Stanislas
Exercices
Algèbre linéaire
Chapitre III
2020-2021PSI
I. Familles de vecteurs & Sous-espaces vectoriels
Exercice 1.Pour tout entier naturel nnon nul, on note fn:x7→sin(nx) etgn:x7→cos(nx).
1.Montrer que la famille (fn)n∈N∗ est une famille libre de F(R,R). 2. [Mines]En déduire que la famille (fn, gn)n∈N∗ est libre.
Exercice 2. (-)Montrer que la famille (fα :x7→ |x−a|, a∈R) est une famille libre deF(R,R).
Exercice 3. Soient n > 2 et E1, . . . , En des s.e.v. de E. Montrer que la somme E1 +· · ·+En est directe si et seulement si pour tout i ∈ J1, nK, Ei∩ P
j6=i
Ej
!
={0E}.
II. Applications linéaires
Exercice 4. (♥)
1.Soitf ∈L(E)telle que pour toutx∈E, la famille(x, f(x))soit liée.
Montrer quef est une homothétie.
2.Soitf ∈L(E)telle tout sous-espace vectoriel deE soit stable parf. Déterminerf.
Exercice 5. (-) [ENSAM]SoientEetF deux espaces vectoriels de dimen- sion nie etf, g∈L(E, F). Montrer que|Rg(f)−Rg(g)|6Rg(f+g)6 Rg(f) + Rg(g).
Exercice 6. (-)Soientpetq deux projecteurs d'un espace vectorielE.
1.IdE−p est-il un projecteur ?
2.Montrer quep+qest un projecteur si et seulement sip◦q=q◦p= 0.
3.Montrer que, si p◦q =q◦p, alors p◦q est un projecteur.
Exercice 7. (!) Soient E un espace vectoriel de dimension nie et p1, . . . , pk des projecteurs de E. On suppose que q =
k
P
i=1
pi est un pro- jecteur.
1.Montrer que Rg(q) =
k
P
i=1
Rg(pi) et en déduire que Imq=
k
L
i=1
Impi. 2.En déduire que pour tout couple (i, j)tel que i6=j,pi◦pj = 0L(E). Exercice 8. (!)Soit A∈Mn(R)telle que A2 =In.
1. Montrer qu'il existe deux entiers r et s tels que A soit semblable à Ir 0
0 −Is
.
2. Déterminer l'ensemble des matrices carrées B telles que B2−3B + 2In= 0n.
Exercice 9. (-)Soit p un projecteur de E et f ∈ L(E). Montrer que p◦f =f◦p si et seulement siImp etKerp sont stables parf.
Exercice 10. [Mines] Soit E l'espace des fonctions C∞(R,R) et E1 le sous-espace vectoriel deE engendré par les fonctions sinus et cosinus.
1. On pose ϕ1 : E1 → E1, f 7→ f0. Montrer qu'il existe un endomor- phismeu tel queu◦u=ϕ1.
2.On pose ϕ : E →E, f 7→f0. Existe-t-il un endomorphismev tel que v◦v =ϕ.
Exercice 11. [Mines]SoientE unC-espace vectoriel de dimension nie et uun endomorphisme deE. Donner une condition nécessaire et susante surupour qu'il existe un projecteur p deE vériantu=p◦u−u◦p.
III. Formes linéaires & Hyperplans
Exercice 12. (-)
1. SoientA et B deux matrices carrées d'ordren. Montrer que si, pour toute matriceX∈Mn(K),Tr(AX) = Tr(BX), alors A=B.
2. Montrer que si ϕ est une forme linéaire sur Mn(K) etlle que pour tout (A, B) ∈ Mn(K)2,ϕ(AB) = ϕ(BA), alors il existe λ ∈K tel que ϕ=λTr.
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Exercices III PSI
Exercice 13. (♥) [Mines]Soit ϕune forme linéaire sur Mn(K).
1. Montrer qu'il existe F ∈ Mn(K) telle que pour tout M ∈ Mn(K), ϕ(M) = Tr(M F).
2. On suppose que pour tout M ∈ Mn(C) et pour tout P ∈ G`n(C), ϕ(P−1M P) =ϕ(M). Montrer qu'il existe λ∈Ctel que ϕ=λTr.
Exercice 14.
1.Soit(α0, . . . , αn)∈Rn+1. Pour touti∈J0, nK, on noteϕi l'application qui à tout polynôme P associe le réel P(αi). Montrer que (ϕ0, . . . , ϕn) est une base deL(Rn[X],R)si et seulement si les réels(α0, . . . , αn)sont deux à deux distincts.
2.Soient(α0, . . . , αn) des réels deux à deux distincts etf ∈C([0,1],R). Montrer qu'il existe(a0, . . . , an)∈Rn+1 tel que
∀ P ∈Rn[X], Z 1
0
f(x)P(x)dx=
n
X
i=0
aiP(αi).
Exercice 15.Soit a ∈ K. Pour tout k ∈ J0, nK, on dénit ϕk l'applica- tion linéaire qui à tout polynômeP de degré au plus nassocieP(k)(a). Montrer que(ϕ0, . . . , ϕn) est une base deL(Kn[X],K).
Exercice 16. (!)Soient (a1, . . . , an+1) ∈Rn+1 des réels distincts. Pour touti∈J1, n+ 1K, on dénitPi(X) = (X+ai)n.
1. Soit ϕ une forme linéaire sur Rn[X]. Montrer que si, pour tout i ∈ J1, n+ 1K, ϕ(Pi) = 0, alors ϕest l'application nulle.
2.Montrer que la famille (P1, . . . , Pn+1) est une base deRn[X].
Exercice 17. (Caractérisation des espaces de dimensionn−p,♥)Soit E un espace vectoriel de dimensionn.
1. Si (H1, . . . , Hp) est une famille d'hyperplans de E, montrer que dim
p
T
k=1
Hk>n−p.
2.SiF un sous-espace vectoriel de E de dimension n−p, montrer qu'il existe(H1, . . . , Hp) des hyperplans tels queF =
p
T
k=1
Hk. 3.Illustrer ces résultats en dimensions 2puis 3.
IV. Avec Python
Exercice 18. [Centrale] Pour tout n ∈ N∗ et i ∈ J0, nK, on pose Pi =
n
Q
j=0, j6=i nX−j
i−j .
1.On suppose dans cette question quen= 4. ReprésenterP0, P1, P2, P3
etP4 sur[0,1].
2.Montrer que (Pk)k∈J0,nK est une base deE =Rn[X].
3. Pour tout entier k∈ J0, nK, on notefk la fonction dénie sur E par fk(P) =P nk
.
a)Montrer que(fk)k∈J0,nK est une base deE∗.
b)En déduire qu'il existe des réels α0, . . . , αn tels que pour tout po- lynômeP de Rn[X],
Z 1 0
P(t)dt=
n
X
k=0
αkP k
n
. 4.Calculerα0, α1, α2, α3, α4 avec Python.
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