(Séance du 15/04/2020 ) (Séance du 08/04/2020)
CHAPITRE 4 Les Séries Numériques
4.1 Définitions et Propriétés
Soit un, n > 0, une suite réelle. On pose Sn = u0+u1+....+un =
n
X
k=0
uk, la somme des premiers termes jusqu’a l’ordren.
Définition 4.1. On appelle série attachée à la suite un et on la note par Xun, la suite Sn définie par Sn=
n
X
k=0
uk.
un est appelé le terme général de la série.
La série associée àun est notée parXun ou bien paru0+u1+....+un+....
Définition 4.2. a) La sérieXunest dite convergente si la suiteSna une limite finie quandn7→+∞.
Dans ce cas S = lim
n7→+∞Sn est appelée la somme de la série, on la note par S =
+∞
X
k=0
uk. On dit aussi que la série Pun converge et sa somme est S.
b) La série Xun est dite divergente si la suite Sn n’a pas de limite finie (c’est-à dire Sn n’a pas de limite, ou bien admet une limite infinie)
Exemple 4.3. 1) Soit la série de terme général un= 1
3n, n >0. On a : Sn= 1
3 + 1
32 +...+ 1 3n = 1
3
1−(13)n 1−13 . Sn= 1
2(1− 1
3n), donc lim
n7→+∞Sn= 1 2.
Donc la série P31n est convergente de somme 1 2. 2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = 1
n, où n∈N∗. Cette série n’est pas convergente.
Définition 4.4. (Nature et Caractère)
Déterminer la nature ou le caractère d’une série c’est déterminer si elle est convergente ou divergente Définition 4.5. (Série déinie à partir d’un certain rang)
33
4.2 Série à termes positifs 4.3 Série à termes réels 4.4 Exercices
4.1 Définitions et Propriétés (Séance du 01/04/2020)
Rq; Vous trouverez d'autres documents dans googleclassroom code: crivr2m
CHAPITRE 4. LES SÉRIES NUMÉRIQUES
Soit (un)n>p une suite définie à partir de p. On pose Sn=
n
X
k=p
uk. On dit que la série X
n>p
un converge si et seulement si la suite Sn admet une limite finie.
Définition 4.6. Soit Xun une série qui converge, et soit S sa somme. On pose Rn = S−Sn où Sn=
n
X
k=0
uk et on la note par Rn=
+∞
X
p=n+1
uk. Rn est appelée le reste d’ordre n de la série Xun. On a lim
n7→+∞Rn= 0
Proposition 4.7. a) Si la sérieXun converge alors lim
n7→+∞un= 0.
b) La réciproque est fausse : La série harmoniqueX1
n diverge malgré que lim
n7→+∞
1 n = 0 Preuve. a) On a un=Sn−Sn−1 et lim
n7→+∞Sn=S donc
n7→+∞lim un= lim
n7→+∞Sn− lim
n7→+∞Sn−1 =S−S = 0 b) On pose vn= 1
n et Sn=
n
X
k=1
vk= 1 + 1
2+...+ 1 n. S2n−Sn= 1
n+ 1+ 1
n+ 2+....+ 1 2n > 1
2n+ 1
2n+....+ 1 2n = n
2n = 1 2 Donc S2n−Sn> 1
2, d’où la suite Sn ne peut pas converge sinon on obtient0> 1
2 ce qui est absurde.
Donc la série P1n diverge.
Proposition 4.8. Si les sériesXun et Xvn convergent et leurs sommes S et S0, alors on : a) La série X(un+vn) converge et sa somme est S+S0.
b) La série X(λun) converge et sa somme est λS, ∀λ∈R.
Preuve. a)u0+v0+u1+v1+...+un+vn=u0+u1+...+un+v0+v1+...+vn=Sn+Sn0 →S+S0 qd n→+∞.
b)λu0+λu1+...+λun=λ(u0+u1+...+un) =λSn→λS qd n→+∞.
Remarque 4.9. ∀λ ∈ R∗, les séries Xun et Xλun sont de même nature. En effet : si Xun converge alors la série Xλun converge. Réciproquement, si la série Xλun converge alors la série Xλ−1λun converge, c-à-d la série Xun converge.
Cas particuliers a) Soit Xun une série telle queun=an−an+1,∀n∈N, alors : la sérieXun converge ⇐⇒la suite an converge.
Dans ce cas, on a
+∞
X
k=0
uk=a0− lim
n→∞an. En effetSn=
n
X
k=0
uk=a0−a1+a1−a2+...+an1−an+an−an+1, implique queSn=a0−an+1 d’où la série Pun converge ⇐⇒ la suiteSn admet une limite finie ⇐⇒la suite an admet une limite finie.
Exemple 4.10. un= 1
n(n+ 1) on a un= 1 n− 1
n+ 1,∀n∈N∗. On pose an= 1
n on aun=an−an+1 n→+∞lim an= 0 donc la série Xun converge et on a
+∞
X
k=1
uk=a1− lim
n→+∞
1
n+ 1 =a1 = 1
b) Série géométrique. Soienta∈R∗ etq ∈R. On appelle série géométrique de premier termeaet de raisonq, la série qna, c-à-d, la série :a+qa+q2a+...+qna+...
La série Pqnaconverge si et seulement si|q|<1. Dans ce cas on a :
+∞
X
n=0
qna= a 1−q donc
+∞
X
n=0
qn = 1
1−q si|q|<1.
En effet : Sn=
n
X
k=0
qka=a+qa+q2a+...+qna=a(1 +q+q2+...+qn) Siq = 1 on aSn= (n+ 1)adonc la série diverge.
Siq 6= 1 on aSn=a1−qn+1 1−q . Si|q|<1 alors lim
n→+∞qn+1 = 0 donc lim
n→+∞Sn= a 1−q. Siq >1 lim
n→+∞qn+1= +∞ doncSn diverge d’où Xun diverge.
Siq 6−1 alorsSn n’a pas de limite quand n→+∞, donc la série Xqnadiverge.
car la série
4.2 Série à termes positifs
Définition 4.11. Une série un est dite à termes positifs si pour toutn∈N on a un>0.
Proposition 4.12. Pour qu’une série Xun à termes positifs converge, il faut et il suffit que sa somme partielle Sn soit majorée.
Preuve. On pose Sn=
n
X
k=0
uk, on a Sn+1=Sn+un+1 >Sn car un+1>0 donc Sn+1 >Sn. La suite Sn est alors croissante, donc pour qu’elle admet une limite finie il faut et il suffit qu’elle soit majorée.
Définition 4.13. (Critère de comparaison des séries)
SoientXun et Xvn deux séries à termes positifs, tel que 06un6vn ∀n∈N, alors on a 1. Si Xvn converge alors Xun converge,
2. Si Xun diverge alorsXvn diverge.
Preuve. 1) On pose Sn=
n
X
k=0
uk etS0n=
n
X
k=0
vk. 06uk6vk donc 06Sn6Sn0
Xvn converge implique que la suite Sn0 converge donc Sn0 est majorée, or Sn 6 Sn0 donc Sn est majorée, ce qui donne Sn converge ce qui implique que la série Pun converge.
2) est simplement la contraposée de (1)
Exemple 4.14. 1) 1
n2 6 1
n(n−1), donc la série X 1
n2 converge car la série X 1
n(n−1) est converge.
2) 1 n 6 1
√n, donc la série X 1
√n est divergente.
Définition 4.15. On dit que les deux séries Xun et Xvn sont équivalente et on note un ∼∞ vn
quand n7→+∞ si lim
n7→+∞
un vn = 1
Proposition 4.16. SoientXun etXvndeux séries à termes positifs avec un∼vn quandn7→+∞, alors on a :
X 1
n est divergente.
Xun est convergente ⇐⇒ Xvn est convergente.
Xun est convergente ⇐⇒Xvn est convergente.
(Séance du 08/04/2020)
(Séance du 08/04/2020)
Exemple 2 Exemple 1
Soient les sériesX un
etX vn
tels que un=Log 1+ 1
2n
et vn= 1
2n. On a lim
n→+∞
un
vn
=1 et commeX
vn
est convergente alors, série gémétrique de raison1/2<1;X un
l’est aussi.
Soient les sériesX un
etX vn
tels que un = 1
n et vn=Log 1+ 1
n
. On a lim
n→+∞
un
vn
=1.
La première série étant la série harmonique qui est divergente, donc il en est de même de la seconde.
Proposition 4.17. (Critère de Cauchy)
Soit Xun une série à termes positifs telle que lim
n7→+∞
√n
un=l alors : 1. Si l <1 : la série Xun converge.
2. Si l >1 : la série Xun diverge.
3. Si l= 1 : ce critère ne donne rien.
Exemple 4.18. Pour a >0 et n∈N∗ on pose un= (a+ 1
n)n. Trouver la nature de la sériePun.
• On a √n
un=a+ 1
n ⇒ lim
n7→+∞
√n
un=a.
? Si a >1 alors Xun diverge.
? Si a <1 alors Xun converge.
? Si a= 1 alors un= (a+ 1
n)n=enlog(1+
1 n)
, lim
n7→+∞un=e6= 0 donc Xun diverge.
Proposition 4.19. (Critère de d’Alembert)
Soit Xun une série à termes positifs telle que lim
n7→+∞
un+1 un =l 1. Si l <1 : la série Xun converge ;
2. Si l >1 : la série Xun diverge.
4Sil= 1, ce critère ne donne rien.
Exemple 4.20. a) un= nn
n! on a un+1
un
= (n+ 1)n
nn = (n+ 1
n )n=enlog(1+1n).
n7→+∞lim un+1
un =e >1 d’oùXun diverge.
b) un= bn
n! avec b >0, un+1
un = b
n+ 1 −→0<1 donc Xun converge.
Exemples
Proposition 4.21. (Comparaison avec une intégrale)
Soit f : [1,+∞[−→ [0,+∞[ une fonction, positive décroissante et continue. La série Xf(n) et Z +∞
1
f(x)dx sont de même nature.
Proposition 4.22. (Série de Riemann) Soit α∈R, la sérieX 1
nα converge si α >1 et diverge si α61.
Preuve. Pour n∈N∗ on pose un= 1
nα, α∈R.
◦ Si α60 alors un=n−α ne converge pas vers 0 qd n7→+∞ donc la série X 1
nα diverge.
◦ Si α >0 on pose f(x) = 1
xα pour x∈[1,+∞[, f0(x) =− α
xα+1 <0 donc f est décroisante, positive et continue d’où
Z +∞
1
1
xαdx et X 1
nα sont de même nature, or Z +∞
1
1
xαdx converge si α > 1 et diverge si α61, d’où le résultat.
1) Considérons l’application f : [1,+∞[−→R+définie par f(x)= 1 x. Z t
1
1
x dx=Logt et lim
t→+∞
Z t
1
1
x dx= +∞. DoncX 1 n
diverge.
2) Soit la fonction f : [1,+∞[−→R+définie par f(x)= 1
x(x+1). f est continue, décroissante (à vérifier en étudiant la dérivée par exemple) et positive.
Z t
1
f(x)dx=Log t t+1
−Log1 2
; et comme lim
t→+∞
Z t
1
f(x)dx=Log 2<+∞; la série X 1
n(n+1)
!
est alors convergente.
4.3 Série à termes réels
Définition 4.23. La série Xun est dite absolument convergente si la série X|un| est convergente.
Proposition 4.24. Si la série est absolument convergente alors elle est convergente.
Remarque 4.25. i) La réciproque de la proposition précédente est fausse.
ii) Ce résulat, permet parfois de ramener le problème à l’étude de série à termes positifs.
Exemple 4.26. a) Soit un = (−1)n
n4 on a |un|= 1
n4, la série X 1
n4 converge, donc la série Xun
absolument convergente donc converge.
b) Soitvn= (−1)n
√n on a |vn|= 1 n12
. La série X 1 n12
diverge, donc la sérieXvn n’est pas absolument convergente.
Définition 4.27. La série Xun est dite altermée si on a :
un= (−1)nan, ∀n∈Navec an>0 ∀n∈N ou bien si on a :
un= (−1)n+1an avec an>0 ∀n∈N
Théorème 4.28. (de Leibnitz )
SoitX(−1)nunune série alternée avecun>0,∀n∈N. Si la suiteunest décroissante et si lim
n7→+∞un= 0, alors la série X(−1)nun est convergente et on a |Rn|6un+1, ∀n∈N où Rn=
+∞
X
k=n+1
(−1)kuk
Exemple 4.29. Etudier la série X(−1)n
√n . C’est une série alternée, on a 1
√n est décroissante et lim
n7→+∞
√1
n = 0 donc par le Théorème de Leibnitz, la sérieX(−1)n
√n est convergente.
Définition 4.30. Une série qui converge sans être absolument convergente est dite semi-convergente.
Ex :X(−1)n
√n
(Séance du 15/04/2020 )
Exercice3.
Exercice2.
Exercice 1.
4.4 Exercices
Donner la nature des séries de terme général : 1)un= n
3n+ 1, 2)un= 3
2 n
, 3)un=e−n12.
4)un= 1
5n32, 5)un= 2
n12, 6)un= sin 1
n2
.
7)un= 1
pn(n+ 1), 8)un= arcsin
2n 4n3−1
, 9)un= log
1 +1 n
.
10) un= log
1 + 1 n2
, 11)un= log(n) log
1 + 1 n
log
1 + 1
n2
, 12)un= n2 n!.
13) un=
1 + a n
−n2
, 14)un= an
nαn! α∈Ret a >0, 15)un= n
4n−1 2n
.
16) un= n2 n2+ 1
!n2
, 17)un= (−1)n 2n−1sin
1
√n
, 18)un= (−1)n n2+ sin(n2).
19) un= (−1)n
n+e−n, 20)un= (−1)nlog(n)
n + 1
nlog(n).
Donner la nature et calculer la somme des séries de terme général : 1)un= 1
n(n+ 1),«« n >0, 2)un= arctan
1 1 +n+n2
,( Ind : arctan(a)−arctan(b) = arctan1+aba−b, ab >−1 ).
1. Donner la nature et la valeur éventuelle de Z +∞
1
dt tlog(t). 2. Soit la série de terme général un= (−1)n
nlog(n). – a) Punest elle absolument convergente.
– b) Donner la nature dePun. Conclure.
