Devoir surveill´e n˚1
MP Clemenceau 2020-21 Vendredi 11 septembre 2020
Vous avez 1 heures dans la joie et la bonne humeur mais en silence ! !
Le devoir comporte 2 petits probl`emes au choix.
Vous ne devez commencer et traiter qu’un seul probl`eme.
Il sera tenu compte de la pr´esentation et de la rigueur des d´emonstrations. Toute copie non r´edig´ee ne sera pas corrig´ee. Il est demand´e aux ´etudiants de mettre leurs nom et pr´enom sur chaque copie (double de pr´ef´erence)
et de num´eroter ces dites copies.
Lorsqu’un raisonnement utilise le r´esultat d’une question pr´ec´edente, il est demand´e au candidat d’indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee.
F F F
1
Probl` eme d’alg` ebre
SoitE unK espace vectoriel (K= IR ou C) et uun endomorphisme de E. On d´esigne par ker(u) le noyau deuet Im(u) l’image deu.
Pour tout entierkstrictement positif,ukd´esigne l’endomorphismeu◦u◦u· · ·◦u(kfois) etu0d´esigne l’application identique deE.
PREMIERE PARTIE
A -
Dans cette partie,E d´esigne un espace vectoriel sur IR dont une base estB= (e1, e2, e3, e4).
Soitul’endomorphisme de E tel que la matrice deupar rapport `a cette base est :
M =
1 1 0 0
−1 −1 0 0
0 0 −1 1
0 0 1 −1
1) D´eterminer le rang deuet donner une base de Im(u), une base de keruen fonction des vecteurs de la base B.
2) Calculer M2, M3 et montrer que pour tout entierp>2, il existe un r´eel αp et une matrice A telle que : Mp=αpA.
Expliciter alorsMp.
3) (a) Donner une base, en fonction des vecteurs de la baseB, de chacun des sous-espaces vectoriels suivants : Im(u2), ker(u2), Im(u3), ker(u3).
(b) D´eterminer : ∀k>2, ker(uk), Im(uk).
(c) Montrer queE= ker(u2)⊕Im(u2).
B -
SoitK[X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dans le corpsKetdl’endomorphisme deK[X] qui
`
a un polynˆomeP associe son polynˆome d´eriv´eP0.
4) dest-il injectif ?dest-il surjectif ? Comment peut-on en d´eduire queK[X] n’est pas de dimension finie ? 5) D´eterminer : ∀q∈IN∗, ker(dq).
DEUXIEME PARTIE
Soituun endomorphisme deE, pour tout entier naturelp, on noteraIp = Im(up) et Kp= ker(up).
6) Montrer que :∀p∈N, Kp⊂Kp+1 etIp+1⊂Ip.
7) On suppose queE est de dimension finie etuinjectif. D´eterminer : ∀p∈N, Ip etKp. 8) On suppose queE est de dimension finiennon nulle etunon injectif.
(a) Montrer qu’il existe un plus petit entier naturelr6ntel que :Kr=Kr+1. (b) Montrer qu’alors :Ir=Ir+1 et que :∀p∈N, Kr=Kr+p et Ir=Ir+p.
(c) Montrer que :E=Kr⊕Ir.
9) LorsqueE n’est pas de dimension finie, existe-t-il un plus petit entier naturelr tel queKr=Kr+1?
2
Probl` eme d’analyse
PARTIE I
1) On d´efinit la fonctionϕsurh
−π 2,π
2 i
par :ϕ(t) =1 t − 1
sin(t) sit6= 0 etϕ(0) = 0.
(a) i. Donner le d´eveloppement limit´e deϕau voisinage de 0 `a l’ordre 4.
ii. En d´eduire queϕest continue et d´erivable en 0. Pr´eciserϕ0(0).
(b) Montrer que ϕest de classeC1 surh
−π 2,π
2 i
. (c) Soit la fonctionψd´efinie surh
−π 2,π
2 i
par :ψ(t) = t
sint sit6= 0 etψ(0) = 1.
Montrer queψest une fonction de classeC1 surh
−π 2,π
2 i
. Pr´eciserψ0(0).
2) Soientaetb r´eels tels quea < b. Soitg une fonction de classeC1 sur [a, b] `a valeurs r´eelles.
Montrer, `a l’aide d’une int´egration par parties, que :
b
Z
a
g(t) sin(λt)dt tend vers 0 lorsqueλtend vers +∞
3) Soitn∈IN∗. On d´efinit Sn sur [0, π] par :Sn(t) = 1 + 2
n
X
k=1
cos(2kt).
(a) i. Montrer,sans r´ecurrence, que :∀t∈]0, π[, Sn(t) =sin((2n+ 1)t) sin(t) ii. CalculerSn(0) etSn(π).
(b) Calculer la valeur de l’int´egraleJn =
π/2
Z
0
sin((2n+ 1)t) sin(t) dt.
PARTIE II
4) (a) D´eterminer la limite de
π/2
Z
0
ϕ(t) sin(2n+ 1)t dtlorsquentend vers +∞.
(b) En d´eduire la limite deIn=
π/2
Z
0
sin(2n+ 1)t
t dt lorsquentend vers +∞.
5) (a) i. V´erifier que la fonctionf d´efinie parf(t) = sint
t se prolonge en une fonction continue surR. On noteF la fonction d´efinie surR+ par :F(x) =
x
Z
0
sint t dt.
ii. ComparerF
(2n+ 1)π 2
etIn. (b) i. Soit xr´eel, x > π
2. Justifier l’existence de n ∈ N (d´ependant de x) tel que : (2n+ 1)π
2 6 x <
(2n+ 3)π
2. On noteα(x) = (2n+ 1)π 2. ii. Montrer que
x
Z
α(x)
sint
t dttend vers 0 lorsquextend vers +∞.
(c) En d´eduire queF(x) admet une limite`sixtend vers +∞. Pr´eciser`.
6) (a) Soientxety r´eels, tels que y > x >0. Montrer que :
y
Z
x
sint t dt
6 2
x. (On effectuera une int´egration par parties).
(b) En d´eduire que :∀x >0, |`−F(x)|6 2 x.
3
