2012-2013

ISA BTP, 4◦année ANNÉE UNIVERSITAIRE 2012-2013

CONTRÔLE CONTINU Séries de Fourier, transformée de Laplace

Durée : 1h30. Calculatrices et formulaires autorisés.

Tous les exercices sont indépendants

Il sera tenu compte de la rédaction et la présentation

Exercice 1 1. Développement en série de Fourier Soit f la fonction 2π-périodique et impaire vérifiant :

∀t ∈]0, π], f (t) = π − t

2 .

(a) Tracer le graphe de f sur [−3π, 3π].

(b) Calculer les coefficients de Fourier réels de f .

(c) Calculer les amplitudes An et tracer le spectre de f .

(d) Calculer les sommes S1 = +∞ X n=1 sin(n) n et S2 = +∞ X p=0 (−1)p 2p + 1. (e) Calculer la somme ζ(2) =

+∞ X n=1 1 n2. 2. Équation différentielle

On considère maintenant l’équation différentielle (E) : y00+ 2y = f (t)

où f est la fonction définie à la question 1 et on suppose que cette équation admet une solution particulière yp impaire, 2π-périodique et développable en série de Fourier :

yp(t) =

X

n>1

βnsin(nt). (∗)

(a) En dérivant l’expression (∗) terme à terme, montrer que

∀n ∈ N, βn =

1 n(2 − n2₎.

(b) On rappelle que l’énergie du signal représenté par yp est Etot = 1 2π Z 2π 0 yp(t)2dt.

i. Exprimer cette énergie sous la forme d’une somme infinie SE.

ii. En admettant que l’on connaisse la valeur exacte de cette somme SE, écrire

une boucle permettant de déterminer l’entier n0 auquel tronquer la série de

Fourier de yp de façon à conserver 99% de l’énergie totale.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 1. Calcul préliminaire

L’objectif de cette question est de déterminer la transformé de Laplace inverse g(t) de

G(p) = 1

p2_{+ 2p + 2}.

(a) Déterminer les racines complexes r et r du polynôme p2_{+ 2p + 2.}

(b) Déterminer le nombre a ∈ C tel que

G(p) = a

p − r + a p − r

(c) En déduire g(t) = L−1(G)(t) sous la forme d’une somme d’exponentielles com-plexes.

(d) À l’aide des formules d’Euler, exprimer g(t) à l’aide de fonctions réelles. 2. On considère le problème différentiel ci-dessous :

(S) :  1

2y

00_{+ y}0 _{+ y = f (t)}

y(0) = 1, y0(0) = 0 où f : t 7→ (t + 1).H(t), H étant la fonction échelon.

(a) Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f .

(b) En calculant la transformée de Laplace du système (S) et en notant Y la trans-formée de Laplace de y, montrer que

Y (p) = 2 + 2p

p2_(p2_{+ 2p + 2)}.

(c) Montrer que pour tout p 6= 0, on a Y (p) = 1 p2 − 1 p2_{+ 2p + 2} (d) En déduire la solution y de (S). ? ? ?

CORRECTION

(b) Puisque la fonction f est impaire, on a an(f ) = 0 pour tout n ∈ N. Pour le

calcul des bn(f ), on peut se ramener à la demi-période [0, π] :

bn(f ) = 1 π Z 2π 0 f (t) sin(nt)dt = 2 π Z π 0 π − t 2 sin(nt)dt = 2 π  −π − t 2n cos(nt) π 0 − 1 2n Z π 0 cos(nt)dt  = 1 n

(c) Pour tout n ∈ N∗, on a An=pa2n+ b2n = |bn| = 1_n. D’où

1 2 3 4 5 6 7 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(d) D’après les calculs précédents, la série de Fourier de f est Sf(t) =

X

n>1

sin(nt)

Autrement dit, S1 = Sf(1). Or, la fonction f étant continue en 1, on a Sf(1) = f (1)

et S1 =

π − 1

2 .

Pour le calcul de S2, il faut “éliminer” dans Sf(t) les termes de rang pair. C’est

le cas en posant t = π₂. En séparant les indices pairs des indices impairs dans la somme Sf(π₂), on obtient la somme S2 cherchée :

S2 = Sf π 2  = π 4.

(e) La somme ζ(2) s’obtient en appliquant le théorème de Parseval à la fonction f : 1 2π Z 2π 0 f (t)2dt =X n>1 1 2n2 = 1 2ζ(2) Le calcul intégral donne

1 2π Z 2π 0 f (t)2dt = 1 π Z π 0 (π − t)2 4 dt = 1 4π Z π 0 (π2− 2πt + t2_)dt = 1 4π  π2t − πt2+ t 3 3 π 0 = π 2 12

La formule de Parseval permet alors de retrouver la valeur ζ(2) = π

2

6 2. (a) Si yp(t) =

X

n>1

βnsin(nt), en dérivant deux fois terme à terme, on obtient

y_p00(t) = −X

n>1

n2βnsin(nt).

En injectant ces formes dans l’équation et en remplaçant f par sa série de Fourier, on obtient X n>1 (2 − n2)βnsin(nt) = X n>1 1 nsin(nt). Par identification, on obtient alors

∀n ∈ N∗, βn=

1 n(2 − n2₎.

(b) i. On reconnaît dans l’expression Etot le membre de gauche de l’égalité de Parseval. On en déduit : Etot = α2 0 4 + X n>1 α2 n+ βn2 2 = 1 2 X n>1 1 n2_{(2 − n}2₎2 = SE

ii. Si l’on connaît SE et qu’on la stocke dans une variable SE, la boucle

sui-vante permet de récupérer la majeure partie du signal (en termes d’énergie) : Taux=0.99 N=0 S=0 while S<Taux*SE: N=N+1 S=S+1/(N**2*(2-N**2)**2) N La somme SN(t) = N X n=1 sin(nt)

n(2 − n2₎ est alors une approximation de yp

conte-nant 99% de l’énergie de yp.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. (a) Les racines de p2+ 2p + 2 sont r et r où r = −1 + i.

(b) La théorie assure l’existence de nombres complexes a et b tels que

G(p) = a

p + 1 − i + b p + 1 + i.

Quelque soit la méthode employée, on obtient a = _2i1 et b = −_2i1 = a.

(c) Puisque G(p) = 1 2i  1 p + 1 − i − 1 p + 1 + i 

, on tire du tableau des transfor-mées :

g(t) = 1 2i(e

(−1+i)t_{− e}(−1−i)t_).H(t)

(d) D’après la formule précédente, on a g(t) = 1

2i(e

it_{− e}−it

).e−t.H(t) = sin(t).e−t.H(t)

2. (a) En développant f (t) = t.H(t) + H(t), on peut exploiter la linéarité de la TL : F (p) = L(t.H(t))(p) + L(H)(p) = 1

p2 +

1 p.

(b) La transformée de Laplace de l’équation différentielle de (S) est L 1 2y 00_{+ y}0_{+ y}  (p) = L(f )(p) ⇔ 1 2(L(y 00_{) + 2L(y}0_{) + 2L(y)) = F (p)}

⇔ p2_{Y (p) − py(0) − y}0_{(0) + 2pY (p) − 2y(0) + 2Y (p) =} 2

p2 + 2 p ⇔ Y (p)(p2_{+ 2p + 2) =} 2 + 2p p2 On en tire Y (p) = 2 + 2p p2_(p2_{+ 2p + 2)}

(c) En déduisant la somme _p12 − _p2_+2p+21 au même dénominateur, on obtient bien

1 p2 − 1 p2 _{+ 2p + 2} = p2+ 2p + 2 − p2 p2_(p2_{+ 2p + 2)} = Y (p).

(d) D’après le résultat établi à la question 1, on obtient y(t) = (t − sin(t)e−t).H(t).

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