Algèbre linéaire
1. (59) Soit E l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K(K=RouK=C) de degré inférieur ou égal àn. Soitf l’endomorphisme deE défini par : ∀P ∈E,f(P) =P−P0.
(a) Démontrer quef est bijectif de deux manières : i. sans utiliser de matrice def,
ii. en utilisant une matrice def.
(b) SoitQ∈E.TrouverP tel quef(P) =Q.Indication :siP ∈E, quel est le polynômeP(n+1)? 2. (60) Soit la matriceA=
1 2 2 4
et f l’endomorphisme deM2(R)défini par : f(M) =AM.
(a) Déterminer Kerf . (b)f est-il surjectif ?
(c) Trouver une base de Kerf et une base de Imf.
3. (62) Soit E un espace vectoriel surRouC.
Soient f etg deux endomorphismes deE tels quef◦g=Id.
(a) Démontrer que Ker(g◦f) =Kerf. (b) Démontrer que Im(g◦f) =Img.
(c) Démontrer queE=Kerf ⊕Img.
4. (64) Soit f un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimensionn.
(a) Démontrer que :E=Imf⊕kerf =⇒Imf =Imf2. (b) i. Démontrer que : Imf =Imf2⇐⇒kerf = kerf2. ii. Démontrer que : Imf =Imf2=⇒E=Imf⊕kerf. 5. (87) Soienta0, a1,· · ·, an n+ 1 réels deux à deux distincts.
(a) Montrer que si b0, b1,· · · , bn sont n+ 1 réels quelconques, alors il existe un unique polynôme P vérifiant :degP 6n et ∀i∈ {0,· · · , n} P(ai) =bi.
(b) Soitk∈J0, . . . , nK. Expliciter ce polynômeP, que l’on noteraLk, lorsque :
∀i∈J0, . . . , nK bi=
0 sii6=k 1si i=k (c) Prouver que∀p∈J0, . . . , nK,
n
X
k=0
apkLk=Xp.
6. E est l’espace vectoriel des fonctions définies surRà valeurs dans R. Montrer que les familles suivantes sont libres :
(a)(fn)n∈Z oùfn:x→enx (b)(gi)i∈R+ oùgi:x→cos(ix) (c) (hn)n∈N oùhn:x→(ln(x2+ 1))n.
7. SoitE un espace vectoriel etf ∈L(E)tel que pour toutx∈E, la famille(x, f(x))est liée.
(a) Montrer que six6= 0, alors il existe un unique scalaireλxtel que f(x) =λxx.
(b) Pour (x, y)libre, comparerλx+y avecλx.
(c) Montrer qu’il existe un unique scalaire λtel que∀x∈E, f(x) =λx.
8. Soient pet qdeux projecteurs d’unK-espace vectoriel E.
(a) Montrer quepetq ont même noyau si, et seulement si,p◦q=petq◦p=q.
(b) Montrer quepetqont même image si et seulement si p◦q=qetq◦p=p
9. Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n. Montrer f est un projecteur si et seulement si rgf+rg(id−f) =n.
10. EetFdes espaces vectoriels de dimension finie. Existe-t-il un isomorphisme entreL(E, F)etL(E)×L(F)? 11. SoitE un espace vectoriel etf, g∈E. Montrer quef(ker(g◦f)) = kerg∩Imf.
12. Soientf, g∈ L(E)tels quef ◦g◦f =f etg◦f◦g=g (a) Montrer quekerf et Img sont supplémentaires dansE.
(b) Montrer quef(Img) =Imf 13. Soitf ∈E tel que f3=idE.
(a) Montrer queker(f−id)⊕Im(f−id) =E.
(b) Montrer queker(f−id) =Im(f2+f +id)et Im(f −id) = ker(f2+f+id).
14. SoitE espace vectoriel de dimension finie, et soitf ∈L(E)vérifiant rg(f2) =rg(f) (a) Montrer que Imf2=Imf etkerf2= kerf.
(b) Montrer quekerf⊕Imf =E.
15. Résoudre l’équationX2=AoùA=
1 0 0 2 4 0 4 0 9
(on pourra utiliser le fait, après l’avoir justifié, queA et X commutent)
16. (a) Déterminer les matrices deMn(K)qui commutent avec toutes les matrices deMn(K)? (b) Déterminer les matrices deMn(K)qui commutent avec toutes les matrices de GLn(K).
17. SoitT ∈ Mn(R)une matrice triangulaire supérieure. Déterminer une CNS pour queT ettT commutent.
18. Inverser si possible les matrices suivantes :
A=
a 1 .. .. .. 1 1 a 1 .. 1 1 1 1 a 1 .. 1 ... . .. ...
1 a 1
1 .. .. .. 1 a
B=
1 2 · · · n
0 1 2 ...
... . .. . .. ... ... . .. . .. 2 0 · · · 0 1
19. Soit f ∈ L(E) tel que f2 = 0. Montrer qu’il existe une base B telle que la matrice de f dans B soit 0 Ir
0 0
.
20. (a) Soit A une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer queA est nilpotente (rappel : i.e. ∃p∈ N, Ap= 0)
(b) SoitA∈ Mn(K)une matrice nilpotente d’indicenetϕl’endomorphisme deKn associé (il s’agit du même entiern)
i. NotonsEk = ker(ϕk). Montrer queE16={0}. On notee1un vecteur non nul de E1. ii. Montrer qu’il existeek∈Ek−Ek−1
iii. Montrer que(e1, .., en)constitue une base, et donner la forme de la matrice deϕdans cette base.
iv. Montrer queAest semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle 21. SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E)de rang 1.
Montrer quef2=tr(f).f.
A quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur ? 22. SoientA∈ Mn(K)et B=
On A In On
∈ M2n(K).
(a) Montrer queA est inversible si, et seulement si,B l’est.
(b) CalculerBp pour toutp∈N. 23. SoitA∈ Mn(K)de trace nulle.
(a) Montrer que siA6= 0alorsA est semblable à une matrice dont la première colonne est nulle sauf le terme de la seconde ligne qui vaut 1.
(b) Montrer queAest semblable à une matrice de diagonale nulle.
24. M atrices magiques
SoitP={A∈ Mn(K), A= ((aij)) et∀(k, l)∈[[1, n]]2, Pn
i=1aik=Pn j=1alj}.
Pour A∈ P, on note alorsD(A) =Pn i=1aii. SoitP0={A∈ P, Pn
i=1aii =Pn
i=1ai,n+1−i}.
(a) Montrer queP etP0sont des sous-espaces vectoriels de Mn(K).
(b) PourA= ((aij))∈ Mn(K)etk∈N, on poseLk(A) =Pn
j=1akj etCk(A) =Pn i=1aik.
Montrer queL2−L1, L3−L1, ..., Ln−L1, C1−L1, C2−L1, ..., Cn−1−L1 sont des formes linéaires indépendantes.
Soit H le sous-espace que ces formes linéaires engendrent dans l’espace des formes linéaires de (Mn(K). En déduire la valeur dedimP.
(c) Par une technique analogue, déterminer la valeur dedimP0.
25. Montrer que les matrices suivantes ont même rang, même déterminant, même trace mais ne sont pas semblables :A=
1 1 2 0 2 1 0 0 1
et B=
2 1 1 1 2 0 1 0 0
26. Montrer que les matrices suivantes sont semblables :A=
1 1 0 0 1 1 0 0 1
et D=
2 0 −1 1 0 −1 0 1 1
