II ) D´ efinition de la matrice f (A)

Devoir surveill´e n˚5 : concours blanc

MP Clemenceau 2020-21 Vendredi 11 d´ ecembre 2020

Vous avez 3 heures dans la joie et la bonne humeur mais en silence ! ! Sujet unique : un type CCINP raccourci

Il sera tenu compte de la pr´esentation et de la rigueur des d´emonstrations. Toute copie non r´edig´ee ne sera pas corrig´ee. Il est demand´e aux ´etudiants de mettre leurs nom et pr´enom sur chaque copie (double de pr´ef´erence) et de

num´eroter ces dites copies.

Les calculatrices sont interdites.

Lorsqu’un raisonnement utilise le r´esultat d’une question pr´ec´edente, il est demand´e au candidat d’indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee.

F F F

1

Fonctions de matrices

Notations :

1) Les IR-alg`ebres suivantes sont consid´er´ees au cours de ce texte : I L’alg`ebre Mn(IR) des matrices carr´ees r´eelles d’ordren.

I SiIest un intervalle de IR, d’int´erieur non vide, on noteC_I^∞l’alg`ebre commutative des fonctions de classeC^∞ deI dans IR.

I L’alg`ebre des fonctions polynomiales deIdans IR est usuellement identifi´ee `a l’alg`ebre IR[X].

2) On y rencontre aussi les IR-espaces vectoriels suivants : I L’espace des colonnes r´eelles `a nlignes not´eMn,1(IR).

I L’espace IR_N[X] ={P ∈IR[X]|degP6N}, o`uN ∈IN.

3) Les notions de convergence dansMn,1(IR) etMn(IR) sont relatives aux normes respectives : I kXk_∞= max

16k6n|x_k|, siX =^t[x₁, . . ., x_n].

I kMk=n max

16i,j6n|m_i,j|, siM = [m_i,j]₁₆i6n

16j6n

.

Objectifs du probl`eme

Lorsque P ∈ IR[X] et A ∈ Mn(IR), on sait donner un sens `a la matrice P(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surA qui en r´esulte. En particulier, siM est une matrice deMn(IR), on appellepolynˆome minimalde M le polynˆome unitaire P de plus bas degr´e tel que P(M) = 0 ; il est imm´ediat (et on l’admettra) qu’il s’agit du polynˆome minimal de l’endomorphismeude IRⁿ dont M est la matrice dans la base canonique de IRⁿ.

Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens `a la matrice f(A) pour toute fonction f de classeC<sup>∞</sup>, et cela moyennant des hypoth`eses convenables sur la matriceA.

Autrement dit, on apprend `a maˆıtriser un certain calcul fonctionnel surA.

Dans un second temps, on exploite ces r´esultats pour r´esoudre un syst`eme diff´erentiel lin´eaire.

Notations fix´ees pour tout le probl`eme :

I On consid`ere une matriceAdeMn(IR) et l’onsuppose que son polynˆome minimal Π_A peut ˆetre ´ecrit sous la forme : Π_A(X) = (X−λ₁)^m1. . .(X−λ_r)^mr avec :r>1 ; lesλ_j sont desr´eelsdistincts ; lesm_j sont dans IN^∗. On note alorsm= X

16j6r

mj le degr´e de ΠA.

I On consid`ere aussi un intervalleI de IR, d’int´erieur non vide et contenant tous lesλ_j.

La matriceAet l’intervalleIsont particularis´es dans les divers exemples trait´es au cours du probl`eme.

Pr´eliminaires :

1) Etablir que pour´ X dansMn,1(IR) etM dansMn(IR), on a : kM Xk_∞ 6kMk kXk_∞.

2) SoitMun sous-espace vectoriel de dimensiond>1 deMn(IR), et soitβ= (B1, . . ., Bd) une base deM.

a) Montrer que l’on d´efinit une normeN surMen posantN(M) = max

16k6d|xk|, si

M = X

16k6d

x_kB_k est la d´ecomposition de l’´el´ementM deMsur la baseβ.

b) Justifier l’existence de constantes r´eelles strictement positivesaet bv´erifiant :

∀M ∈ M, akMk6N(M)6bkMk.

c) Soit (Mp)_p∈IN une suite d’´el´ements de M; on note Mp = X

16k6d

xp(k)Bk la d´ecomposition de Mp sur β.

Montrer que la suite (M_p)_p∈IN converge vers 0 dans (M_n(IR),k·k) si et seulement sichaque suite r´eelle (x_p(k))_p∈IN (k∈[[1, d]]) converge vers 0.

2

I) Une relation d’´ equivalence sur C

On convient de dire que des fonctions f et g deC_I^∞ co¨ıncident sur le spectre deAlorsque :

∀j ∈[[1, r]],∀k∈[[0, m_j−1]], f^(k)(λ_j) =g^(k)(λ_j). Ce que l’on r´esume par la notationf=

Ag.

Un exemple : si ΠA(X) =X²(X+ 1) la notationf=

Agsignifie :f(0) =g(0),f⁰(0) =g⁰(0) etf(−1) =g(−1) 3) Soient`dans IN<sup>∗</sup>,λdansI etf dansC<sub>I</sub><sup>∞</sup>v´erifiant :f<sup>(k)</sup>(λ) = 0 pourk∈[[0, `−1]].

a) Etablir l’identit´´ e :∀x∈I, f(x) = Z x

λ

(x−u)^`−1

(`−1)! f<sup>(`)</sup>(u) du.

b) En d´eduire `a l’aide d’un changement de variable, l’existence d’une fonction hv´erifiant les deux conditions suivantes :

(1) ∀x∈I, f(x) = (x−λ)^`h(x) (2) h∈C_I^∞

4) Soientf etg dansC_I^∞.

a) On suppose : ∃h∈C_I^∞, f =g+hΠA.

En consid´erant les d´eriv´ees successives def−g, ´etablir quef=

Ag.

b) On suppose f=

Ag; en exploitant la question3)justifier l’existence dehdansC_I^∞v´erifiant : f =g+hΠA.

5) SoientP et Qdans IR[X] ; prouver que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (1) P=

AQ

(2) ∃H ∈IR[X], P =Q+HΠA.

II ) D´ efinition de la matrice f (A)

A.On consid`ere l’applicationϕde IRm−1[X] vers IR<sup>m</sup>qui associe `a un polynˆomeP lem-uplet : ϕ(P) =

P^(k1)(λ1)

06k₁6m₁−1, . . ., P^(kr)(λr)

06k_r6m_r−1

. 6) Etablir le caract`´ ere bijectif deϕ.

7) Soitf dansC_I^∞; justifier l’existence d’un et d’un seul polynˆomePf de IR[X] , de degr´e inf´erieur ou ´egal `a (m−1) et tel que :f=

APf. On convient alors de d´efinirla matricef(A) en posant :f(A) =Pf(A).

B. Quelques exemples

8) On suppose ici quef est polynomiale et l’on ´ecrit :∀x∈I, f(x) =

N

X

k=0

a_kx^k.

En effectuant une division euclidienne, montrer qu’avec la d´efinition de la question 7), on obtient le r´esultat naturel :f(A) =

N

X

k=0

a_kA^k.

9) Ici: A=

5 −4 4 −3

∈M2(IR) et I= IR.

a) Calculer ΠA(X).

b) Calculer la matricef(A) dans chacun des cas suivants : (1) f(x) =ax+b, les r´eelsaetb´etant donn´es.

(2) f(x) = sin (πx)

(3) f(x) = (x−1)²g(x), o`u la fonctiong est donn´ee dansC_I^∞.

III - Le calcul syst´ ematique de f (A)

A. Une formule g´en´erale

10) En exploitant l’isomorphisme lin´eaireϕduII.A, justifier l’existence et l’unicit´e de polynˆomesQj,k(16j6r,06k6mj−1) v´erifiant :

pourtoutefonctionf deC_I^∞, on a : Pf=

r

X

j=1 mj−1

X

k=0

f^(k)(λj)Qj,k

On consid`ere alors les matrices ditesassoci´ees`aA : Z_j,k=Q_j,k(A) (16j6r,06k6m_j−1).

3

11) Montrer que les diverses matricesZj,k sont lin´eairement ind´ependantes et que :

∀f ∈C_I^∞, f(A) =

r

X

j=1 m_j−1

X

k=0

f^(k)(λ_j)Z_j,k. B. Deux exemples

12) Ici:A=

5 −4 4 −3

etI= IR^∗₊.

a) Justifier l’existence de matrices Z1 etZ2 deM2(IR) telles que :

∀f ∈C_I^∞, f(A) =f(1)Z1+f⁰(1)Z2. b) En d´eduirele calcul deZ1et Z2.

c) Calculer les matricesA²⁰²⁰,√

A et plus g´en´eralementA^αpour αdans IR^∗₊. 13) Ici:A=





1 −1 1 2 −2 1 1 −1 0



∈M3(IR) et I= IR.

a) Pr´esenter sous forme factoris´ee le polynˆome Π_A(X). La matriceA est-elle diagonalisable dansM3(IR) ? b) Calculer les matricesZ_j,k associ´ees`a A.

IV ) Un calcul fonctionnel sur la matrice A

A. Quelques identit´es bien naturelles 14) Soientf etg dansC_I^∞ et αdans IR.

a) Que valentP_αf etP_f+g?

b) Justifier l’existence d’un polynˆomeH de IR[X] tel que :P_{f g}=P_fP_g+HΠ_A.

15) a) Montrer que l’applicationS:f 7→f(A) deC_I^∞ dansMn(IR) est un morphisme de IR-alg`ebres.

b) Quel est son noyau ?

16) On consid`ere les fonctions cosinus et sinus de IR dans IR, puis les fonctionsf1:x7→√

xetf2:x7→ 1

x de IR^∗₊dans IR. On peut ainsid´efinirles matrices cosA, sinA, et mˆeme√

Aet 1

A si lesλj sont dans IR^∗₊. a) En exploitant le morphisme S, calculer (cosA)²+ (sinA)².

b) On suppose ici que lesλj sont strictement positifs. Reconnaˆıtre :√ A²

et 1 A. B. Le spectre de f(A)

17) Montrer que l’ensemble not´eMA ={f(A)|f ∈C_I^∞} est une sous-alg`ebre commutativede Mn(IR) et pr´eciser sa dimension.

18) Montrer que si un ´el´ement deMA est inversible dansMn(IR) alors son inverse est aussi dansMA. 19) Soitf dansC_I^∞; ´etablir l’´equivalence des ´enonc´es suivants :

(1) f(A) est inversible dansMn(IR).

(2) ∀j∈ {1, . . ., r}, f(λj)6=0

20) SiM est une matrice deMn(IR), on note ΛM l’ensemble de ses valeurs propresr´eelles. En exploitant la question19comparer les ensembles : ΛA et Λ_f(A) o`uf est donn´ee dansC_I^∞ .

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