Algèbre linéaire numérique

(1)

Algèbre linéaire numérique

Pierron Théo

ENS Ker Lann

(2)

2

(3)

Table des matières

1 Réduction des matrices carrées 1

1.1 Définitions . . . 1

1.2 Réduction de matrices carrées . . . 2

1.2.1 Définitions . . . 2

1.2.2 Polynôme de matrices . . . 2

1.2.3 Trigonalisation de matrices. . . 5

1.3 Réduction de Jordan . . . 7

1.3.1 Matrices nilpotentes . . . 7

1.3.2 Cas général : matrices complexes . . . 9

1.3.3 Réduction de Jordan sur R. . . 10

1.3.4 Applications : suites récurrentes linéaires . . . 11

2 Topologie matricielle 13 2.1 Norme subordonnée induite . . . 13

2.1.1 Définition . . . 13

2.1.2 Propriétés . . . 13

2.1.3 Cas de la norme euclidienne . . . 14

2.1.4 Application aux systèmes différentiels linéaires . . . 16

2.2 Conditionnement d’une matrice . . . 16

2.2.1 Exemple classique. . . 16

2.2.2 Explication . . . 18

2.3 Topologie dans M_n(K) . . . 19

2.3.1 Groupe linéaire . . . 19

2.3.2 Groupe orthogonal, groupe unitaire . . . 20

2.3.3 Matrices diagonalisables, trigonalisables . . . 21

3 Décompositions usuelles 23 3.1 Décomposition polaire . . . 24

3.2 Décomposition LU . . . 24

3.2.1 Mineurs fondamentaux . . . 24

3.2.2 Cas général . . . 25 i

(4)

ii TABLE DES MATIÈRES

3.2.3 Décomposition LDU . . . 25

3.2.4 Décomposition LD^tL . . . 25

3.2.5 Décomposition de Choleski . . . 26

3.3 Décomposition QR . . . 27

3.3.1 Cas des matrices inversibles . . . 27

3.3.2 Matrices rectangulaires de M_n,p(R) avec n > p . . . 27

3.3.3 Applications . . . 28

3.3.4 Cas non inversible . . . 28

3.4 Décomposition en valeurs singulières . . . 28

4 Analyse spectrale en dimension finie 31 4.1 Localisation des valeurs propres . . . 31

4.1.1 Disques de Gerschgörin . . . 31

4.1.2 Continuité des valeurs propres . . . 32

4.1.3 Perturbation des valeurs propres. . . 33

4.2 Cas hermitien . . . 33

4.2.2 Caractérisation min-max de Courant-Fisher . . . . 34

4.3 Spectre des matrices positives . . . 35

4.3.2 Matrices strictement positives . . . 36

5 Systèmes linéaires 39 5.1 Méthodes directes . . . 39

5.1.1 Cramer . . . 39

5.1.2 Gauss . . . 39

5.1.3 Décomposition LU . . . 39

5.1.4 Matrices creuses. . . 40

5.1.5 Choleski . . . 41

5.1.6 QR . . . 41

5.2 Systèmes surdéterminés. . . 42

5.2.1 Conditions d’existence et d’unicité de la solution . . . . 42

5.2.2 Équation normale . . . 42

5.2.3 QR . . . 43

5.3 Méthodes itératives . . . 43

5.3.1 Méthodes basées sur des décompositions . . . 43

5.3.2 Méthodes variationnelles . . . 43

6 Approximation spectrale 49 6.1 Conditionnement d’un problème au valeurs propres . . . 49

6.2 Méthode de la puissance . . . 50

(5)

TABLE DES MATIÈRES iii

6.2.1 Cas diagonalisable . . . 50

6.2.2 Cas non diagonalisable . . . 53

6.2.3 Méthode de la puissance inverse . . . 55

6.3 La méthode QR . . . 55

6.3.1 Première stratégie (Jacobi, 1846) . . . 55

6.3.2 Deuxième stratégie . . . 57

(6)

iv TABLE DES MATIÈRES

(7)

Chapitre 1

Réduction des matrices carrées

1.1 Définitions

Définition 1.1 On appelle produit hermitien une applicationh·,·i:C² →C qui est :

• linéaire à droite : hx, λy+zi=λhx, yi+hx, zi

• hermitienne : hx, yi=hy, xi

• définie positive : hx, xi>0

Remarque 1.1 h·,·i est semi-linéaire à gauche :hλx+y, zi=λhx, zi+hy, zi. Elle est donc sesquilinéaire.

Exemple :hx, yi=^Xⁿ

i=1

xiyi est le produit scalaire hermitien canonique sur Cⁿ.

Remarque 1.2 x7→^qhx, xi définit une norme.

Définition 1.2 PourA∈M_n(C), on note A^∗ =^tA.

Remarque 1.3 A^∗∗ =A et hAx, yi=hx, A^∗yi. Notations :

• On note H_n(C) l’ensemble des matrices n×n hermitiennes (telles que A^∗ =A).

• On note H⁺

n (C) l’ensemble des matricesn×n hermitiennes positives.

• On noteH ⁺⁺

n (C) l’ensemble des matrices n×n hermitiennes définies positives.

• On noteUⁿ(C) les matrices n×n unitaires (telles que A^∗A=In).

• On noteSUn(C) l’ensemble des matricesn×nunitaires de déterminant 1.

Remarque 1.4 Si A∈H_n(C), hAx, xi ∈R. 1

(8)

CHAPITRE 1. RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES Exemples :

• Si A ∈ H_n⁺⁺(C), (x, y) 7→ x^∗Ay = hAx, yi définit un produit scalaire hermitien.

• Réciproquement, tout produit scalaire hermitien s’écrit sous la forme A= (hei, eji)i,j.

1.2 Réduction de matrices carrées

1.2.1 Définitions

Définition 1.3 Pour A∈M_n(C), on définit :

• χA= det(A−XIn) le polynôme caractéristique de A.

• Sp(A) ={λ∈C, χA(λ) = 0} le spectre de A.

• Les élements de Sp(A) sont les valeurs propres de A.

• Un vecteur propre de A associé à λ est un x6= 0 tel que Ax=λx.

Définition 1.4 Pour λ∈Sp(A), on définit :

• la multiplicité algébrique deλ est le plus grand k tel que (X−λ)^k|χA.

• la multiplicité géométrique deλestl = dim(Eλ) = dim(Ker(A−λIn)).

• λ est dite défective si l < k.

Exemple :

• A= 1 1 0 1

!

:χA = (1−X)²,k = 2, l = 1.

• A = 1 1 0 2

!

: χA = (1− X)(2 −X), les valeurs propres sont non- défectives et valent 1 et 2.

Définition 1.5 A∈M_n(K) est dite diagonalisable sur Kssi elle admet une base de vecteurs propres ssi il existe P ∈ GLn(K) et D ∈ Dn(K) telles que A=P⁻¹DP.

Proposition 1.1 A∈M_n(K) est diagonalisable surKssiχAest scindé sur K etA n’a aucune valeur propre défective.

1.2.2 Polynôme de matrices

Définition 1.6 Soit A ∈M_n(K). On note K[A] la sous-algèbre engendrée par A. K[A] = Vect{Aⁱ, i∈N}={P(A), P ∈K[X]}.

Remarque 1.5 I ={P ∈ K[X], P(A) = 0} est un idéal de K[X]. K[X] est principal donc il existeµA∈K[X]tel queI =hµAi. LeµAunitaire est appelé polynôme minimal de A.

(9)

1.2. RÉDUCTION DE MATRICES CARRÉES Théorème 1.1 Les racines de µA sont les valeurs propres de A.

Démonstration.

⊂ 0 =µA(A) = (A−λIn)Q(A). OrQ(A)6= 0 (contredirait la minimalité deµA) donc A−λIn6∈GLn(K) donc λ∈Sp(A).

⊃ A ∼ λ 0

0 A^′

!

donc P(A) ∼ P(λ) 0 0 P(A^′)

!

. On a µA(A) = 0 donc µA(λ) = 0.

Théorème 1.2 de Cayley-Hamilton Pour tout A ∈ M_n(K), µA|χA ie χA(A) = 0.

Démonstration.

• Si A= 0, 0|X.

• Si A6= 0, il existe x∈Kⁿ\ {0} tel que Ax6= 0.

Posons Ex = VectⁿA^kx, k ∈N^o ⊂ Kⁿ et px l’entier maximal tel que F ={A^kx, k∈J0, px−1K} soit libre.

F est une base deEx car elle est libre et génératrice ({A^kx, k∈J0, pxK} est liée + récurrence).

On note A^p^xx=

pXx−1 k=0

akA^kx et Πx =X^p^x−

pXx−1 k=0

akX^k.

Ex est stable parA donc A induit un endomorphisme Ax sur Ex. Sur Ex, Πx(A) = 0 et Πx est le polynôme minimal de Ax. En effet,

la matrice de Ax dans F est







0 · · · 0 a₀ 1 ... ... ...

0 ... 0 ...

0 0 1 apx−1







. On a alors χAx =

(−1)^p^xΠx.

On complète F en une base de Cⁿ de sorte que la matrice de A dans cette base soit :

Ax ∗ 0 Bx

!

On a alors χA=χAxχBx donc χA(A) = 0.

Remarque 1.6 Si AetB sont semblables,µA=µB. La réciproque est fausse.

Démonstration.

• Si A= P BP⁻¹, µB(A) =P µB(B)P⁻¹ = 0 donc µA|µB. Par symétrie, µA =µB.

(10)

CHAPITRE 1. RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES

• A=





1 0 0

0 −1 0

0 0 1



 etB =





1 0 0

0 −1 0 0 0 −1



 ne sont pas semblables (χA6= χB) mais ont même polynôme minimal (à savoir (X−1)(X+ 1)).

Théorème 1.3 de décomposition des noyaux

• Soit A ∈ M_n(K) tel que χA soit scindé dans K. On note alors χA = (−1)ⁿ^Y^s

i=1

(X−λi)^kⁱ. On a alors :

Kⁿ =

Ms i=1

Ker(A−λiId)^kⁱ =

Ms i=1

Eλi

• Plus généralement, si P ∈ K[X] vérifie P =

Yp i=1

Pi où les Pi sont pre- miers deux à deux, on a :

Ker(P(A)) =

Mp i=1

Ker(Pi(A))

Remarque 1.7 Le premier point est une conséquence du second à cause de Cayley-Hamilton.

Démonstration.

• Résultat préliminaire : On pose Qi = P

Pi

pour tout i. Les Qi sont premiers entre eux donc (Bezout) il existe (V1, . . . , Vp) tels que

Xp i=1

ViQi = 1.

On a donc

Xp i=1

Vi(A)Qi(A) =In (1).

• Notons Fi = Ker(Pi(A)) et F = Ker(P(A)). Montrons que

Xp i=1

Fi =

Mp i=1

Fi.

Soit (x1, . . . , xp)∈

Yp i=1

Fi tel que

Xp i=1

xi = 0.

Pour tout j 6= i, Pj|Qi donc Qi(A)(xj) = 0 donc

Xp j=1

Qi(A)(xj) = Qi(A)(xi).

Or, par hypothèse,Qi(A)



 Xp j=1

xj



= 0 donc Qi(A)(xi) = 0.

(11)

1.2. RÉDUCTION DE MATRICES CARRÉES

On a de plus, d’après (1), xi =

Xp j=1

Vj(A)Qj(A)(xi)

| {z }

=0

= 0.

Donc les Fi sont en somme directe.

• Montrons F ⊂ ^L^p

i=1Fi. Soit x∈F.

On pose, pour tout j, xj = (Vj(A)Qj(A))(x).

On a :

Pi(A)(xi) = (Pi(A)Vi(A)Qi(A))(x)

= (P(A)Vi(A))(x)

=Vi(A)(P(A)(x))

= 0 Donc pour tout i, xi ∈Fi etx=

Xp i=1

xi. DoncF = ^L^p

i=1Fi. Corollaire 1.1 Soit M ∈M_n(K).

M est diagonalisable ssi χM est scindé sans valeurs propres défectives ssi µM est scindé à racines simples.

Démonstration.

1⇒2 SiM =P DP⁻¹,χM =χD et le calcul deχD assure qu’il est scindé sans valeurs propres défectives.

2⇒3 On aχM =

Yp i=1

(λi−X)^kⁱ avec ki = dimEλi. Posons Q =

Yp i=1

(X−λi). Q|µM car les racines de µM sont les valeurs propres de M.

De plus, Ker(Q(M)) = ^L^p

i=1Eλi = Kⁿ. Donc µM = Q qui est scindé à racines simples.

3⇒1 Si µM =

Yp i=1

(X−λi) avec λi distinctes deux à deux, le théorème de décomposition des noyaux assure queKⁿ = ^L^p

i=1Eλi. M est donc diagonalisable.

1.2.3 Trigonalisation de matrices

Théorème 1.4 Soit A∈M_n(K).

A est trigonalisable ssiχA est scindé sur K.

(12)

CHAPITRE 1. RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES Démonstration.

⇒ On a A=P







λ1 ∗

...

0 λp





P⁻¹ donc χA= (−1)ⁿ

Yp i=1

(X−λi).

⇐ Par récurrence sur n. Le théorème est clair pour n= 1.

Supposons qu’il soit vrai au rangn−1. Soitλ ∈Sp(A) etxun vecteur propre associé.

Il existe (e2, . . . , en) tels que (x, e2, . . . , en) soit une base deKⁿ. Dans cette base,A s’écrit λ ∗

0 A^′

!

L’hypothèse de récurrence assure queA^′ est trigonalisable (χA^′ = _X^χ₋^A_λ) donc A l’est.

Le principe de récurrence démontre le théorème.

Remarque 1.8 • Les éléments diagonaux de la matrice triangulaire sont les valeurs propres de la matrice de départ.

• Si les coefficients de A sont connus à une erreur près, on ne peut pas toujours maîtriser l’erreur sur T.

Théorème 1.5 Schur Soit A∈M_n(C).

A est trigonalisable en base orthonormale (ie il existe U ∈ Uⁿ et T trian- gulaire supérieure telles que A=UT U^∗).

Démonstration. χAest scindé sur CdoncA est trigonalisable. La preuve est identique à la précédente (on doit choisir kxk = 1 et (x, e2, . . . , en) orthonormale).

Théorème 1.6 • Si A∈Sn(R), il existe P ∈On et D diagonale telles que A=P DP⁻¹ =P D^tP.

• Si A∈H_n(C), il existe P ∈ Uⁿ et D diagonale telles que A=UDU^∗. Démonstration. Par récurrence sur n. Clair pour n= 1.

Si le théorème est vrai au rang n−1, soit A∈H_n(C) et x ∈Eλ tel que kxk= 1.

On complète xen (x, e2, . . . , en) orthonormale.

Dans cette base, A s’écrit λ ∗ 0 A^′

!

. Or A^∗ =A donc ∗= 0 et A^′∗ =A^′. L’hypothèse de récurrence conclut.

Théorème 1.7 Pour tout A ∈ S_n⁺(R), il existe une unique √

A ∈ S_n⁺(R) tel que A=√

A². Démonstration.

(13)

1.3. RÉDUCTION DE JORDAN

∃ On a A=P diag(λ1, . . . , λp)^tP.P diag(√

λ1, . . . ,√

λn)^tP convient.

! A et√

A commutent donc sont co-diagonalisables.

On a A=P diag(λ1, . . . , λp)^tP et √

A=Pdiag(λ^′₁, . . . , λ^′_p^′)^tP. On a donc obligatoirement p=p^′ et λi =λ^′_i² pour tout i.

1.3 Réduction de Jordan

Le but est, étant donnée une matrice A, de trouver J semblable à A de

la forme







λ1 ε 0 · · · 0 0 . .. ... ... ...

... ... ... ... 0 ... ... ... ε 0 · · · 0 λp







oùε∈ {0,1}.

1.3.1 Matrices nilpotentes

Théorème 1.8 Soit N une matrice nilpotente.

Il existe s > 1 et (d1, . . . , ds) supérieurs ou égaux à 1 tels que

Xs i=1

di =n et N est semblable à J où J est diagonale par blocs dont les blocs (Ji)i∈J1,sK

sont de taille di×di et valent







0 1 0 · · · 0 ... ... ... ... ...

... . .. ... 0

... . .. 1

0 · · · 0







.

Définition 1.7 ChaqueJi est appelé bloc de Jordan nilpotent de taille di. Démonstration. Par récurrence sur n. Pour n = 1, N = (0) donc le résultat est clair.

Supposons que celui-ci est vrai en dimension inférieure à n− 1. N est nilpotente d’ordrek dans M_n(K).

Il existe donc x tel que N^k⁻¹x 6= 0. Notons B = (x, Nx, . . . , N^k⁻¹x) et Ex = Vect{B}.

• Montrons que dim(Ex) =k ie que B est libre.

Soient (λ0, . . . , λk−1) tels que

kX−1 i=0

λiNⁱx= 0.

Supposons qu’il existe i tel que λi 6= 0. Il existe alors i0 minimal tel queλi0 6= 0.

(14)

On a 0 =N^k⁻ⁱ⁰⁻¹

kX−1 j=0

λiNⁱx=λi0N^k⁻¹x. Donc λi0 = 0.

B est donc libre et dim(Ex) =k.

• Montrons que E est stable par N.

On a NB = (Nx, N²x, . . . , N^k⁻¹x,0) dont chacun des termes appar- tient à Ex. DoncEx est stable parN.

DansB = (N^k⁻¹x, . . . , x),N s’écrit comme un bloc de Jordan de taille n×n.

• Si k = n, le problème est résolu. Sinon, k < n. On cherche alors un supplémentaire de Ex stable par N.

On aN^k⁻¹x6= 0 donc il existe ytel que hN^k⁻¹x|yi 6= 0.

On poseB^∗ = (y, N^∗y, . . . ,(N^∗)^k⁻¹y) et G= (Vect{B^∗})^⊥.

– On montreB^∗ libre. C’est le même principe que pour le liberté deB puisque (N^∗)^k⁻¹y6= 0.

– On montre que G est stable parN. Soit j ∈J0, k−1K etv ∈G.

h(N^∗)^jy|Nvi=h(N^∗)^j+1y|vi= 0 car (N^∗)^k = 0 et car v ∈G.

– On montre Ex⊕G=E. Les dimensions permettent de se limiter à Ex∩G={0}.

Si v =

kX−1 i=0

aiNⁱx∈Ex∩G, pour tout j, h(N^∗)^jy|vi= 0.

Donc 0 =

kX−1 i=0

aih(N^∗)^jy, Nⁱxi=

k−1

X

i=0

aih(N^∗)^i+jy, xi.

S’il existe i0 minimal tel que ai 6= 0, j = k − i0 −1 apporte une contradiction. Doncv = 0 et Ex⊕G=E.

• On complète B en une base adaptée à E = Ex ⊕G. On note Q la matrice de passage associée et on a :

N =Q J1 0 0 N^′

!

Q⁻¹

µN^′|X^k donc N^′ est nilpotente. Le principe de récurrence permet de mettreN^′ sous la forme voulue :N^′ =P^′J^′P^′−¹.

On a donc N semblable à une matrice J de la forme recherchée via P = Q 0

0 P^′

!

.

Exemple : Quelle est la réduite de Jordan deM =





0 a b 0 0 c 0 0 0



?

M³ = 0. Les formes possibles de la réduites sont : 0, E1,2 (ou E2,3) ou E_1,2+E_2,3.

(15)

• Sia=b=c= 0, la réduite est la matrice nulle. On suppose maintenant (a, b, c)6= (0,0,0).

• Si M² = 0, ieac= 0, la réduite est E1,2 =





0 1 0 0 0 0 0 0 0



.

• Sinon, la réduite est E1,2+E2,3 =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



.

Proposition 1.2 SoitM une matrice nilpotente et J sa réduite de Jordan.

Le nombre de blocs de Jordan de J est égal à dim(Ker(M)).

Démonstration. On a :

dim(Ker(M)) = dim(Ker(J)) =^X^s

i=1

dim(Ker(Ji)) =^X^s

i=1

1 = s

Proposition 1.3 Le nombre de blocs de taille supérieure àkest la différence dim(Ker(M^k))−dim(Ker(M^k⁻¹)).

Exemple :







0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0





 et







0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0





 ne sont pas semblables.

1.3.2 Cas général : matrices complexes

Théorème 1.9 SoitA∈M_n(C).Aest semblable surCàJ matrice compo-

sée de blocsJi=







λi 1 0 · · · 0 0 . .. ... ... ...

... . .. ... ... 0 ... . .. ... 1 0 · · · 0 λi







où lesλi ne sont pas nécéssairement

distinctes.

Démonstration. χA=

Yp i=1

(X−λi)^αⁱ donc, d’après le lemme des noyaux,Cⁿ=

Lp

i=1Ker(Eλi).

Les Eλi sont stables par A, donc, dans une base de Eλi, A|^E_λi s’écrit λiIi+Ni avec Ni nilpotente.

Le théorème précédent s’applique à Ni et fournit le résultat en juxtapo- sant les blocs.

(16)

CHAPITRE 1. RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES Remarque 1.9

• On retrouve la décomposition de DunfordA =D+N avec DN =ND.

• Le nombre de blocs associés à λi est dim(Eλi). Donc, si λ est non défective, le bloc est diagonal.

Exemple : M =





1 a b 0 1 c 0 0 −1



.

Deux réduites sont possibles :





1 1 0 0 1 0 0 0 −1



 et





1 0 0 0 1 0 0 0 −1



. Si a6= 0, c’est la première, sinon, c’est la seconde.

1.3.3 Réduction de Jordan sur R

Si χA est scindé, on fait comme dansC.

Sinon, il existe λk =ak+ibk avec bk6= 0. On pose Λk= ai bi

−bi ai

!

. Théorème 1.10 Soit A∈M_n(R).

A est semblable à J =







J1 0 · · · 0

0 . .. ... ...

... ... Js . .. ...

... . .. K1 . .. ...

... . .. ... 0

0 · · · 0 Kr







avec Ji =







λi 1 0 · · · 0 0 . .. ... ... ...

... ... ... ... 0 ... . .. ... 1 0 · · · 0 λi







et Ki =







Λi I2 0 · · · 0 0 . .. ... ... ...

... ... ... ... 0 ... . .. ... I2

0 · · · 0 Λi







.

Démonstration. Sur C,Aet J sont semblables car elles ont même décompo- sition de Jordan.

En effet, les Ki sont semblables à des

Js+k= (ak+ibk) Id 0 0 (ak−ibk) Id

!

Donc A = P JP⁻¹ avec P = P1 +iP2. L’application det(P1 +tP2) est polynômiale non nulle (eni) donc elle n’est pas nulle sur R.

(17)

Donc il existeλ∈R,Q=P1+λP2 ∈GLn(R). On a alorsA=QJQ⁻¹.

1.3.4 Applications : suites récurrentes linéaires

Problème : On donne (u0, . . . , uk−1)∈C^k et (a0, . . . , ak−1)∈C^k.

Le but est de d’expliciter la suite u telle que, pour tout n ∈ N, un+k =

kX−1 i=0

aiun−i.

On pose Un =







un

...

un+k−1





. U0 est donné. La relation de récurrence se transforme en U_n+1 = AUn avec A la transposée de la matrice compagnon de^k^X⁻¹

i=0

aiXⁱ.

On a alors Un =AⁿU0. Il faut donc calculerAⁿ.

Si A = P JP⁻¹ avec J composée de blocs de Ji = λiIαi +Ni, J_i^k =

dXi−1 j=0

k j

!

λ^k_i⁻^jN_i^j.

Donc J_i^k =







λ^k_i kλ^k_i⁻¹ · · · k di−1

!

λ^k_i⁻^dⁱ⁺¹

0 ... ... ...

... ... ... ... 0

... ... ... kλ^k_i⁻¹ 0 · · · 0 λ^k_i







.

Il faut alors recomposer J^k (matrice des J_i^k) puis A^k=P J^kP⁻¹.

(18)

(19)

Chapitre 2

Topologie matricielle

M_n(K) est de dimension finie donc les normes sont équivalentes donc on étudie une seule topologie d’espace vectoriel normé.

2.1 Norme subordonnée induite

2.1.1 Définition

Définition 2.1 Si k·k est une norme surKⁿ, on appelle norme induite par k·k l’application :

||| · ||| :









M_n(K) → R⁺

A 7→ sup

x6=0

kAxk kxk

Exemple : |||A|||∞ = maxi

Xn j=1

|ai,j| et|||A|||¹ = maxj

Xn i=1

|ai,j|. Soit x∈Kⁿ de norme 1.

kAxk_∞ = maxi

Xn j=1

ai,jxj

6maxi

Xn j=1

|ai,j|. La borne est atteinte pour xj = ai₀,j

|ai0,j| si ai0,j 6= 0 et 1 sinon. (i0 est tel que

Xn j=1

|ai₀,j|= max

i

Xn j=1

|ai,j|).

2.1.2 Propriétés

Proposition 2.1 ||| · ||| est une norme d’algèbre.

13

(20)

CHAPITRE 2. TOPOLOGIE MATRICIELLE

Démonstration. Si kxk = 1, kABxk 6 |||A||| · kBxk 6 |||A||| · |||B||| · kxk =

|||A||| · |||B|||.

Donc |||AB|||6|||A||| · |||B|||. Remarque 2.1

• Il existe des normes sur M_n(K) qui ne sont pas d’algèbre (par exemple la norme infinie des coefficients avec A=B =Jn)

• La réciproque de la propriété est fausse : kAk = ^qtr(A^∗A) n’est pas une mesure induite (kInk=√

n 6= 1) mais elle est d’algèbre.

2.1.3 Cas de la norme euclidienne

Définition 2.2 Soit A ∈M_n(C). Le rayon spectral de A, noté ρ(A) est le maximum des modules des valeurs propres deA.

Proposition 2.2 Si A est diagonalisable en base orthonormée, |||A|||2 = ρ(A).

Démonstration. A=UDU^∗. Soit x∈Kⁿ tel que kxk2 = 1.

kAxk2 =kUDU^∗xk2 =kDU^∗xk2. Donc max

kxk2=1kAxk2 = max

kxk2=1kDxk2 = ρ(D) = ρ(A) car U et U^∗ sont des isométries.

Théorème 2.1 Pour tout A∈M_n(C), |||A|||²=^qρ(A^∗A).

Démonstration. Montrons que |||A|||=|||A^∗|||. kAxk²2 =hAx|Axi6kA^∗Axk2kxk2 6|||A^∗A|||². Donc |||A|||²2 6|||A^∗A|||² 6|||A^∗|||²|||A|||². (1) Donc, si A6= 0, |||A|||² 6|||A^∗|||².

De même, |||A|||² =|||A^∗|||². D’après (1), |||A|||²2 =|||A^∗A|||². La propriété précédente conclut car A^∗A est hermitienne.

Définition 2.3 Les racines carrées des valeurs propres deA^∗Asont appelées valeurs singulières deA.

Remarque 2.2 Sp(A^∗A) ⊂ R⁺ car A^∗Ax = λx ⇒ kAxk² = λkxk² ⇒ x ∈ R⁺.

Théorème 2.2

• Pour tout A ∈ M_n(K) et pour tout norme subordonnée ||| · |||, |||A||| >

ρ(A).

• Soit A∈M_n(C) et ε >0.

Il existe une norme subordonnée ||| · |||^A,ε telle que |||A|||^A,ε6ρ(A) +ε.

• ρ(A) = inf{|||A|||,||| · ||| subordonnée}.

(21)

2.1. NORME SUBORDONNÉE INDUITE Démonstration.

• Soit x un vecteur propre de norme 1 associé à λ telle que |λ|=ρ(A).

|||A|||=|||A||| · kxk>kAxk=|λ| kxk=ρ(A).

• D’après le théorème de Schur, A=UT U^∗.

On pose Dη = diag(η, . . . , ηⁿ) et Tη =DηT D_η⁻¹ (η >0).

|||Tη|||¹ _η→

→0 ρ(A) donc pour η suffisament petit, |||Tη|||¹ 6ρ(A) +ε.

On définit donc kxkA,ε=D⁻_η¹U^∗x

1. kAxkA,ε=D_η⁻¹U^∗UT U^∗x

1 =D_η⁻¹T U^∗x

1

=TηD⁻_η¹U^∗x6|||Tn|||¹kxkA,ε

Donc|||A|||^A,ε6|||Tη|||1 6ρ(A) +ε.

• Pour toutε >0,ρ(A)6|||A|||^A,ε 6ρ(A) +εdoncρ(A) est bien la borne inférieure des normes subordonnées de A.

Corollaire 2.1 Pour tout A∈M_n(C), lim

k→+∞A^k = 0⇒ρ(A)<1.

Démonstration.

⇒ Soit λ∈Sp(A) tel que|λ|=ρ(A) et x un vecteur propre associé à λ.

A^kx=λ^kx donc lim

k→+∞λ^k = 0 donc |λ|<1.

⇐ Soit A telle que ρ(A)<1. Il existe une norme subordonnée ||| · ||| telle que|||A|||<1.

|||A^k|||6|||A|||^k donc converge vers 0.

Corollaire 2.2 Pour toute norme subordonnée ||| · |||, ρ(A) = lim

k→+∞(|||A^k|||^k¹)

Démonstration. Si λ ∈Sp(A) vérifie |λ|=ρ(A), λ^k ∈ Sp(A^k) donc ρ(A^k) >

|λ|^k =ρ(A)^k.

Soit ||| · ||| une norme subordonnée. On a ρ(A^k)<|||A^k|||. Donc ρ(A)<|||A^k|||¹^k

De plus, pour tout ε >0,Aε = 1

ρ(A) +εA vérifie ρ(Aε) = ρ(A)

ρ(A) +ε <1.

Donc lim

k→+∞A^k_ε = 0.

Il existe donc kε tel que pour tout k>kε, |||A^k_ε|||<1.

On a donc |||A^k|||<(ρ(A) +ε)^k donc ρ(A)6|||A^k|||¹^k < ρ(A) +ε.

Donc lim

k→+∞|||A^k|||¹^k =ρ(A).

(22)

CHAPITRE 2. TOPOLOGIE MATRICIELLE

2.1.4 Application aux systèmes différentiels linéaires

Cas n = 1 : y^′ = ay, y(0) = y0 a pour solution y : t 7→ y0e^at. |y| est croissante si ℜ(a)>0, décroissante si ℜ(a)>0 et constante sinon.

Casn> 2 :Y^′ =AY,Y(0) =Y0 a pour solutionY :t 7→e^tAY0. Comment se comporte Y en l’infini ?

Proposition 2.3

• lim

t→+∞e^tA = 0 ssi ∀λ∈Sp(A),ℜ(λ)<0.

• {e^tA, t > 0} est borné ssi ∀λ ∈Sp(A),ℜ(λ) 6 0 et ℜ(λ) = 0⇒ λ non défective.

Démonstration. On va montrer le résultat pour les blocs de Jordan Ji = λiIdi +Ni.

e^tJⁱ = e^λⁱ^I^die^Nⁱ = e^tλⁱ

dXi−1 k=0

t^kN_i^k k!

Si ℜ(λi)<0, e^tJⁱ tend vers 0 car l’exponentielle l’emporte sur le poly- nôme.

Si ℜ(λi)>0, e^tJⁱ tend vers +∞.

Si ℜ(λi) = 0, t7→e^tJⁱ est bornée ssi di = 1.

En recollant les blocs de Jordan, on a :

• S’il existeλ ∈Sp(A) tel que ℜ(λ)>0, e^tA tend vers +∞.

• Sinon, t 7→ e^tA est bornée si tous les blocs de Jordan associés à une valeur propre imaginaire pure sont de taille 1, ie ces valeurs propres sont non défectives.

• De plus e^tA tend vers 0 ssi tous les blocs convergent vers 0 ssi ∀λ ∈ Sp(A), ℜ(λ)<0.

2.2 Conditionnement d’une matrice

2.2.1 Exemple classique

On considère le système AX =B avec :

A=







10 7 8 7

7 5 6 5

8 6 10 9 7 5 9 10





, B =







32 23 33 31





, X =







1 1 1 1







A est inversible car det(A) = 1 etX est bien solution du système.

(23)

2.2. CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE Effet d’une perturbation du second membre

On perturbe maintenant légèrement (mais pas n’importe comment) le vecteur B, et on calcule la nouvelle solution. On a par exemple AX^f = B^e avec :

Be =







32,1 22,9 33,1 30,9





, X^f=







9,2

−12,6 4,5

−1,1







Le résultat surprend : le vecteurB^e étant proche deB on s’attend à trouver une solution X^f proche de X, ce qui ne semble pas être le cas ! De manière plus précise, si on calcule les erreurs relatives :

eB−B

∞

kBk_∞ = 0,1

33 ≈3.10⁻³

et

fX−X

∞

kXk_∞ = 13,6

1 = 13,6

on remarque que, par la résoltuion du système linéaire, l’erreur relative sur B est multipliée par 4488, ce qui est assez effrayant !

Cette situation n’est pas seulement liée au choix de la norme, on obtient avec la norme euclidienne des taux d’amplification moindres, mais très élevés

aussi :

eB−B

2

kBk2

≈ 0,2

60 ≈3,3.10⁻³

et

fX−X

2

kXk2

≈ 16,4 2 = 8.2

soit un facteur d’amplification de l’erreur égal à 2460 environ.

Effet d’une perturbation de la matrice

On perturbe maintenant la matriceA, on considère donc le systèmeA^bX^c= B avec :

Ab=







10 7 8,1 7,2 7,08 5,04 6 5

8 5,98 9,89 9 6,99 4,99 9 9,98





, X^c=







−8,1 137

−34 22







(24)

CHAPITRE 2. TOPOLOGIE MATRICIELLE Encore une fois, le calcul des erreurs relatives :

bA−A

∞

kAk_∞ = 0,3

33 ≈9.10⁻³

et

cX−X

∞

kXk_∞ = 136 révèle une forte amplification de l’ordre de 15000 !

2.2.2 Explication

Définition 2.4 Pour tout A∈ GLn(K), et pour toute ||| · ||| norme induite, on appelle conditionnement de A et on note c(A) le scalaire |||A||||||A⁻¹|||. Remarque 2.3 c(A) dépend de la norme et c(A)>1 (car AA⁻¹ =In).

Théorème 2.3 Pour une norme vectorielle k·kdonnée, et la norme matri- cielle ||| · ||| induite, on a, avec A∈GLn(K) et X, B ∈Kⁿ tels que AX =B,

• Si δB ∈Kⁿ et δX ∈Kⁿ tel que A(X+δX) = B+δB, kδXk

kXk 6c(A)kδBk kBk

• Si δA∈M_n(K) et δX ∈Kⁿ vérifient (A+δA)(X+δX) =b, kδXk

kX+δXk 6c(A)|||δA|||

|||A|||

Démonstration.

• δX =A⁻¹δB donc kδXk6|||A⁻¹||| kδBk. De plus, AX =B donckBk6|||A||| kXk. Donc ^k_k^δX_X_k^k 6c(A)^k_k^δB_B_k^k.

• (A+δA)(X+δX) =B donc AδX +δA(X+δX) = 0.

DoncδX =−A⁻¹δA(X+δX).

On a donc kδXk6|||A⁻¹||||||δA||| kX+δXk. Donc _k_X^k^δX_+δX^k_k 6c(A)^|||_|||^δA_A_|||^|||.

Remarque 2.4 c(A) est donc le facteur minimal d’amplification des erreurs relatives. Dans notre exemple, c_∞(A) = 4455 et c2(A) = 3030.

Proposition 2.4

• Pour toutA ∈GLn(K), c2(A) =

smax{|λ|, λ∈Sp(A^∗A)} min{|λ|, λ∈Sp(A^∗A)}