Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Juin 2010 L1 Math-Info
Examen d’alg`ebre (Semestre 2, Session 2).
Dur´ee 3 H.
Questions de cours
SoitE un IK espace vectoriel de dimension net soitf un endomorphisme de E.
1. Donner les d´efinitions de: Noyau def not´e ker(f) et de image de f not´eeIm(f).
2. Quelle est la relation qui lie les dimensions deker(f) et de Im(f)?
3. Compl´eter: f bijective⇐⇒ ker(f) =...
4. Compl´eter: f bijective⇐⇒ Im(f) =....
5. Soientf etg deux endomorphismes deE et soitB une base deE. Si A est la matrice de f dansB et siGest la matrice deg dansB, quelle est la matrice deg◦f dans la baseB.
Exercice I
Soit E = IR2[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, `a coefficients dans IR. Soit B = {1, X, X2} la base canonique de E et soitf l’endomorphisme de E d´efini parf(P) =Qavec
Q(X) =XP′(X)−(1/2)P(X).
1. Quelle est la dimension deE?
2. SoitP le polynˆome d´efini par P(X) =X2−3X, donner f(P).
3. Donner la matrice def dans la base B.
4. Donner ker(f) et Im(f).
5. f est-elle bijective?
Exercice II
Soit E = M3( IR) l’espace vectoriel des matrices carr´ees 3×3 coefficients r´eels et soit F le sous-ensemble deE d´efini par
F ={M =
a 0 c 0 b 0 c 0 a
, a, b, c ∈ IR}.
1. Quelle est la dimension deE?
2. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deE.
3. Donner une base deF. Quelle est la dimension deF?
1
Exercice III
On consid`ere l’espace vectoriel E = IR3 muni des bases B = {e1, e2, e3} avec e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) et B′ = {u, v, w} avec u =e1−e3; v =−e2; w = e1 +e3. Soit f l’endomorphisme deE dont la matrice dans la base B est donn´ee par :
A=mat(f;B) =
1 0 2 0 −1 0
2 0 1
.
1. Soitx=e1+ 2e2−e3. Donner f(x).
2. Calculer le d´eterminant deA. La matrice Aest-elle inversible?
3. Calculerf(u),f(v) et f(w).
4. En d´eduire la matrice D=mat(f;B′).
5. Donner la matrice de passageP de la base B vers B′. 6. Calculer son inverse P−1.
7. V´erifier que A=P DP−1
8. CalculerA2. En d´eduireAn pourn∈ IN.
Exercice IV SoitA la matrice:
A=
−1 1 1 1 −1 1
1 1 −1
.
1. Calculer le d´eterminant deA. En d´eduire queA est inversible.
2. V´erifier que A2 = 2I−A, o`uI est la matrice identit´e.
3. En d´eduire l’inverse A−1 (en fonction deA).
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