Pierre-Jean Hormière
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Algèbre linéaire
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« Citoyen examinateur, je ne sais pas l’algèbre, mais je vous promets de l’apprendre! »
Louis Poinsot, Oral de Polytechnique (1795)
1. Espaces vectoriels
2. Espaces vectoriels de dimension finie 3. Calcul matriciel
4. Dualité 5. Déterminants 6. Systèmes linéaires
7. Systèmes linéaires diophantiens 8. Réduction des endomorphismes 9. Modules sur les anneaux principaux
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Samuel Wales, Putti étudiant la Géométrie et la Perspective, 1761
« Certains auteurs, parlant de leurs ouvrages, disent : mon livre, mon commentaire, mon histoire… ils feraient mieux de dire : notre livre, notre commentaire, notre histoire, vu que d’ordinaire il y a plus du bien d’autrui que du leur. »
Blaise Pascal
C
es leçons sont une mise au net du cours que j'enseigne depuis vingt-trois ans en mathéma- tiques spéciales M' au lycée Fauriel. Elles s'adressent à de bons étudiants de premier cycle, mais peuvent intéresser aussi des candidats au Capes et aux Agrégations.Mon intention première était de rédiger ces leçons en leur laissant la fluidité du cours oral.
Mon vieux maître Gustave Choquet a écrit : « Créer vite, c’est aussi créer léger ; l’essentiel n’est pas d’être complet, mais de montrer la voie, et, pour convaincre, d’être une loupe et non pas un miroir. » Bien souvent, les cours de mathématiques donnent l’impression trompeuse d’un savoir clos, total, fermé sur lui-même, seulement destiné à être appris et reproduit. Cette attitude professorale conduit à une « surestimation extravagante du connu par rapport à ce qui reste à connaître », déjà dénoncée par André Breton.
Hélas, au fil des retouches, il est resté peu de choses de cette intention : l'écrit a sa logique propre, qui a peu à voir avec celle de l'oral, et, les surenchères de la taupe aidant, je n'ai pas su résister aux sirènes de l'exhaustivité. Dans ces exposés, l'accent est mis au premier chef sur la présentation des concepts, définitions, théorèmes et propositions dans un ordre rigoureux ; les démonstrations sont parfois omises, ou seulement accompagnées d'indications de preuves. Trop d'auteurs de manuels mathématiques se croient quittes avec les théorèmes en les démontrant, et gardent pour eux les idées sous-jacentes qui les éclairent.
J'ai tâché de respecter l'esprit de ce que je crois relever d'un premier cycle, et j'ai suivi les programmes administratifs de taupe. Les développements hors programme sont le plus souvent présentés sous forme de problèmes. Un accent particulier a été mis sur l'histoire des théories exposées, des concepts et des termes rencontrés, et sur les biographies de leurs créateurs. Si l’ordre adopté est l’ordre dogmatique − tradition française oblige −, en filigrane est suggéré l’ordre historique, qui serait exactement inverse, les systèmes linéaires précédant les déterminants, les déterminants précédant les matrices et celles-ci précédant les espaces vectoriels. Enfin, sont tissés quelques liens entre les mondes mathématique et littéraire, ouvrant des pistes et croisant les regards...
Hommage à Keith Haring
