Université de Cergy-Pontoise - L1 Examen du 15 janvier 2020 - 1ère session
Examen d'Algèbre Linéaire
Durée : 2h30
Les documents, les smartphones et smartwatch et les calculatrices ne sont pas autorisés Les exercices sont indépendants. Le barème (sur 35 pts.) est donné à titre indicatif.
Bien soigner la rédaction. Toute réponse sans justication vaut zéro Au sein de chaque exercice, les questions sont souvent indépendantes,
vous pouvez donc les traiter séparément.
Notations & conventions :
1. Les vecteurs écrits dans une base seront seulement écrits comme vecteurs-colonne.
2. PourE et F deux espaces vectoriels sur un corps de scalaires K et f : E → F linéaire, si G ⊆ E et H⊆F sont des sous-espaces vectoriels, on rappelle les notations :
(a) f(G) ={y∈F | ∃x∈Gt.q.f(x) =y} est l'image (directe) deGparf. En particulier, l'image de f estIm(f) =f(E).
(b) f−1(H) ={x∈E |f(x)∈H} est l'image réciproque de H parf. En particulier, le noyau def estKer(f) =f−1({0F}).
Exercice 1 : (4 points)
Soit le sous ensemble de R4 : F =
(x, y, z, t)∈R4 |
x+y = 0
2x −z+t = 0 (∗) . 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4
2. Résoudre le système (∗)par la méthode du pivot (de Gauss).
3. En déduire une base de F. Exercice 2 : (6 points)
Soit m et λ deux paramètres réels et soit (Sm,λ) :
m2x+my+z = λ2 mx+y+m2z = λ x+m2y+mz = 1
la famille de systèmes linéaires indexés par ces deux paramètres.
1. Calculer le déterminant ∆m =
m2 m 1 m 1 m2
1 m2 m
et montrer qu'il s'écrit sous la forme−(m3−1)2. 2. Sachant que m3−1 = (m−1)(m2+m+ 1), montrer que (Sm,λ)admet une solution unique si
et seulement si m6= 1.
Justier que cette solution unique s'écrit sous la forme
x y z
=A−1
λ2
λ 1
oùAest une matrice que l'on précisera.
3. Soit m= 1.
3.a. Montrer que le système (S1,λ) est incompatible (n'admet pas de solution) sauf pour λ= 1. 3.b. Résoudre le système pour λ = 1, en trouvant une équation cartésienne puis des équations
paramétriques de l'ensemble S1,1 de ses solutions.
Exercice 3 : (11 points) Soit dans R3 les vecteurs v1 =
2 3
−1
, v2 =
1
−1
−2
, w1 =
3 7 0
etw2 =
5 0
−7
écrits par rapport à un repère orthonormal xé.
1. Montrer que les familles de vecteurs V ={v1, v2} et W ={w1, w2} sont des familles libres.
2. Soit P =VectV, à savoir le plan vectoriel engendré par les vecteurs v1 etv2. Trouver tous les vecteurs u deP qui sont orthogonaux à v1.
Tournez la page s.v.p.,→
3. Soit Q=VectW, à savoir le plan vectoriel engendré par les vecteurs w1 et w2.
On se propose de montrer par des moyens géométriques que P = Q, à savoir que les plans vectoriels engendrés par les familles V et W coïncident.
3.a. Écrire un système d'équations paramétriques pour P.
3.b. En déduire qu'une équation cartésienne de P est7x−3y+ 5z = 0.
3.c. Calculer les coordonnées du vecteur produit vectoriel w1∧w2, qu'on notera n. 3.d. En déduire une équation cartésienne pour le plan vectoriel Q. Conclure.
4. Calculer le rang de la famille à 4 vecteurs V ∪W et justier par des moyens algébriques que P =Q.
5. Justier l'orthogonalité du vecteur v1 sur le plan vectoriel T = Vect{u, n} engendré par les vecteursu et n ont été désignés dans les questions précédentes.
6. SoitP0 un plan ane de l'espace, donné par une équation cartésienne du type : 7x−3y+ 5z = 3 6.a. Justier que P0 est parallèle à P.
6.b. SoitM le projeté orthogonal de l'origine O surP0. Trouver la longueur du segment OM (i.e. le module du vecteur −−→
OM).
Exercice 4 : (9 points)
Soit R2 muni de sa base canonique E = (e1;e2) etR3 muni de la base canonique F = (f1;f2;f3). Soit u:R2 →R3 l'application linéaire dont la matrice MEF(u) dans la paire de bases canoniques est :
A =
−1 2 3 −6 5 −10
.
1. Trouver l'expression de u, i.e. la façon dont u agit sur une paire(x, y) quelconque de R2. Autrement dit, en posant u(x, y) = (a, b, c)trouver l'expression desa, b etcen fonction de x, y. 2. Calculer u(2,1).
3. Calculer le rang de A et en déduire la dimension de Im(u), l'espace image de u. L'applicationu est-elle surjective ?
4. Déterminer Im(u) en donnant une base de celui-ci.
5. Trouver la dimension de Ker(u), le noyau deu. L'applicationu est-elle injective ?
6. Déterminer Ker(u) en donnant le(s) vecteur(s) d'une de ses bases.
7. On dénit à présent une nouvelle famille de vecteurs E0 = (e01;e02)deR2 par :
e01 = 2e1+e2 e02 = e1−e2 . 7.a. Donner la matrice P de passage entre la base E et la famille de vecteurs E0 deR2.
7.b. En déduire que E0 = (e01;e02) est bien une base de R2. 7.c. Montrer que R2 = Ker(u)⊕Vect(e02).
7.d. Notons par B la matrice ME0F(u) deu dans la paire E0,F de bases "nouvelles".
Justier brièvement l'égalité : B =AP et en déduire B. Exercice 5 : (5 points)
Soit E un K-espace vectoriel et soitF, Get H trois sous-espaces vectoriels deE. 1. Montrer qu'on a l'inclusion (en tant que sous-espaces vectoriels de E) suivante :
(F ∩G) + (G∩H) + (H∩F)⊂(F +G)∩(G+H)∩(H+F) (∗) 2. Cette inclusion est-elle stricte ?
3. Supposons que les sommes dans le membre de droite de l'inclusion de (∗)sont directes et queH et F sont supplémentaires dans E. Donner dans ce cas explicitement les deux membres de (∗) et écrire que devient(∗) dans ce cas.
4. L'inclusion est-elle stricte dans le cas où on supposait que les sommes du membre de gauche de (∗)étaient directes ?
