EPFL 13 novembre 2006 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 4
L’exercice 6 est à rendre le 20 novembre au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 On se place dans l’espace vectoriel E =R3.
1. Montrer que toute droite passant par l’origine est un sous-espace vectoriel de E.
2. Montrer que tout plan passant par l’origine est un sous-espace vectoriel de E.
3. Soient D1 et D2 deux droites de E passant par l’origine. A quelle condition D1 et D2 sont-elles en somme directe ? Peut-on avoir D1⊕D2 =E?
4. Soit D une droite de E passant par l’origine etP un plan passant par l’origine. A quelle condition D et P sont-ils en somme directe ? Peut-on avoir D⊕P =E?
5. Soient P1 et P2 deux plans de E passant par l’origine. Déterminer, selon les cas, quelle est la somme de P1 et P2. Cette somme peut-elle être directe ?
(Indication : Faites des dessins !)
Exercice 2 Soient e~1 = (1,1,0,0), ~e2 = (0,1,1,0), ~e3 = (1,1,0,1), ~e4 = (1,0,0,0) ete~5 = (1,1,1,1) des vecteurs de E = R4. Posons F = Span{e1, e2}, G = Span{e3, e4}, G0 =Span {e3, e4, e5}. Montrer que E =F ⊕G et E 6=F ⊕G0. A t’on E =F +G0?
Exercice 3 Soit E = F(R,R), l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. Montrer que les ensembles F1 et F2 des applications, respectivement paires et impaires sont deux sous-espaces vectoriels de E tels que E =F1⊕F2. (Rappel : une fonction f est paire si ∀x, f(−x) = f(x) et impaire si ∀x, f(−x) = −f(x).)
Exercice 4 Montrer que l’ensemble {1,1−X, X−X2, X2−X3} engendre P3(F).
Exercice 5 Soient e~1 = (0,1,−2,1), ~e2 = (1,0,2,−1), ~e3 = (3,2,2,−1), ~e4 = (0,0,1,0) et
~
e5 = (0,0,0,1) des vecteurs de R4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
1. Span{e~1, ~e2, ~e3}=Span{(1,1,0,0),(−1,1,−4,2)}.
2. (1,1,0,0)∈Span{~e1, ~e2} ∩Span{e~2, ~e3, ~e4}.
3. Span{e~1, ~e2}+Span{~e2, ~e3, ~e4}=R4.
4. Span{e~4, ~e5}est un sous-espace vectoriel deR4tel queSpan{e~1, ~e2, ~e3} ⊕Span{e~4, ~e5}=R4. Exercice 6 Soit E =F(R,R). Montrer que les deux ensembles
F ={f ∈E | f(1) = 0} et G={f ∈E | ∃a∈R, ∀x∈R f(x) =ax}
sont des sous-espaces de E tels que E =F ⊕G.
