Licence Mathématique, Informatique, Mécanique, Physique
Algèbre linéaire – M22
Exercices
M
f=
"
2 1 1
12#
Ker f
Im f
Exo7
L’essentielle des exercices de ce document proviennent du site webexo7.emath.fr
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Janvier 2014
Cité Scientifique - Bâtiment M2, Villeneuve d’Ascq 59655 Cédex +33(0)3 20 43 42 34| mathematiques.univ-lille1.fr
Systèmes linéaires 1 1
Systèmes linéaires
Exercice 1 Résoudre les systèmes suivants
x+ y −z= 0
x− y = 0
x+ 4y +z= 0 ,
x+y + 2z = 5 x−y − z = 1
x + z = 3
,
3x− y + 2z =a
−x+ 2y −3z =b x+ 2y + z =c Exercice 2 Résoudre, suivant les valeurs dem :
(S1)
( x+ (m+ 1)y =m+ 2
mx+ (m+ 4)y = 3 , (S2)
( mx+ (m−1)y =m+ 2 (m+ 1)x− my = 5m+ 3
Exercice 3 En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant :
S :
2x1 + 4x2 − 6x3 − 2x4 = 2 3x1 + 6x2 − 7x3 + 4x4 = 2 5x1 + 10x2 − 11x3 + 6x4 = 3
.
Exercice 4 Soitf l’application de R4 dans lui-même définie par
f(x, y, z, t) = (x+y+ 2z−t, x+ 2y−2z+ 3t,2x+ 3y+ 2t, x−2y+ 3z+t).
Trouver des conditions surb= (b1, b2, b3, b4)pour quef(v) =b ait une solution v= (x, y, z, t).
Déterminants
Exercice 5 Calculer les déterminants suivants.
1 3 2 1 3 3 1 2 1
,
1 1 1 3 3 2 2 3 1
,
5 −3 13 0 −1 −16
0 0 2
,
1 0 0
0
√3 2 −12 0 12
√3 2
,
0 0 1 1 0 0 0 1 0
Pour aller plus loin
Exercice 6 Résoudre le système :
x3y2z6 = 1 x4y5z12 = 2 x2y2z5 = 3.
lorsquex, y, zsont réels strictement positifs.
Exercice 7 Trouver trois réelsα, β, γtels que pour tout polynôme de degré≤3 on ait :
Z 4 2
P(x)dx=αP(2) +βP(3) +γP(4).
Exercice 8
P1 P2
P3 A
B
C On fixeA,B,C trois points du plan complexe,
donnés par leurs affixes zA, zB, zC. Soit P1, P2, P3 d’affixes z1, z2, z3 : traduire sous forme d’un système (d’inconnuesz1,z2,z3) les conditions
A= milieu de[P1P2] B= milieu de[P2P3] C= milieu de[P1P3]
En déduire qu’on peut construire un unique triangle P1P2P3 vérifiant ces conditions.
Exercice 9 Étudier l’existence de solutions du système :
ax + by + z = 1
x + aby + z = b
x + by + az = 1.
Matrices 2 2
Produit de matrices
Exercice 10 Lorsque c’est possible effectuer le produit de deux matrices parmi :
2 1 3 2
! 1 −1
1 1
! 1 2 0 3 1 4
!
a b c
c b a
1 1 1
Exercice 11 On considère les trois matrices suivantes :
A=
2 −3 1 0
5 4 1 3
6 −2 −1 7
B =
7 2
−5 2
3 1
6 0
et C= −1 2 6
3 5 7
!
a) CalculerABpuis(AB)C. Calculer BCpuisA(BC).
b) Que remarque-t-on ?
Exercice 12 On considère les deux matrices suivantes :
A=
2 3 −4 1
5 2 1 0
3 1 −6 7
2 4 0 1
, B=
3 −1 −3 7
4 0 2 1
2 3 0 −5
1 6 6 1
a) CalculerAB.
b) CalculerBA.
c) Que remarque-t-on ? Exercice 13
CalculerM2,M3,M4et M5, oùM =
0 a b c 0 0 d e 0 0 0 f 0 0 0 0
.
Inverse de matrice
Exercice 14 Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices :
a b c d
! ,
1 2 1
1 2 −1
−2 −2 −1
,
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
,
1 2 3 n
0
3 2
0 0 1
,
1 1
0
0 0 1
.
Exercice 15
Résoudre les systèmes linéaires de l’exercice 1 par inversion de matrices.
Exercice 16
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant, en fonction deα, a, betc :
x− y −αz=a x+ 2y+ z =b x+ y − z =c
Exercice 17 Soit A =
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
. Calculer A2 et montrer que A2= 2I−A. En déduire queAest inversible et calculerA−1.
Pour aller plus loin
Exercice 18
Que peut-on dire d’une matriceA∈ M3(R)qui vérifie tr(AAT) = 0 ? Exercice 19 [ Effet des arrondis ]
SoientA=
1 12 13
1 2
1 3
1 4 1 3
1 4
1 5
etB=
1 0.5 0.33 0.5 0.33 0.25 0.33 0.25 0.20
. CalculerA−1 etB−1.
Exercice 20
a) Trouver les matrices qui commutent avecA=
1 0 0 0 1 1 3 1 2
. b) De même avecA= a b
0 a
! .
Espaces vectoriels et
applications linéaires 3 3
Espaces vectoriels
Exercice 21 Montrer que les ensembles ci-dessous sont desR-espaces vecto- riels :
a) E0={(x, y, z)∈R3|x+ 2y−3z= 0};
b) E1=
f : [0,1]→R : l’ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur l’intervalle [0,1], muni de l’addition f +g des fonctions et de la multiplication par un nombre réelλ·f.
c) E2 =
(un) :N→R : l’ensemble des suites réelles muni de l’addition des suites définie par(un) + (vn) = (un+vn)et de la multiplication par un nombre réelλ·(un) = (λ×un).
d) E3=
P ∈R[X]|degP ≤n : l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ànmuni de l’additionP+Qdes polynômes et de la multiplication par un nombre réelλ·P.
Exercice 22 Déterminer siR2, muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas unR-espace vectoriel :
a) (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d);λ(a, b) = (a, λb), λ∈R. b) (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d);λ(a, b) = (λ2a, λ2b), λ∈R.
c) (a, b) + (c, d) = (c, d);λ(a, b) = (λa, λb), λ∈R.
Pour aller plus loin
Exercice 23 SoitR∗+muni de la loi interne⊕définie para⊕b=ab,∀a, b∈R∗+
et de la loi externe ⊗ telle que λ⊗a = aλ,∀a ∈ R∗+,∀λ ∈ R. Montrer que E= (R∗+,⊕,⊗)est unR-espace vectoriel.
Sous-espaces vectoriels
Exercice 24 Déterminer lesquels des ensembles sont des sous-espaces vecto- riels :
a) {(x, y, z)∈R3 |x+ 2y= 0}; b) {(x, y, z)∈R3 |xy= 0};
c) {(x, y, z)∈R3 |x2−z2= 0}; d) {(x, y, z) ∈ R3 | x−y−2z =
x+y+ 2z= 0};
e) {(a+b, a−2b)|a, b∈R}; f) {(x, y, z)∈R3 |exey= 0}; g) {(x, y, z)∈R3 |z(x2+y2) = 0};
h) {(x, y, z, t)∈R4 |y= 0, x=z};
i) {(x, y, z)∈R3 |x= 2}; j) {(x, y)∈R2|x2+xy≥0};
k) {(x, y)∈R2 |x2+xy+y2≥0}; l) {f ∈C(R,R)|f(1) = 0};
m) {f ∈C(R,R)|f(12) = 1}; n) {f ∈C(R,R)|f est croissante}.
Exercice 25 On munitRn des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants deRn, lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?
a) {(x1, ..., xn)∈Rn |x1= 0}
b) {(x1, ..., xn)∈Rn |x1= 1}
c) {(x1, ..., xn)∈Rn |x1=x2}
d) {(x1, ..., xn)∈Rn |
n
P
i=1
xi = 0}
e) {(x1, ..., xn)∈Rn | x1.x2= 0}
Pour aller plus loin
Exercice 26 Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
a) L’ensemble des fonctions réelles sur[0,1], continues, positives ou nulles, pour l’addition et le produit par un réel.
b) L’ensemble des fonctions réelles surRvérifiantlimx→+∞f(x) = 0.
c) L’ensemble des fonctions impaires surR.
d) L’ensemble des fonctions surRqui sont nulle en 1ou nulle en4.
e) L’ensemble des nombres complexes d’argumentπ/4 +kπ,(k∈Z).
f) L’ensemble des points(x, y)deR2, vérifiantsin(x+y) = 0.
g) L’ensemble des vecteurs(x, y, z)deR3orthogonaux au vecteur(−1,3,−2).
h) L’ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré7.
L’ensemble des polynômes de degré exactementn.
Exercice 27
VRAI ou FAUX ?
a) L’ensemble{0}est un espace vectoriel réel.
b) L’ensemble{0,1}est un espace vectoriel réel.
c) Tout sous-espace vectoriel autre que{0}possède un sous-espace strict.
d) L’intersection de deux sous-espaces vectoriels (d’un même espace plus grand) est un espace vectoriel.
e) La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.
f) La somme de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.
g) Le produit cartésien E×F de deux espaces vectoriels est un espace vectoriel.
Applications linéaires
Exercice 28 Déterminer si les applicationsfi suivantes sont linéaires : f1:R2→R2, f1(x, y) = (2x+y, x−y)
f2:R3→R3, f2(x, y, z) = (xy, x, y)
f3:R3→R3, f3(x, y, z) = (2x+y+z, y−z, x+y) f4:R2→R4, f4(x, y) = (y,0, x−7y, x+y)
f5:R3[X]→R3, f5(P) = P(−1), P(0), P(1)
Pour aller plus loin
Exercice 29 Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
a) R→R:x7→4x−3 b) R→R:x7→√
x2
c) C([0,1],R) → C([0,1],R) : f 7→ {t7→ 1+tf(t)2} d) C([0,1],R)→R:f 7→f(3/4)
e) R2→R: (x, y)7→p
3x2+ 5y2 f) R2→R: (x, y)7→xy
g) R2 → R : (x, y) 7→
( y
x+y six+y6= 0 0 sinon
h) R→R3:x7→(2x, x/π, x√ 2)
i) R3→R:M 7→−−→
OM·−→ V, où−→
V = (4,−1,1/2)
j) R2 → R2 : (x, y) 7→ la solu- tion du système d’équations en (u, v) :
( 3u−v = x 6u+ 2v = y.
k) R[X] → Rn[X] : A 7→ quotient de AparB, oùB est polynôme fixe de degrée n+ 1
Image et noyau
Exercice 30 SoitE un espace vectoriel de dimension3,{e1, e2, e3} une base deE, ettun paramètre réel. Démontrer que la donnée de
{φ(e1) =e1+e2, φ(e2) =e1−e2, φ(e3) =e1+te3}
définit une application linéaireφdeE dansE. Écrire le transformé du vecteur x=α1e1+α2e2+α3e3. Comment choisirtpour queφsoit injective ? surjective ?
Exercice 31 Soitf la fonction de R4 dansR4définie par :
f(x, y, z, t) = (x+y+z+t, x+y+z+t, x+y+z+t, 2x+ 2y+ 2z+ 2t). a) Montrer quef est linéaire.
b) Vérifier que les vecteurs~a= (1,−1,0,0),~b= (0,1,−1,0)et~c= (0,0,1,−1) appartiennent àKerf.
c) Vérifier que le vecteurd~= (5,5,5,10)appartient à Imf.
Exercice 32 Pour les applications linéaires suivantes, déterminerKerfi et Imfi. En déduire sifi est injective, surjective, bijective.
f1:R2→R2, f1(x, y) = (2x+y, x−y)
f2:R3→R3, f2(x, y, z) = (2x+y+z, y−z, x+y) f3:R2→R4, f3(x, y) = (y,0, x−7y, x+y)
f4:R3[X]→R3, f4(P) = P(−1), P(0), P(1)
Exercice 33 Donner des exemples d’applications linéaires de R2 dans R2 vérifiant :
a) Ker(f) = Im(f).
b) Ker(f)inclus strictement dansIm(f).
c) Im(f)inclus strictement dansKer(f).
Exercice 34 Soient f : E → F et g : F → Gdeux applications linéaires.
Montrer queKer(f)⊂Ker(g◦f)etIm(g◦f)⊂Im(f).
Exercice 35 Soientf et gdeux endomorphismes de E tels quef ◦g=g◦f. Montrer queKerf etImf sont stables parg.
Pour aller plus loin
Exercice 36 Soitf ∈ L(E)telle que f3=f2+f.
Montrer queE= Ker(f)⊕Im(f)(on remarquera quef ◦(f2−f−Id) = 0).
Exercice 37 Soitf ∈L(E)où Eest unK−espace vectoriel. On suppose que
∀x∈E ∃λ∈K f(x) =λx. Montrer que∃µ∈K f =µId.
Dimension finie 4 4
Familles libres
Exercice 38 Les familles suivantes sont-elles libres ? a) v1= (1,0,1),v2= (0,2,2), v3= (3,7,1) dansR3. b) v1= (1,0,0),v2= (0,1,1), v3= (1,1,1) dansR3.
c) v1 = (2,4,3,−1,−2,1), v2 = (1,1,2,1,3,1), v3 = (0,−1,0,3,6,2) dansR6.
d) v1 = (2,1,3,−1,4,−1), v2 = (−1,1,−2,2,−3,3), v3 = (1,5,0,4,−1,7) dansR6.
Exercice 39 On considère dans Rn une famille libre de 4 vecteurs : (e1, e2, e3, e4). Les familles suivantes sont-elles libres ?
a) (e1, e3)
b) (e1,2e1+e4, e4)
c) (3e1+e3, e3, e2+e3)
d) (2e1+e2, e1−3e2, e4, e2−e1)
Exercice 40 On suppose quev1, v2, v3, . . . , vn sont des vecteurs indépendants deRn.
a) Les vecteurs v1−v2, v2−v3, v3−v4, . . . , vn −v1 sont-ils linéairement indépendants ?
b) Les vecteurs v1+v2, v2+v3, v3+v4, . . . , vn+v1 sont-ils linéairement indépendants ?
c) Les vecteursv1, v1+v2, v1+v2+v3, v1+v2+v3+v4, . . . , v1+v2+· · ·+vn sont-ils linéairement indépendants ?
Famille génératrice
Exercice 41 Les familles suivantes sont-elles génératrices ? a) (1,1),(3,1)dansR2.
b) (1,0,2),(1,2,1)dansR3.
Exercice 42 Soient les vecteurs v1 = (1,2,3,4), v2 = (1,−2,3,−4) de R4. Peut-on déterminer x et y pour que (x,1, y,1) ∈ Vect{v1, v2} ? pour que (x,1,1, y)∈Vect{v1, v2} ?
Exercice 43 Prouver que dans R3, les vecteurs u1 = (2,3,−1) et u2 = (1,−1,−2) engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs v1 = (3,7,0)et v2= (5,0,−7).
Base
Exercice 44
a) Montrer que les vecteurs v1 = (0,1,1), v2 = (1,0,1) et v3 = (1,1,0) forment une base deR3. Trouver les composantes du vecteur w= (1,1,1) dans cette base(v1, v2, v3).
b) Montrer que les vecteurs v1= (1,1,1),v2 = (−1,1,0)etv3= (1,0,−1) forment une base deR3. Trouver les composantes du vecteure1= (1,0,0), e2= (0,1,0),e3= (0,0,1)etw= (1,2,−3)dans cette base(v1, v2, v3).
c) DansR3, donner un exemple de famille libre qui n’est pas génératrice.
d) DansR3, donner un exemple de famille génératrice qui n’est pas libre.
Exercice 45 Dans R3, les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent.
a) v1= (1,1,1), v2= (3,0,−1), v3= (−1,1,−1).
b) v1= (1,2,3), v2= (3,0,−1), v3= (1,8,13).
c) v1= (1,2,−3), v2= (1,0,−1), v3= (1,10,−11).
Exercice 46 Montrer que dans R3, les trois vecteurs ~a = (1,0,1), ~b = (−1,−1,2)et~c= (−2,1,−2)forment une base, et calculer les coordonnées dans
cette base d’un vecteur~x= (x, y, z).
Exercice 47 Soient v~1(1,2,3,4), ~v2(2,2,2,6), v~3(0,2,4,4), v~4(1,0,−1,2),
~
v5(2,3,0,1) des vecteurs dans R4. Soient F = Vect{v~1, ~v2, ~v3} et G = Vect{v~4, ~v5}. Déterminer une base des sous-espaces F∩G, F, GetF+G.
Exercice 48 Déterminer une base deP =
(x, y, z)∈R3 |x+y+z= 0 . Exercice 49 Déterminer une base de
D=
(x, y, z)∈R3 |x+y= 0, x−y+z= 0 .
Pour aller plus loin
Exercice 50 On considère dans R3, P = Vect{(1,1,1),(1,1,−1)} et D = Vect{(0,1,−1)}. Montrer que R3=P⊕D.
Exercice 51 Dans l’espaceR5[X]des polynômes de degré≤5, on définit les sous-ensembles :
E1 = {P ∈R5[X]|P(0) = 0}
E2 = {P ∈R5[X]|P0(1) = 0}
E3 = {P ∈R5[X]|x2+ 1diviseP}
E4 = {P ∈R5[X]|x7→P(x)est une fonction paire}
E5 = {P ∈R5[X]| ∀x, P(x) =xP0(x)}
a) Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels E1, E2, E3, E4, E5, E1∩E2,E1∩E3,E1∩E2∩E3,E1∩E2∩E3∩E4.
b) Déterminer dans R5[X] des sous-espaces supplémentaires de E4 et de E1∩E3.
Dimension
Exercice 52
a) Décrire les sous-espaces vectoriels deR ; puis deR2 etR3.
b) DansR3donner un exemple de deux sous-espaces dont l’union n’est pas un sous-espace vectoriel.
Exercice 53 Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes :
a) Deux droites vectorielles de R3 sont-elles supplémentaires ? b) Deux plans vectoriels deR3sont-ils supplémentaires ?
c) A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle deR3sont-ils supplémentaires ?
Exercice 54
Compléter la famille{(1,−3,2,0),(0,1,−2,1)} en une base deR4. Exercice 55 On considère, dansR4, les vecteurs :v1= (1,2,3,4), v2= (1,1,1,3), v3= (2,1,1,1), v4= (−1,0,−1,2), v5= (2,3,0,1).
SoitF l’espace vectoriel engendré par{v1, v2, v3}et soit Gcelui engendré par{v4, v5}. Calculer les dimensions respectives deF,G,F∩G,F+G.
Exercice 56 Soient v1 = (0,1,−2,1), v2 = (1,0,2,−1), v3 = (3,2,2,−1), v4= (0,0,1,0)etv5= (0,0,0,1)des vecteurs deR4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
a) Vect{v1, v2, v3}=Vect{(1,1,0,0),(−1,1,−4,2)}.
b) (1,1,0,0)∈Vect{v1, v2} ∩Vect{v2, v3, v4}.
c) dim(Vect{v1, v2} ∩Vect{v2, v3, v4}) = 1(c’est-à-dire c’est une droite vec- torielle).
d) Vect{v1, v2}+Vect{v2, v3, v4}=R4.
e) Vect{v4, v5}est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{v1, v2, v3} dansR4.
Pour aller plus loin
Exercice 57 SoientE=
(x, y, z, t)∈R4|x+y+z+t= 0 et F=
(x, y, z, t)∈R4 |x+y =z+t .
DéterminerdimE,dimF,dim(E+F),dim(E∩F).
Exercice 58 SoitEun espace vectoriel de dimension 3etf ∈ L(E)telle que f26= 0 etf3= 0. Soitx0∈E tel que f2(x0)6= 0.
a) Montrer que(x0, f(x0), f2(x0))est une base.
b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est un sous-espace vectoriel deL(E)de base(id, f, f2).
Exercice 59 Soientu= (1,1, ...,1)etF =Vect(u)puis G={(x1, ..., xn)∈ Rn | x1+...+xn= 0}. Montrer queGest un sous-espace vectoriel deRn et queRn=F⊕G.
Matrices et
applications linéaires 5 5
Rang d’une famille de vecteurs Rang d’une matrice
Exercice 60 Déterminer suivant la valeur dex∈Rle rang de la famille de vecteurse1= (1, x,−1), e2= (x,1, x), e3= (−1, x,1).
Exercice 61 SoitE le sous ensemble deM3(R)défini par
E=n
M(a, b, c) =
a 0 c
0 b 0
c 0 a
a, b, c∈R o
.
a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3(R) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim(E).
b) Soit M(a, b, c) un élément de E. Déterminer, suivant les valeurs des paramètres a, betc ∈ R son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l’inverseM(a, b, c)−1 deM(a, b, c).
c) Donner une base deE formée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de rang1.
Pour aller plus loin
Exercice 62
Discuter suivant les valeurs deλ∈Rle rang de la matrice
1 12 13
1 2
1 3
1 4 1 3
1
4 λ
.
Théorème du rang
Exercice 63 SoitE un espace vectoriel et soientE1et E2deux sous-espaces vectoriels de dimension finie deE, on définit l’applicationf:E1×E2→E par f(x1, x2) =x1+x2.
a) Montrer quef est linéaire.
b) Déterminer le noyau et l’image de f. c) Que donne le théorème du rang ? Exercice 64
a) Soit f une application linéaire surjective de R4 dansR2. Quelle est la dimension du noyau def ?
b) Soitgune application injective deR26dans R100. Quelle est la dimension de l’image deg ?
c) Existe-t-il une application linéaire bijective entreR50 etR72 ?
Exercice 65 Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire
f : (
R3 −→ R5
(x, y, z) 7−→ (x+y, x+y+z, 2x+y+z, 2x+ 2y+z, y+z) Quel est le rang def ?
Pour aller plus loin
Exercice 66
a) Vérifier qu’il existe une unique application linéaire deR3dansR2vérifiant f((1,0,0)) = (1,1) puis f((0,1,0)) = (0,1) et f((0,0,1)) = (−1,1).
Calculerf((3,−1,4))et f((x, y, z))en général.
b) Déterminer Kerf. En fournir une base. Donner un supplémentaire de Kerf dansR3et vérifier qu’il est isomorphe à Imf.
Exercice 67 SoitE=R[X]leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
a) Soit f :
( E → E P 7→ P0 .
(i) L’applicationf est-elle linéaire, injective, surjective ? (ii) Fournir un supplémentaire de Kerf.
b) Les mêmes questions pourg :
( E → E P 7→ Rx
0 P(t)dt .
Exercice 68 Soit g :R→Rune fonction, et des réelsa0 < a1<· · · < an. Montrer qu’il existe un unique polynômeP (appelépolynôme interpolateur de Lagrange) de degré inférieur ou égal àntel que
∀i= 0, . . . , n, P(ai) =g(ai)
Matrice d’une application linéaire
Exercice 69 Soient trois vecteurse1, e2, e3formant une base deR3. On noteφ l’application linéaire définie parφ(e1) =e3,φ(e2) =−e1+e2+e3 etφ(e3) =e3.
a) Écrire la matriceA deφdans la base(e1, e2, e3). Déterminer le noyau de cette application.
b) On posef1=e1−e3,f2=e1−e2,f3=−e1+e2+e3. Calculere1, e2, e3
en fonction def1, f2, f3. Les vecteursf1, f2, f3 forment-ils une base deR3
?
c) Calculerφ(f1), φ(f2), φ(f3)en fonction def1, f2, f3. Écrire la matriceB deφdans la base(f1, f2, f3)et trouver la nature de l’application φ.
d) On poseP =
1 1 −1
0 −1 1
−1 0 1
. Vérifier queP est inversible et calculer P−1. Quelle relation lieA,B, P et P−1 ?
Exercice 70 Soit hl’homomorphisme de R3 dansR2 défini par rapport à deux bases(e1, e2, e3)et(f1, f2)par la matrice A= 2 −1 1
3 2 −3
! . a) On prend dansR3 la nouvelle base :
e01=e2+e3, e02=e3+e1, e03=e1+e2. Quelle est la nouvelle matriceA1deh ?
b) On choisit pour base deR2 les vecteurs : f10 =1
2(f1+f2), f20 = 1
2(f1−f2)
en conservant la base(e01, e02, e03)deR3. Quelle est la nouvelle matriceA2
deh ?
Exercice 71 Soit f ∈ L(R3) de matrice
3 −1 1
0 2 0
1 −1 3
dans la base canonique. Déterminer la matrice def dans la base(1,0,−1),(0,1,1),(1,0,1).
Exercice 72
a) Écrire la matrice de la rotation du plan d’angle π4 centrée à l’origine.
Idem dans l’espace avec la rotation d’angle π4 d’axe(Ox).
b) Écrire la matrice de la réflexion du plan par rapport à la droite(y=−x).
Idem dans l’espace avec la réflexion par rapport au plan d’équation (y=−x).
c) Soit f la réflexion du plan par rapport à l’axe (Ox) et soit g la rota- tion d’angle 2π3 centrée à l’origine. Calculer la matrice def ◦g de deux façons différentes (produit de matrices et image de la base canonique).
Cette matrice est-elle inversible ? Si oui, calculer l’inverse. Interprétation géométrique. Même question avecg◦f.
d) Soit f la projection orthogonale de l’espace sur le plan (Oxz) et soitg la rotation d’angle π2 d’axe (Oy). Calculer la matrice de f ◦g de deux façons différentes (produit de matrices et image de la base canonique).
Cette matrice est-elle inversible ? Si oui, calculer l’inverse. Interprétation géométrique. Même question avecg◦f.
Exercice 73 Soit
A=
0 0 1
0 0
1 0 0
n
n
En utilisant l’application linéaire associée deL(Rn,Rn), calculerAp pourp∈Z.
Exercices de synthèse
Exercice 74 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal àn.
a) Justifier que(1, X, . . . , Xn)est une base deE (appelée base canonique).
b) En utilisant la formule du binôme de Newton, décomposer (1 +X)k dans la base canonique deE, et écrire la matriceM donnant l’expression des (1 +X)k (k= 0, . . . , n) dans cette base.
c) Quel est le rang de M? Que peut-on en déduire sur la famille {(1 + X)k |k= 0, . . . , n}?
Exercice 75 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et u, v deux endomorphismes deE.
a) Montrer queu◦v= 0si et seulement si l’image dev est contenue dans le noyau deu.
b) Soit(e1, . . . , en)une base deE. On suppose dans cette question queuet v s’expriment dans cette base par
u(e1) =e1, u(ei) = 0 si i6= 1, v(e2) =e2, v(ei) = 0 si i6= 2.
Trouver les matrices deu, vet u◦v dans cette base.
c) Siuest un endomorphisme quelconque non nul de E, quelle condition doit vérifier le noyau deupour qu’il existe un endomorphisme non nulv tel queu◦v= 0? Dans ce cas,uest-il bijectif ?
Exercice 76 SoitE un espace àndimensions et f un endomorphisme deE.
a) Montrer que la conditionf2= 0 est équivalente à Imf ⊂Kerf. Quelle condition vérifie alors le rang def ? On suppose dans le reste de l’exercice quef2= 0.
b) Soit E1 un supplémentaire de Kerf dansE et soit {e1, e2, . . . , er} une base deE1. Montrer que la famille des vecteurs
{e1, e2, . . . , er, f(e1), f(e2), . . . , f(er)}
est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs deKerf de façon à obtenir une base deE. Quelle est la matrice def dans cette base ?
c) Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on Imf = Kerf ? d) Exemple : Soitf l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base
canonique est M(f) =
1 0 1
2 0 2
−1 0 −1
. Montrer quef2 = 0. Déter- miner une nouvelle base dans laquelle la matrice def a la forme indiquée dans la question b).
Exercice 77 Soitf ∈ L(R3)telle quef3=−f et f 6= 0.
a) Montrer que Ker(f)∩Ker(f2+I) ={0},Ker(f)6={0} et Ker(f2+I)6=
{0}.
b) Soitxun élément distinct de0de Ker(f2+I).Montrer qu’il n’existe pas α∈Rtel quef(x) =αx.En déduire que {x, f(x)} est libre.
c) Calculer dim(Ker(f))et dim(Ker(f2+I)).
d) Déterminer une baseεdeR3telle que : Mat(f, ε) =
0 0 0
0 0 −1
0 1 0
.
Exercice 78 Soit(e1, e2, e3)une base de l’espaceE à trois dimensions sur un corpsK.IE désigne l’application identique de E. On considère l’application linéairef deE dansEtelle que :
f(e1) = 2e2+ 3e3, f(e2) = 2e1−5e2−8e3, f(e3) =−e1+ 4e2+ 6e3. a) Étudier le sous-espaceKer(f−IE) : dimension, base.
b) Étudier le sous-espaceKer(f2+IE) : dimension, base.
c) Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de E.
Quelle est la matrice def dans cette nouvelle base ? et celle def2 ?
Pour aller plus loin
Exercice 79 SoientA, Bdeux matrices semblables (i.e. il existe P inversible telle queB =P−1AP). Montrer que si l’une est inversible, l’autre aussi ; que si l’une est idempotente, l’autre aussi ; que si l’une est nilpotente, l’autre aussi ; que siA=λI, alorsA=B.
Exercice 80 Soient(xn)n∈Net(yn)n∈Ndeux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante :
( xn+1 = −9xn −18yn
yn+1 = 6xn +12yn
avec x0 =−137et y0 = 18. On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites.
a) Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M2(R) telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit équivalente à la relationUn+1=AUn, oùUn= xn
yn
! .
b) Trouver une expression deUn en fonction deAet de U0.
c) Trouver le noyau deA, et en donner une baseB1. Calculer le rang deA.
d) Montrer que l’ensemble des vecteursX ∈R2 tels que AX= 3X est un sous-espace vectoriel deR2. Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu’on noteraB2.
e) Montrer que la réunion B1∪B2 forme une base B de R2. Soit P la matrice formée des composantes des vecteurs deB relativement à la base canonique deR2. Montrer queP est inversible, et que le produitP−1AP est une matrice diagonaleD qu’on calculera.
f) Montrer queAn=P DnP−1. Calculer Dn, et en déduireAn, pour tout n∈N.
g) Donner les termes générauxxn etyn.
