Devoir surveill´e n˚2
MP Clemenceau 2020-21 Vendredi 2 octobre 2020
Vous avez 2 heures dans la joie et la bonne humeur mais en silence ! !
Le devoir comporte 2 petits probl`emes.
Vous devez traiter les deux probl`emes.
N’accordez qu’une heure pour chaque probl` eme.
Il sera tenu compte de la pr´esentation et de la rigueur des d´emonstrations. Toute copie non r´edig´ee ne sera pas corrig´ee. Il est demand´e aux ´etudiants de mettre leurs nom et pr´enom sur chaque copie (double de pr´ef´erence)
et de num´eroter ces dites copies.
Lorsqu’un raisonnement utilise le r´esultat d’une question pr´ec´edente, il est demand´e au candidat d’indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee.
F F F
1
Probl` eme I : alg` ebre
On d´esigne parE l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 2 de la forme a c
0 b
,o`ua, b, csont des nombres r´eels.
I) Etude de structures
1) a) D´emontrer queE,muni de l’addition des matrices et de leur produit par un scalaire r´eel, est un espace vectoriel r´eel.
b) Trouver une base et la dimension deE.
2) a) D´emontrer queE est stable pour la multiplication des matrices.
b) En d´eduire que,E muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau.
c) Cet anneau est-il commutatif ?
3) On d´esigne parGl’ensemble des matrices deE telles quea >0 etb >0.
D´emontrer que Gest un groupe multiplicatif.
II) Puissance d’une matrice et suites
SoitA= a c
0 b
∈E.
4) a) On supposea6=b.D´emontrer que ∀p∈N×, Ap=
ap cap−bp a−b
0 bp
.
b) On suppose quea=b.CalculerAp pourp∈N×; on exprimera les coefficients en fonction deaetc.
5) Pour toutn∈N×,on poseBn=
n
X
p=0
1 p!Ap=
αn γn
0 βn
,en convenant queA0=I= 1 0
0 1
et, pour tout xr´eel,
ϕn(x) = 1 + x 1!+x2
2! +· · ·+xn n! =
n
X
k=0
xk k!
a) Rappeler l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange avec ses hypoth`eses.
b) D´emontrer que, pourxfix´e, la suite de terme g´en´eral ϕn(x) converge et que sa limite estex. c) On supposea6=b.
Calculerαn, βn etγn en fonction dea, b, c, ϕn(a) etϕn(b).
D´emontrer que les suites (αn)n,(βn)n,et (γn)n ont des limites respectivesα, β, γ que l’on calculera.
6) Pour toutA = a c
0 b
∈E, on poseA0 = α γ
0 β
, o`u α, β et γ ont ´et´e d´efinis `a la question II.2, et on notef l’application deE dansE d´efinie parf(A) =A0.
a) L’applicationf est-elle lin´eaire ? b) L’applicationf est-elle injective ?
c) L’applicationf est-elle surjective ? d) D´eterminer l’image deE parf.
7) On suppose maintenant que 0< a <ln 2 et 0< b <ln 2.
On pose, pourA∈E,
n
X
p=1
(−1)p−1
p (f(A)−I)p=
an cn
0 bn
et ψn(x) =
n
X
k=1
(−1)k−1 k xk. a) Calculeran, bn et cn lorsquea6=b,puis lorsquea=b.
On admet que la suite de terme g´en´eralψn(x), xfix´e, converge vers ln(1 +x).
b) Dans chacun des deux cas pr´ec´edents, d´emontrer que les suites (an)n,(bn)n et (cn)n ont respectivement pour limitesa, b etc.
2
Probl` eme II : analyse
Pour tout entier naturel ndans IN∗, on notehn=
n
X
k=1
1
k, fn=hn−ln(n).
On consid`ere les suites (un)n∈IN∗ et (vn)n∈IN∗d´efinies par : u1= 1 et pour n≥2, un= 1
n+ ln(1−1
n) ; vn= 1
n−ln(1 +1 n)
1) Rappeler le domaine de d´efinition de la fonction (x7→x+ ln(1−x)). Pr´eciser son d´eveloppement de Taylor
`
a l’ordre 2 en 0.
2) Soitnun entier naturel. Quel est le signe de un? 3) Justifier que la s´erie X
n≥1
un est convergente.
4) Etudier la fonction (f : x7→x−ln(1 +x)) sur [0,1].
5) Justifier que la s´erie X
n≥1
vn est convergente.
6) Soitnun entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n,vn−un. En d´eduire une expression de
N
P
n=1
(vn−un) en fonction deN pour tout entier naturelN sup´erieur ou ´egal `a 3.
7) Que peut-on dire des suites (
N
P
n=1
vn)N∈IN∗ et (
N
P
n=1
un)N∈IN∗? Justifier que
+∞
X
n=1
vn=
+∞
X
n=1
un. Dans la suite du probl`eme, on noteγla somme des s´eries P
n>1
vn et P
n>1
un. 8) D´emontrer que γest dans l’intervalle ]0,1[.
9) Soitnun entier naturel non nul. Justifier que : ln(n+ 1)6hn61 + ln(n) 10) Justifier que la suite (fn)n∈IN∗ est croissante.
11) D´emontre que la suite (fn)n∈IN∗ est convergente et de limiteγ.
12) Soitrun entier naturel>1.
a) Soitaun nombre r´eel >0. Exprimer en fonction de aetr: I(a) = lim
x→+∞
Z x a
1 trdt b) Soit (wn) une suite de nombres r´eels qui converge vers 0.
On suppose que la suite (nr(wn+1−wn))n∈IN est convergente vers une limite` telle que` >0.
Soienta, bdans IR+∗ tels que 0< a < ` < b. Justifier l’existence d’un entier naturelN sup´erieur ou ´egal
`
a 2 tel que pour tout entier natureln≥N, on ait les in´egalit´es : a≤nr(wn+1−wn)≤b
D´emontrer que la suite (nr−1wn)n∈IN est convergente et expliciter en fonction de`etrsa limite.
Ce r´esultat reste-t-il vrai si la limite`de la suite (nr(wn+1−wn))n∈IN est 0 ? 13) D´emontrer qu’il existe un nombre r´eel αque l’on explicitera tel que :
∀n∈IN∗,
n
X
k=1
1
k = ln(n) +γ+α n+o(1
n)
3
