EPFL 14 décembre 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 13
Le corrigé de cette série sera sur la page web du cours dès le mercredi 16 décembre.
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soit
A=
1 0 0 −1 1 1 3 1 1 2 4 1 1 0 0 1
∈Mat(4;F).
1. Calculer le rang deA.
2. En déduire que Aest inversible et calculer son inverse.
3. Exprimer l’inverse de Asous forme de produit de matrices élémentaires.
Exercice 2. 1. Montrer qu’une matrice diagonale Ade taillen×nest inversible si et seulement si (A)ii6= 0 pour touti= 1, . . . , n. Quel est alors son inverse ?
2. Montrer qu’une matrice triangulaire supérieureAde taillen×n est inversible si et seulement si (A)ii6= 0 pour touti= 1, . . . , n.
Exercice 3. Calculer l’inverse de
i 1 2
1 +i 3−i 4
−i −i i
.
Trouvera∈Ftel que
1 −1 0 0
0 2 −1 0
0 0 1 a
1 0 0 a2
soit inversible et calculer son inverse pour les valeurs de atrouvées.
Exercice 4. Trouver toutes les permutations de l’ensemble{1,2,3}et calculer leur nombre d’inversion.
Faire de même avec l’ensemble {1,2,3,4}.
Exercice 5. Calculer les déterminants des matrices
A=
1 2 3 3 4 5 1 1 1
et B =
1 0 1 −1
1 2 0 −1
3 2 1 0
−2 −3 1 1
.
(Tournez la page, svp.)
L’examen propédeutique d’algèbre linéaire 1 aura lieu le jeudi14 janvier de 8h15 à 11h15.
Vous serez répartis comme suit dans les salles : – Les étudiants de physique:
– En salleCE4 : Alves De Souza — Gmür – En salleCE6 : Gobet — Zultak.
– Les étudiants de mathématiques: – En salleCESPO : Abu-Nijmeh — Morell – En salleCE3 : Mudrokha — Zwahlen.
Renseignez-vous à l’avance sur l’endroit où se trouve votre salle. L’examen commencera à 8h15 donc soyez là vers 8h10 au plus tard pour pouvoir vous installer.
