Sujet de type CCINP

(1)

Devoir surveill´e n˚6

MP Clemenceau 2020-21 Jeudi 21 janvier 2021

Vous avez 4 heures dans la joie et la bonne humeur mais en silence ! !

Vous avez le choix entre deux sujets : un sujet de type CCINP ou un sujet de type Mines.

Vous ne devez choisir et commencer qu’un seul sujet.

Il sera tenu compte de la présentation et de la rigueur des démonstrations. Toute copie non rédigée ne sera pas corrigée. Il est demandé aux étudiants de mettre leurs nom et prénom sur chaque copie (double de préférence) et de

num´eroter ces dites copies.

Les calculatrices sont interdites.

Lorsqu’un raisonnement utilise le résultat d’une question précédente, il est demandé au candidat d’indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

F F F

(2)

Sujet de type CCINP

Notations.

On note

J un intervalle de [0,+∞[.

f une fonction définie surJ à valeurs dans IR ouC. g une fonction définie sur [0,+∞[ à valeurs dans IR ouC. Sous réserve de son existence, on notefeg(x) =

Z

J

f(t)g(xt) dtpourx >0.

Chaque fois qu’aucune confusion ne sera possible, on noterafe(x) au lieu defeg(x).

Objectifs.

Pour différentes hypothèses sur la fonctionf, sur l’intervalleJ et pour deux choix de g, on se propose de déterminer la limite defeg(x) lorsque le nombre réel xtend vers +∞.

Dans la partie1, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs de sommes de séries.

Dans la partie2, on considère une fonction f définie sur [0,+∞[ à valeurs réelles et l’objectif est d’obtenir la limite en +∞defe_g(x) lorsqueg(t) =|sin(t)|, lorsquef est de classeC¹ ou lorsquef est continue par morceaux.

1 Une ´ etude de s´ eries.

1.1 Etude de la fonction L.

Pour toutxréel tel que la série entière X

k>1

(−1)^k−1x^k k

converge, on note L(x) =

+∞

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k sa somme.

Q1) Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la fonction L est définie sur ]−1,1] et expliciter L(x) pourx∈]−1,1[.

Q2) Montrer, avec soin, que la fonction Lest continue sur l’intervalle [0,1]. En d´eduire queL(1) = ln(2).

1.2 Etude de la s´ erie X

k>1

1 k cos

2kπ 3

.

On consid`ere la suite (ak)_k∈IN^∗ d´efinie par

∀p∈IN^∗, a3p=−2

3p ; ∀p∈IN, a3p+1= 1

3p+ 1 et a3p+2= 1 3p+ 2 Q3) Montrer que

3p

X

k=1

ak=

3p

X

k=p+1

1 k =1

p

2p

X

h=1

1 1 +^h_p Q4) d´eterminer la limite de

3p

X

k=1

ak lorsque p → +∞ (on pourra considérer la fonction t 7→ _1+t¹ sur un intervalle convenable). En déduire la convergence de la série X

k>1

ak et pr´eciser sa somme.

Q5) En d´eduire que la s´erie X

k>1

1 kcos

2kπ 3

converge et montrer que sa somme est ´egale `a ln

√1 3

.

1.3 Etude des s´ eries X

k>1

cos(kα) k

et X

k>1

sin(kα) k

.

Pourt∈]0,2π[ etn∈IN^∗, on note ϕ(t) = 1

e^it−1 etS_n(t) =

n

X

k=1

e^ikt.

On désigne parαun nombre réel fixé dans l’intervalle ]0,2π[. Pour simplifier l’écriture des démonstrations, on supposera π 6 α <2π.

(3)

Q6) Montrer queSn(t) =ϕ(t)(e^i(n+1)t−e^it).

Q7) Montrer queϕ∈C¹([π, α]).

Q8) Montrer que l’int´egrale Z α

π

e^i(n+1)tϕ(t) dt tend vers 0 quand n →+∞ (on pourra utiliser une int´egration par parties).

Q9) Expliciter Z α

π

Sn(t) dt. Déduire de ce qui précède la convergence de la série X

k>1

e^ikα k

.

Expliciter la somme

+∞

X

k=1

e^ikα

k en fonction de ln(2) et de Z α

π

e^itϕ(t) dt.

Q10) Exprimer e^itϕ(t) en fonction de e^it²

sin ₂^t o`ut∈[π, α].

Q11) En d´eduire la convergence des s´eries X

k>1

cos(kα) k

et X

k>1

sin(kα) k

. Expliciter leur somme respective. Le r´esultat est-il conforme avec celui obtenu `a la questionQ5)?

2 Limite d’une int´ egrale.

Dans cette partie, on désigne parf une fonction continue par morceaux sur l’intervalle [0,+∞[ à valeurs réelles et telle que l’intégrale généralisée

Z +∞

0

|f(t)|dtsoit convergente. On désigne parg une fonction définie et continue sur l’intervalle [0,+∞[ à valeurs complexes et (sous réserve d’existence) on notefe_g(x) =

Z +∞

0

f(t)g(xt) dt pourx >0.

2.1 Existence de f e

_g

(x).

On suppose que la fonctiong est born´ee sur IR⁺.

Q12) Justifier l’existence de fe_g(x) pour tout x > 0. En utilisant la caractérisation séquentielle, mMontrer que la fonctionfeg est continue et bornée sur IR^+∗.

2.2 Limite de f e

_g

(x) lorsque g(t) = e

^it

.

On suppose quef est de classeC¹ sur IR⁺ et `a valeurs r´eelles. Soitfeg(x) = Z +∞

0

f(t)e^ixtdt.

Q13) Justifier l’affirmation :

Pour toutε >0, il existe un r´eel positifAtel que Z +∞

A

|f(t)|dt 6 ε

Q14) Le nombre réelAétant fixé, montrer que l’intégrale Z A

0

f(t)e^ixtdttend vers 0 lorsquextend vers +∞(on pourra utiliser une int´egration par parties).

Q15) En d´eduire la limite defeg(x) = Z +∞

0

f(t)e^ixtdtlorsquextend vers +∞.

Dans toute la suite, on supposeg(t) =|sin(t)| et on note simplement

fe(x) = Z +∞

0

f(t)|sin(xt)|dt

2.3 Etude pour une fonction f particuli` ere.

On suppose (dans cet exemple) quef d´esigne la fonction E d´efinie parE(t) =e^−tpourt > 0, et donc E(x) =e

Z +∞

0

e^−t|sin(xt)|dt pourx >0.

Q16) Pour γ∈IR, calculer l’int´egraleθ(γ) = Z π

0

e^γysin(y) dy.

(4)

Q17) Montrer que pour x >0,

E(x) =e 1 x

Z +∞

0

e⁻^u^x|sin(u)|du

Q18) Exprimer pour k ∈IN et pour toutx∈ IR^∗, l’int´egrale

Z (k+1)π kπ

e⁻^u^x|sin(u)|du en fonction dee⁻^kπ^x et de θ(γ) pour unγ convenable.

Q19) Justifier, pour x >0, la convergence de la s´erie X

k>0

(e⁻^kπ^x). Pr´eciser sa somme.

Q20) ExpliciterE(x) poure x >0. D´eterminer la limite deE(x) lorsquee xtend vers +∞.

2.4 Etude g´ en´ erale.

On désigne de nouveau par f une fonction quelconque continue par morceaux sur l’intervalle [0,+∞[ et telle que l’intégrale généraliséeR+∞

0 |f(t)|dtconverge et on note fe(x) =

Z +∞

0

f(t)|sin(xt)|dt pour x >0 21) Lemme pr´eliminaire.

Pour tout r´eelt tel que la s´erie X

k>1

cos(2kt) 4k²−1

converge, on poseh(t) =

+∞

X

k=1

cos(2kt)

4k²−1. Montrer que la fonction h est définie et continue sur IR. Justifier l’égalité

∀t∈IR, |sin(t)|= 2 π− 4

πh(t) 22) Limite de fe(x) dans le cas C¹.

On suppose de plus quef est une fonction de classe C¹ sur IR⁺. En utilisant les résultats obtenus dans la partie 2.2et la question précédente, déterminer la limite de f(x) lorsquee x→+∞. Le résultat est-il conforme à celui obtenu pour la fonctionE?

23) Cas d’une fonction continue par morceaux.

a) Une limite.

Etant donnés deux nombres réelsβ et δtels que 0 6 β < δ, on considère, pourx >0, l’intégrale F(x) =

Z δ β

|sin(xt)|dt. Montrer queF(x) = ¹_x Z δx

βx

|sin(u)|du.

On posepla partie enti`ere de βx

π etqcelle de δx

π. Pourx > π

δ−β, donner un encadrement deF(x) en fonction dep, q etx.

En d´eduire queF(x) tend vers _π²(δ−β) lorsquex→+∞.

b) Limite defe(x) dans le cas d’une fonction continue par morceaux.

Si J est un intervalle de IR⁺ et sif est une fonction continue par morceaux surJ à valeurs réelles et telle que l’intégrale

Z

J

|f(t)|dtexiste, on note toujours

fe(x) = Z

J

f(t)|sin(tx)|dt Quelle est la limite defe(x) lorsquextend vers +∞:

- lorsqueJ est un segment etf une fonction en escalier ?

- lorsqueJ est un segment etf une fonction continue par morceaux ? - lorsqueJ = IR⁺ et f une fonction continue par morceaux ?

(5)

Sujet de type Mines

Th´ eor` eme taub´ erien de Hardy-Littlewood-Karamata

Dans tout le probl`eme,I d´esigne l’intervalle ]0,+∞[.

A Une int´ egrale ` a param` etre

Pour toutx∈IR on pose, sous r´eserve d’existence, F(x) =

Z +∞

0

e^−u

√u(u+x)du et K= Z +∞

0

e^−u

√u du

1) D´emontrer queψ :u7→ e^−u

√u est int´egrale surI.

2) D´eterminer les valeurs dexpour lesquellesF(x) est d´efinie.

3) A l’aide de la caract´erisation s´equentielle montrer queF est continue surI.

4) Question `a admettreMontrer que la fonction F est de classeC¹ surIet exprimerF⁰(x) sous forme int´egrale.

R´eponse : F⁰:x7−→

Z +∞

0

−e^−u

√u(u+x)²du

5) En d´eduire que pour tout x∈I,xF⁰(x)−(x−¹₂)F(x) =−K.

6) Pour tout x∈ I, on pose G(x) = √

xe^−xF(x). Montrer qu’il existe une constante r´eelle C telle que pour tout x∈I,G(x) =C−K·

Z x 0

e^−t

√t dt.

7) D´eterminer les limites deGen 0 et +∞, et en d´eduire la valeur deK.

B ´ Etude de deux s´ eries de fonctions

Dans toute cette partie, on pose f(x) =

+∞

X

n=1

e^−nx

√n et g(x) =

+∞

X

n=0

√ne^−nx.

8) Montrer quef et g sont d´efinies et continues surI.

9) Montrer que pour toutx∈I, Z +∞

1

e^−ux

√u du6f(x)6 Z +∞

0

e^−ux

√u du.

En d´eduire un ´equivalent def(x) lorsquex→0.

10) Montrer que la suite

n

X

k=1

√1 k −2√

n

!

n>1

converge.

11) D´emontrer que pour toutx >0, la s´erie X

n>1 n

X

k=1

√1 k

!

e^−nx converge et exprimer sa somme h(x) en fonction de f(x) pour toutx∈I.

12) En déduire un équivalent deh(x) lorsquex→0. Montrer alors que g(x) est équivalent à

√π

2x^3/2 lorsquex→0.

C S´ eries de fonctions associ´ ees ` a des ensembles d’entiers

A tout ensemble` A⊆IN on associe la suite (an) d´efinie par an =

1 sin∈A, 0 sinon.

SoitIAl’ensemble des r´eelsx>0 pour lesquels la s´erie X

n>0

ane^−nx converge. On posefA(x) =

+∞

X

n=0

ane^−nx pour tout x∈IA. Enfin, sous r´eserve d’existence, on pose Φ(A) = lim

x→0xfA(x) et on noteS l’ensemble des partiesA⊆IN pour lesquelles Φ(A) existe.

(6)

13) Quel est l’ensembleIa siA est fini ? SiA est infini, montrer que l’on peut extraire une suite (bn) de la suite (an) telle que pour toutn∈IN,bn= 1. D´eterminerIAdans ce cas.

14) SoitA ∈S et (an) la suite associée. Pour tout entier naturel n, on noteA(n) l’ensemble des éléments de A qui sont6n. Vérifier que pour toutx >0 la série X

n>0

Card(A(n)) e^−nx converge et que

+∞

X

n=0

Card(A(n)) e^−nx= fA(x) 1−e^−x

Dans la question suivante,A=A1d´esigne l’ensemble des carr´es d’entiers naturels non nuls.

15) Montrer que six >0, fA₁(x) 1−e^−x =

+∞

X

n=0

b√

nce^−nxoùb·c désigne la partie entière.

En d´eduire un encadrement de

+∞

X

n=0

√ne^−nx− f_A₁(x)

1−e^−x, puis un ´equivalent defA1 en 0. Prouver alors que A1∈S et donner Φ(A₁).

Dans la question suivante, A= A2 désigne l’ensemble constitués des entiers qui sont la sommes des carrés de deux entiers naturels non nuls. On admet queA2 appartient à S, et on désire majorer Φ(A2).

Soitv(n) le nombre de couple d’entiers naturels non nuls (p, q) pour lesquelsn=p²+q². 16) Montrer que pour tout r´eel x >0, la s´erie X

n>0

v(n) e^−nx converge et ´etablir que

+∞

X

n=0

v(n) e^−nx= (fA₁(x))².

Montrer alors que pour toutx >0,f_A₂(x)6(f_A₁(x))². En d´eduire un majorant de Φ(A₂).

D) Un th´ eor` eme taub´ erien

Soit (αn)n>0 une suite de nombres réels positifs tels que pour tout réel x>0, la série X

n>0

αne^−nx converge. On suppose que

x→0lim x

+∞

X

n=0

αne^−nx

!

=`∈[0,+∞[.

On noteF l’espace vectoriel des fonctions de [0,1] dans IR,Ele sous-espace deF des fonctions continues par morceaux et E0 le sous-espace deE des fonctions continues sur [0,1]. On munit E de la norme k k_∞ d´efinie par la formule kψk_∞= sup

t∈[0,1]

|ψ(t)|.

Si ψ∈E, on noteL(ψ) l’application qui `ax >0 associe

(L(ψ))(x) =

+∞

X

n=0

αne^−nxψ(e^−nx).

17) Montrer queL(ψ) est bien définie pour toutψ∈E et que l’applicationL est une application linéaire de E dans F. Vérifier que pour tousψ₁, ψ₂ dansE₁,ψ₁6ψ₂ entraˆıneL(ψ₁)6L(ψ₂).

On noteE1 l’ensemble desψ∈E pour lesquels lim

x→0x(L(ψ))(x) existe et si ψ∈E1, on pose

∆(ψ) = lim

x→0x(L(ψ))(x)

18) V´erifier queE1est un sous espace vectoriel deEet que l’application ∆ est une forme lin´eaire continue de (E1,k k_∞).

19) Montrer que pour toutp∈IN,ep : t∈[0,1]7→t^p appartient `a E1 et calculer ∆(ep). En d´eduire queE0⊆E1 et calculer ∆(ψ) pour toutψ∈E0.

(7)

Pour tousa, b∈[0,1] tel quea < b, on note 1[a,b] : [0,1]→ {0,1}la fonction d´efinie par 1_[a,b](x) =

1 six∈[a, b]

0 sinon.

Soita∈]0,1[ etε∈]0,min(a,1−a)[. On note

g₋(x) =







1 six∈[0, a−ε]

a−x

ε six∈]a−ε, a[

0 six∈[a,1]

et

g₊(x) =







1 six∈[0, a]

a+ε−x

ε six∈]a, a+ε[

0 six∈[a+ε,1].

20) V´erifier que g− et g+ appartiennent `a E0 et calculer ∆(g−) et ∆(g+). Montrer alors que 1_[0,a] ∈ E1 et calculer

∆(1[0,a]). En d´eduire queE1=E et donner ∆(ψ) pour toutψ∈E.

On consid`ere maintenant la fonction ψd´efinie sur [0,1] par la formule :

ψ(x) =

( 0 six∈[0,¹_e[ 1

x six∈[¹_e,1].

21) Calculer (L(ψ))(_N¹) pour tout entier N >0 et en d´eduire la limite

lim

N→+∞

1 N

N

X

k=0

αk

(théorème taubérien).

On rappelle quev(n) est le nombre de couples d’entiers naturels non nuls (p, q) tels quen=p²+q². 22) SiA∈S, que vaut lim

n→+∞

1

nCard (A(n)) ? D´eterminer alors lim

n→+∞

1 n

n

X

k=1

v(k).