeabilité et combinaisons linéaires Siu_n =

+∞o(w_n) et v_n =

+∞o(w_n), alors

∀(λ, µ)∈R², λu_n+µv_n =

+∞o(w_n).

Démonstration. Soit (λ, µ)∈R², on a

• un =

+∞o(wn), alors∃_n tel queun=nwn etn →

n→+∞0.

• v_n =

+∞o(w_n), alors ∃⁰_ntel que v_n=⁰_nw_n et⁰_n →

n→+∞0.

On poseEn=λn+µ⁰_n, on a

λun+µvn=λnwn+µ⁰_nwn=Enwn etEn →

n→+∞0.

Ainsi λu_n+µv_n =

+∞o(w_n).

Exemple 6. Montrer que 3n+ 2 =

+∞o n².

Proposition 1.8 : Négligeabilités usuelles

On peut réécrire les limites de type "croissance comparée" en termes de négligeabilité. Pour toutα >0, on a :

ln(n) =

+∞o(n^α) et n^α =

+∞o(eⁿ).

Démonstration. Pour n∈N^∗,n^α>0 et eⁿ>0. On a les limites usuelles suivantes :

n→+∞lim ln(n)

n^α = 0 et lim

n→+∞

n^α eⁿ = 0.

1.1.2 Relation d’équivalence Définition 1.9 : Suites équivalentes

Les suites (u_n) et (v_n) sont dites équivalentes, s’il existe une suite (α_n) qui converge vers 1 et qui vérifie, à partir d’un certain rang

u_n=α_nv_n. On note :u_n ∼

+∞v_n ouu_n ∼

n→+∞v_n.

Remarque 1.10

On lit (un) est équivalent à (vn) au voisinage de +∞.

Proposition 1.11 : Caractérisation de l’équivalence Soient deux suites (un) et (vn). On a :

un ∼

+∞vn ⇔ un =

+∞vn+o(vn).

Siv_n6= 0 à partir d’un certain rang, alors u_n ∼

+∞v_n ⇔ lim

n→+∞

u_n v_n = 1.

Démonstration. On a

un ∼

+∞vn ⇔ ∃α_n tel queun=αnvn etαn →

n→+∞1 On pose_n=α_n−1,

un ∼

+∞vn ⇔ ∃_ntel que un= (1 +n)vn=vn+nvn etn=αn−1 →

n→+∞0 ⇔ un =

+∞vn+o(vn).

Sivn6= 0 à partir d’un certain rang, on peut écrire : un ∼

+∞vn ⇔ un =

+∞vn+o(vn) ⇔ un

v_n =

+∞

vn+o(vn)

v_n ⇔ un

v_n =

+∞1 +o(vn) v_n →

n→+∞1.

Exemple 7. eⁿ+n² ∼

+∞eⁿ, car lim

n→+∞

eⁿ+n²

eⁿ = lim

n→+∞ 1 +n² eⁿ

!

= 1.

Propriété 1.12 : Équivalence et opérations On considère trois suites (u_n), (v_n) et (w_n).

• Siun ∼

+∞vn, alorsunwn ∼

+∞vnwn.

• Siu_n ∼

+∞v_n etv_n ∼

+∞w_n, alors u_n ∼

+∞w_n.

• Siu_n ∼

+∞v_n et si u_n6= 0 etv_n6= 0 à partir d’un certain rang, alors 1 un

+∞∼ 1 vn

.

• Siun ∼

+∞vn, alors pour toutk∈N, on a :u^k_n ∼

+∞v^k_n. Démonstration. On a

• Siu_n ∼

+∞v_n, alors∃α_n tel queu_n=α_nv_n etα_n →

n→+∞1, doncu_nw_n=α_nv_nw_n. Ainsiunwn ∼

+∞vnwn.

4

• Si un ∼

+∞vn et vn ∼

+∞wn, alors ∃α_n →

n→+∞1 tel que un =αnvn et∃α⁰_n →

n→+∞1 tel que vn= α⁰_nwn, doncu_n=α_nα⁰_nw_n. Puisque α_nα⁰_n →

n→+∞1, alorsu_n ∼

+∞w_n.

• Siun ∼

+∞vn et si un6= 0 etvn6= 0 à partir d’un certain rang, alors 1

u_n 1 v_n

= vn

u_n →

n→+∞1, car un ∼

+∞vn.

Donc 1 un

+∞∼ 1 vn

.

• Siun ∼

+∞vn, alors∃α_n tel queun=αnvn etαn →

n→+∞1. Pourk∈N, on a : u^k_n= (αnvn)^k =α^k_nv^k_n et α^k_n →

n→+∞1.

Ainsiu^k_n ∼

+∞v_n^k.

Exemple 8. Donner un équivalent de eⁿ+n²³.

Remarque 1.13 : Opérations interdites sur les équivalents On retiendra les trois interdits sur les équivalents :

• Une suite ne peut pas être équivalente à zéro.

• On ne peut pas sommer dans les équivalents.

• On ne peut pas composer dans les équivalents.

Exemple 9. n²+n ∼

+∞n² et −n²+n ∼

+∞−n², mais n²+n+ −n²+n= 2nn’est pas équivalent à 0.

Exemple 10. n+ 1 ∼

+∞n, en composant par x7→e^x, eⁿ⁺¹ n’est pas équivalent à eⁿ car eⁿ⁺¹

eⁿ =e →

n→+∞e6= 1.

Proposition 1.14 : Équivalents usuels Soit une suite (u_n) telle que lim

n→+∞u_n= 0. On a les équivalents suivants pour α6= 0 : ln(1 +u_n) ∼

+∞u_n e^un−1 ∼

+∞u_n (1 +u_n)^α−1 ∼

+∞αu_n.

Démonstration. On fait cette démonstration pour u_n6= 0 à partir d’un certain rang :

• Rappel : ln(1 +x)

x = ln(1 +x)−ln(1 + 0)

x−0 →

x→0(ln(1 +x))⁰(0) = 1

1 + 0 = 1, alors ln(1 +un)

u_n →

n→+∞1.

Donc ln(1 +un) ∼

+∞un.

• Rappel : e^x−1

x = e^x−e⁰ x−0 →

x→0(e^x)⁰(0) =e⁰= 1, alors e^un−1

un

n→+∞→ 1.

Donce^un−1 ∼

+∞un.

• Rappel : (1 +x)^α−1

x = (1 +x)^α−(1 + 0)^α

x−0 →

x→0((1 +x)^α)⁰(0) =α(1 + 0)^α−1=α, alors (1 +un)^α−1

αu_n →

n→+∞1.

Donc (1 +un)^α−1 ∼

+∞αun.

Exemple 11. Donner un équivalent de ln2−e⁻ⁿ¹².

Proposition 1.15 : Polynômes Sia_k 6= 0 alors

a_kn^k+ak−1n^k−1+· · ·+a1n+a0 ∼

+∞a_kn^k.

Démonstration.

a_kn^k+ak−1n^k−1+· · ·+a₁n+a₀

akn^k = 1 +ak−1

ak

1

n+. . .a₁ ak

1

n^k−1 +a₀ ak

1 n^k →

n→+∞1.

Exemple 12. On a (2n+ 3)⁴ ∼

+∞16n⁴. Proposition 1.16 : Limite et équivalence On considère deux suites (u_n) et (v_n).

• Siun ∼

+∞vn et si (vn)_n∈N converge vers un réell, alors (un)_n∈N converge aussi vers l.

• Soitl un réel non nul,

n→+∞lim u_n=l ⇔ u_n ∼

+∞l.

• Siv_n =

+∞o(u_n), alors

un+vn ∼

+∞un.

Démonstration. On a

• Siu_n ∼

+∞v_n, alors∃α_n tel queu_n=α_nv_n etα_n →

n→+∞1. De plus, v_n →

n→+∞l.

Ainsiun →

n→+∞1×l=l.

• Siun →

n→+∞l,alors ^u_lⁿ →

n→+∞1. Donc un ∼

+∞l.

• Sivn =

+∞o(un), alors∃_n tel quevn=αnunet n →

n→+∞0. Ainsi

un+vn=un+nun= (1 +n)un avec 1 +n →

n→+∞1.

Méthode 1.17 : Comment trouver un équivalent directement ?

Il est souvent très intéressant de factoriser par le facteur prépondérant puis éventuellement simplifier (en cas de fraction).

Exemple 13. Soit (u_n)n∈N définie par : ∀n∈N^∗, u_n=n−(lnn)². Donner un équivalent de u_n.

Méthode 1.18 : Comment étudier la nature d’une suite à l’aide d’équivalents ? Siu_n ∼

+∞v_n et si la suite (v_n)_n∈N a une limite, alors la suite (u_n)_n∈N a la même limite.

6

Méthode 1.18 :Comment étudier la nature d’une suite à l’aide d’équivalents ? Siun ∼

+∞vnet si la suite (vn)_n∈Na une limite, alors la suite (un)_n∈N a la même limite.

Exemple 14. Soit k∈N fixé. Calculer la limite de

n k

n^k lorsque ntend vers +∞.

1.2 Suites implicites

Définition 1.19 : Suite implicite

Une suite implicite est une suite définie par une équation.

Soitf_n une famille de fonctions définies sur un intervalle I. On suppose que, pour tout n∈N, l’équation f_n(x) = 0 admet une unique solution dansI, notée u_n (car dépendant de n).

Méthode 1.20 : Étude des suites implicites

L’étude des suites implicites suit généralement le plan suivant.

1. On utilise le théorème de la bijection monotone appliqué àf_n pour prouver l’existence et l’unicité du réelu_npour tout entier naturel n.

2. On compareu_nà un réel fixé a: on compare d’abordf_n(u_n) (qui vaut 0) àf_n(a), puis on utilise la monotonie de la fonctionfn surI.

3. On détermine le sens de variation de la suite (un) : (a) On étudie le signe de fn+1(x)−fn(x) surI.

(b) On applique la formule précédente en x = u_n pour comparer f_n+1(u_n) et f_n(u_n) = 0 = fn+1(un+1).

(c) On conclut en utilisant la monotonie de la fonctionfn+1.

Remarque 1.21

Il ne faut jamais perdre de vue que la seule formule vérifiée par la suite (un) est

∀n∈N, fn(un) = 0.

Exemple 15. Soit n∈N^∗, on définit la fonction f_n sur R+ définie par f_n(x) =xⁿ⁺¹+xⁿ−1.

1. Montrer que pour toutn∈N^∗, l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution dansR+, notée un. 2. Montrer pour tout n∈N^∗,un<1.

3. Pour x∈[0,1[, déterminer le signe de fn+1(x)−fn(x).

4. Déterminer la monotonie de (un). En déduire la convergence de la suite (un).

1.3 Suites définies par récurrence

Définition 1.22 : Point fixe d’une fonction

Soitf une fonction définie sur une partieA de R. On appelle point fixe de f tout réelx∈Avérifiant f(x) =x.

Proposition 1.23 : Limite d’une suite récurrente (proposition hors programme)

Soitf une fonction définie sur une partieA de Ret (un)_n∈N une suite de réels deAdéfinie par un+1 =f(un).

Si (u_n)_n∈N converge vers l et sif est continue en l, alors lest un point fixe def. On a donc : f(l) =l.

Démonstration. Siu_n →

n→+∞l, alorsu_n+1 →

n→+∞l. Par continuité de la fonctionf enl, f(un) →

n→+∞f(l).

Par unicité de la limite,f(l) =l.

Remarque 1.24 : Limites finies possibles d’une suite récurrente

Si la fonctionf est continue sur l’intervalle considéré, alors les limites finies possibles de la suite (u_n) sont données par les points fixes def.

Méthode 1.25 : Étude des suites récurrentes

La combinaison des deux propriétés précédentes est très puissante : une des grandes méthodes d’études des suites récurrentes suit le plan suivant

1. (a) On étudie les variations def. (b) On détermine les points fixes def :

• soit en résolvant l’équationf(x) =x.

• soit en utilisant le théorème de la bijection monotone à x7→f(x)−x (dans ce cas on ne disposera pas d’une expression explicite pour les éventuels points fixes.).

2. On trouve un intervalle contenant tous les termes de la suite (un)_n∈N. 3. On détermine la monotonie de la suite (un)_n∈N.

4. On détermine si la suite (un)_n∈N converge :

(a) Si la suite (un)_n∈Nest bornée, on en déduit par le théorème de la limite monotone que (un)_n∈N converge vers une limite l. Par unicité de la limite, on en déduit quef(l) =l.

(b) Sinon on montre par l’absurde que la suite (un)_n∈Nn’est pas bornée, la suite (un)_n∈Ntend alors vers +∞ si elle est croissante (resp. −∞si elle est décroissante).

Exemple 16. Soit a >0 et f la fonction définie sur R^∗+ par f(x) =x−ln(x). On définit la suite (u_n)_n∈N par la relation

(u₀ =a, un+1=f(un).

8

1. Étudierf et faire un tableau de variations de f. 2. Étudier le signe def(x)−x pour x >0.

3. Montrer que (un)_n∈Nest une suite strictement positive.

4. Pour quelle valeur dea, (un)_n∈N est une suite constante ? 5. On suppose a >1.

(a) Montrer que pourn∈N,un>1.

(b) Étudier les variations de (un)_n∈N.

(c) En déduire que (un)_n∈N converge et calculer sa limite.

6. On suppose a <1.

(a) Montrer que pourn∈N^∗,un>1.

(b) Montrer que (u_n)n∈N converge et calculer sa limite.

7. Écrire un programme enScilabdemandantnet u₀ et permettant de calculer u_n.

8. Écrire un programme enScilabqui permette de déterminer le plus petitnpour lequel|u_n−1| ≤10⁻³, u0 étant demandé à l’utilisateur.

2 Compléments sur les séries

2.1 Rappels 2.1.1 Sommation

Définition 2.1 : Somme

Soientn∈N^∗, etu1, u2, . . . , un des réels. On note la quantité u₁+u₂+· · ·+u_n=

n

X

k=1

u_k.

Propriété 2.2 : Formules de calcul élémentaires

Soientn∈N^∗,u₁, u₂, . . . , u_n etv₁, v₂, . . . , v_n des réels. Alors

n

X

k=1

(u_k+v_k) =

n

X

k=1

u_k+

n

X

k=1

v_k.

Soitλun réel, alors

n

X

k=1

(λu_k) =λ

n

X

k=1

u_k.

Soitm un entier naturel, 0≤m < n

n

X

k=1

uk=

m

X

k=1

uk+

n

X

k=m+1

uk.

Proposition 2.3 : Changement d’indice

Soientm, n∈N, et um+1, um+2, . . . , um+n des réels.

n

X

k=1

u_k+m =

n+m

X

i=1+m

u_i

On dit qu’on a effectué le changement d’indicei=k+m.

Exemple 17. Dans le cadre d’une somme télescopique, calculer

n

X

k=1

1 k(k+ 1). 2.1.2 Définition

Définition 2.4 : Série

Soit (un)_n∈N^∗ une suite de nombres réels. On appelle série de terme généralun, la suite (SN)_N∈N^∗ définie par

S_N =u₁+u₂+· · ·+u_N =

N

X

n=1

u_n.

Pour toutn∈N^∗,u_n est appelé le terme d’indicen de la série etS_N la somme partielle d’indiceN. On note^Xu_n (ou ^X

n≥1

u_n) la série de terme généralu_n.

Définition 2.5 : Série convergente et somme de la série

On dit que la série^Xun converge si la suite (SN)_N∈N converge. La limite de cette suite est alors appelée somme de la série et est notée

+∞

X

n=1

un.

Si la série^Xu_n ne converge pas, on dit qu’elle diverge.

Remarque 2.6

Il ne faut pas confondre :

Xu_n,

N

X

n=1

u_n et

+∞

X

n=1

u_n.

2.1.3 Exemples de référence

Proposition 2.7 : Série géométrique

Soitq un réel. La série de terme généralqⁿconverge si, et seulement si,|q|<1, et alors

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q. Exemple 18.

+∞

X

n=0

1 2

n

= 1

1−¹₂ = 2.

10

Proposition 2.8 : Séries géométriques dérivées

Soit q un réel vérifiant la relation |q|< 1. On dispose alors des sommes des séries suivantes appelées séries géométriques dérivées

+∞

X

n=1

n qⁿ⁻¹ = 1 (1−q)²,

+∞

X

n=2

n(n−1)qⁿ⁻² = 2 (1−q)³.

Exemple 19.

+∞

X

n=1

n 2

3 n−1

= 1

1−²₃²

= 9.

Théorème 2.9 : Critère de Riemann

Soitα un réel, on appelle série de Riemann toute série ^X 1 n^α. X 1

n^α converge ⇔ α >1.

Exemple 20. ^X 1

n² converge.

Théorème 2.10 : Série exponentielle Pour toutx réel, la série^Xxⁿ

n! converge et

+∞

X

n=0

xⁿ n! =e^x.

Exemple 21. En particulier, on a

+∞

X

n=0

1 n!=e.

2.1.4 Propriétés

Remarque 2.11 : Nature invariante par changement d’un nombre fini de termes

La nature d’une série n’est pas modifiée que si l’on change un nombre fini de termes. Cela explique l’usage qui est fait de l’expression à partir d’un certain rang et du terme^Pu_n.

Exemple 22. Si la somme partielle

N

X

n=10

un converge, alors

N

X

n=1

un converge.

Proposition 2.12 : Comportement du terme général d’une série convergente Si^Pu_n converge, la suite (u_n)_n∈N converge vers 0.

Proposition 2.13 : Série grossièrement divergente

Si le terme général d’une série ne tend pas vers 0, la série diverge.

Exemple 23. La série ^X n

√

n²+ 1 converge ? Remarque 2.14 : Important !

Attention, la convergence de la suite (u_n)_n∈Nvers 0 ne suffit pas à montrer que ^Pu_n converge. En effet,

1

n →

n→+∞0 mais ^P_n¹ diverge.

Propriété 2.15 : Formules de calcul élémentaires

Si les séries de terme généralu_net v_nsont convergentes, les séries de terme général u_n+v_n etλu_n(λ∈R) sont convergentes et l’on a

+∞

X

n=0

(u_n+v_n) =

+∞

X

n=0

u_n+

+∞

X

n=0

v_n,

+∞

X

n=0

(λun) =λ

+∞

X

n=0

un.

2.2 Séries à termes positifs

Proposition 2.16 : Convergence de la somme partielle

Soit^Xu_n une série à termes positifs, S_N la somme partielle d’indice N S_N =

N

X

n=0

u_n

! . Alors la suite (S_N)_N∈N est croissante. De plus,

Xu_n converge ⇔ (S_N)_N∈N est majorée.

Xundiverge ⇔ lim

N→+∞S_N = +∞.

Remarque 2.17

La suite (S_N)_N∈N est croissante et majorée, elle converge donc et est majorée par sa limite, donc pour tout entierN,

S_N ≤

+∞

X

n=1

u_n.

Exemple 24. Démontrer, sans utiliser le "critère de Riemann", que ^X 1

n² converge.

12

2.2.1 Critère de comparaison par inégalité

Proposition 2.18 : Critère de comparaison par inégalité

Soient (u_n)n∈N et (v_n)n∈N deux suites. Supposons qu’à partir d’un certain rang 0≤u_n≤v_n.

• Si la série^Xvnconverge, alors la série ^Xun converge.

• Si la série^Xu_n diverge, alors la série ^Xv_n diverge.

Méthode 2.19 : Comment utiliser le critère de comparaison par inégalité ?

On utilise le critère de comparaison par inégalité lorsqu’à partir d’un certain rang, on peut majorer (resp.

minorer) le terme général d’une série par le terme général d’une série convergente (resp. divergente).

Exemple 25. Déterminer la nature de la série ^X 1 n³+ 3n+ 1. Exemple 26. Déterminer la nature de la série ^Xln(n)

n .

2.2.2 Critère de comparaison par équivalence

Proposition 2.20 : Critère de comparaison par équivalence

Soient (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N deux suites positives à partir d’un certain rang. Si u_n ∼

+∞v_n, alors les séries Xu_n et^Xv_nsont de même nature.

Méthode 2.21 : Comment utiliser le critère de comparaison par équivalence ?

On utilise le critère de comparaison par équivalence pour se ramener à des termes généraux dont on connaît la nature de la série.

Exemple 27. Déterminer la nature de la série ^X 1 pn(n+ 1). Exemple 28. Déterminer la nature de la série ^Xln

1 + 1

n²

.

2.2.3 Critère de comparaison par négligeabilité

Proposition 2.22 : Critère de comparaison par négligeabilité

Soient (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N deux suites positives. Supposons que u_n =

+∞o(v_n).

• Si la série^Xv_nconverge, alors la série ^Xu_n converge.

• Si la série^Xun diverge, alors la série ^Xvn diverge.

Méthode 2.23 : Comment utiliser le critère de comparaison par négligeabilité ? Pour (un)_n∈N positive, s’il existe α >1 tel que lim

n→+∞n^αun= 0, alorsun =

+∞o 1

n^α

. La série^X 1

n^α converge, d’après le critère de comparaison par négligeabilité, la série^Pun converge.

Exemple 29. Déterminer la nature de la série ^Xln(n) n² .

2.3 Séries à termes de signe quelconque

Définition 2.24 : Série absolument convergente

Soit (un)_n∈Nune suite de nombres réels. La série ^Punest dite absolument convergente si la série ^P|u_n| converge.

Propriété 2.25 : Convergence d’une série absolument convergente

Soit (u_n)_n∈N une suite de nombres réels. Si la série ^Pu_n est absolument convergente, alors elle est convergente.

Exemple 30. Déterminer la nature de la série ^Xu_n avec u_n= (−1)ⁿln

1 + 1 n²

.

Définition 2.26 : Série semi-convergente

Une série qui est convergente sans être absolument convergente est dite semi-convergente.

Exemple 31. Montrer que la série ^Xun avec un= (−1)ⁿ⁻¹

n est semi-convergente.

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