II ) D´ efinition de la matrice f (A)

Correction : Devoir surveill´e n˚5 : concours blanc

MP Clemenceau 2020-21 Vendredi 11 d´ ecembre 2020

Fonctions de matrices

Notations :

1) Les IR-alg`ebres suivantes sont consid´er´ees au cours de ce texte : I L’alg`ebre Mn(IR) des matrices carr´ees r´eelles d’ordren.

I SiIest un intervalle de IR, d’int´erieur non vide, on noteC_I^∞l’alg`ebre commutative des fonctions de classeC^∞ deI dans IR.

I L’alg`ebre des fonctions polynomiales deIdans IR est usuellement identifi´ee `a l’alg`ebre IR[X].

2) On y rencontre aussi les IR-espaces vectoriels suivants : I L’espace des colonnes r´eelles `a nlignes not´eMn,1(IR).

I L’espace IRN[X] ={P ∈IR[X]|degP6N}, o`uN ∈IN.

3) Les notions de convergence dansMn,1(IR) etMn(IR) sont relatives aux normes respectives : I kXk_∞= max

16k6n|xk|, siX =^t[x1, . . ., xn].

I kMk=n max

16i,j6n|mi,j|, siM = [mi,j]₁₆i6n

16j6n

.

Objectifs du probl`eme

Lorsque P ∈ IR[X] et A ∈ Mn(IR), on sait donner un sens `a la matrice P(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surA qui en r´esulte. En particulier, siM est une matrice deMn(IR), on appellepolynˆome minimalde M le polynˆome unitaire P de plus bas degr´e tel que P(M) = 0 ; il est imm´ediat (et on l’admettra) qu’il s’agit du polynˆome minimal de l’endomorphismeude IRⁿ dont M est la matrice dans la base canonique de IRⁿ.

Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens `a la matrice f(A) pour toute fonction f de classeC<sup>∞</sup>, et cela moyennant des hypoth`eses convenables sur la matriceA.

Autrement dit, on apprend `a maˆıtriser un certain calcul fonctionnel surA.

Dans un second temps, on exploite ces r´esultats pour r´esoudre un syst`eme diff´erentiel lin´eaire.

Notations fix´ees pour tout le probl`eme :

I On consid`ere une matriceAdeMn(IR) et l’onsuppose que son polynˆome minimal ΠA peut ˆetre ´ecrit sous la forme : ΠA(X) = (X−λ1)^m1. . .(X−λr)^mr avec :r>1 ; lesλj sont desr´eelsdistincts ; lesmj sont dans IN^∗. On note alorsm= X

16j6r

mj le degr´e de ΠA.

I On consid`ere aussi un intervalleI de IR, d’int´erieur non vide et contenant tous lesλj.

La matriceAet l’intervalleIsont particularis´es dans les divers exemples trait´es au cours du probl`eme.

Pr´eliminaires :

1) Etablir que pour´ X dansMn,1(IR) etM dansMn(IR), on a : kM Xk_∞ 6kMk kXk_∞. Correction : Avec les notations de l’´enonc´e, la k-i`eme composante de M X vaut

n

X

j=1

akjxj donc, pour tout k∈[[1, n]],

n

X

j=1

a_kjx_j

6

n

X

j=1

|a_kj| kXk_∞6

n

X

j=1

max

(i,j)∈[[1,n]]²

|m_i,j| kXk_∞6kMk kXk_∞ ce qui prouve l’in´egalit´e kM Xk_∞≤ kMk kXk_∞.

2) SoitMun sous-espace vectoriel de dimensiond>1 deMn(IR), et soitβ= (B₁, . . ., B_d) une base deM.

a) Montrer que l’on d´efinit une normeN surMen posantN(M) = max 16k6d|xk|, si

M = X

16k6d

x_kB_k est la d´ecomposition de l’´el´ementM deMsur la baseβ.

Correction : Pour tous M =

d

X

k=1

x_kB_k et M⁰=

d

X

k=1

x⁰_kB_k de M et tout λ r´eel,

– N(M) = 0 si et seulement si ∀k∈[[1, d]], x_k= 0 si et seulement si M = 0 vu que β est une base de M.

– On aλM =

d

X

k=1

(λxk)Bk donc, sachant qu’un maximum est atteint, N(λM) = max

k∈[[1,d]]|λx_k|=|λ| max

k∈[[1,d]]|x_k|=|λ| N(M) ; – On a M +M⁰ =

d

X

k=1

(xk+x⁰_k)Bk, donc, ∀k ∈ [[1, d]], |xk+x⁰_k| 6|xk|+|x⁰_k| 6 N(M) +N(M⁰) donc N(M+M⁰)6N(M) +N(M⁰) par d´efinition d’un maximum ;

L’application (`a valeurs positives) N est donc une norme sur M.

b) Justifier l’existence de constantes r´eelles strictement positivesaet bv´erifiant :

∀M ∈ M, akMk6N(M)6bkMk.

Correction : M´etant un sous espace vectoriel deMn(IR), la normek kd´efinie surMn(IR), d´efinit aussi une norme sur M (on parle de norme induite). Or M est un espace de dimension finie donc toutes les normes d´efinies sur M sont ´equivalentes. C’est-`a-dire il existe deux constantes r´eelles strictement positives a et b v´erifiant :

∀M ∈ M, akMk6N(M)6bkMk.

c) Soit (Mp)p∈IN une suite d’´el´ements de M; on note Mp = X

16k6d

xp(k)Bk la d´ecomposition de Mp sur β.

Montrer que la suite (Mp)_p∈IN converge vers 0 dans (Mn(IR),k·k) si et seulement sichaque suite r´eelle (xp(k))_p∈IN (k∈[[1, d]]) converge vers 0.

Correction : Remarque : il est indispensable de bien comprendre que la question est presque une question de cours mais avec des nuances. Ici on parle de convergence de la suite de matrice dans l’espace Mn(IR) muni de la norme k ket on la compare avec la convergence d´efinie (ou presque) dansM.

Soit (Mp)_p∈IN une suite d’´el´ements deM, avec pour tout p∈IN,Mp= X

16k6d

xp(k)Bk. On suppose qu’elle converge vers 0 pour la norme k k. Avec les notations de la question pr´ec´edente on a pour tout p ∈ IN, N(Mp) 6bkMpk. Or, par d´efinition de la norme N, pour k ∈ [[1, d]], |xp(k)| 6N(Mp). On en d´eduit que pour toutk∈[[1, d]] la suite (up(k))_p∈IN converge vers 0.

R´eciproquement : on suppose que pour toutk∈[[1, d]] la suite (up(k))_p∈INconverge vers 0. Par propri´et´e on en d´eduit que la suite

d

X

k=1

|xp(k)|

!

p∈IN

converge aussi vers 0. A l’aide de la question pr´ec´edente et la d´efinition

de (N) on a pour toutp∈IN,kM_pk6 1

aN(M_p)6 1 a

d

X

k=1

|x_p(k)|. On en d´eduit que (kM_pk) converge vers 0.

I) Une relation d’´ equivalence sur C

On convient de dire que des fonctions f et g deC_I^∞ co¨ıncident sur le spectre deAlorsque :

∀j ∈[[1, r]],∀k∈[[0, mj−1]], f^(k)(λj) =g^(k)(λj). Ce que l’on r´esume par la notationf=

Ag.

Un exemple : si ΠA(X) =X²(X+ 1) la notationf=

Agsignifie :f(0) =g(0),f⁰(0) =g⁰(0) etf(−1) =g(−1) 3) Soient`dans IN<sup>∗</sup>,λdansI etf dansC<sub>I</sub><sup>∞</sup>v´erifiant :f<sup>(k)</sup>(λ) = 0 pourk∈[[0, `−1]].

a) Etablir l’identit´´ e :∀x∈I, f(x) = Z x

λ

(x−u)^`−1

(`−1)! f<sup>(`)</sup>(u) du.

Correction : Soitx∈I. Commef est de classeC^`sur [λ, x], on peut lui appliquer la formule de Taylor avec reste int´egral :

f(x) =

`−1

X

k=0

f^(k)(λ)

k! (x−λ)^k+ Z x

λ

(x−u)^`−1

(`−1)! f<sup>(`)</sup>(u) du

ce qui est l’´egalit´e demand´ee, puisquef^(k)(λ) = 0 pourkcompris entre 0 et `−1.

b) En d´eduire `a l’aide d’un changement de variable, l’existence d’une fonction hv´erifiant les deux conditions suivantes :

(1) ∀x∈I, f(x) = (x−λ)^`h(x) (2) h∈C_I^∞

Correction : Dans l’int´egrale pr´ec`edente, on fait le changement de variable :u=t(λ−x) +x, alors :

x

Z

λ

(x−u)^`−1

(`−1)! f<sup>(`)</sup>(u)du =

1

Z

0

(t(x−λ))^`−1

(`−1)! f<sup>(`)</sup>(t(λ−x) +x)(λ−x)dt

= (λ−x)^`

1

Z

0

−t^`−1

(`−1)!f<sup>(`)</sup>(t(λ−x) +x)dt

On poseh(x) =−

1

Z

0

t^`−1

(`−1)!f<sup>(`)</sup>(t(λ−x) +x)dtpour toutx∈I.

L’applicationg: (x, t)7→ − t^`−1

(`−1)!f<sup>(`)</sup>(t(λ−x) +x) estC^∞ surI×[0; 1],donc on peut montrer (d´erivation sous le signe int´egrale) quehest aussi de classeC^∞surI et que, pour toutx∈I,

f(x) = (x−λ)^`h(x).

4) Soientf etg dansC_I^∞.

a) On suppose : ∃h∈C_I^∞, f =g+hΠ_A.

En consid´erant les d´eriv´ees successives def−g, ´etablir quef=

Ag.

Correction :par hypoth`ese ΠA=

d

Y

k=1

(X−λk)^mk, donc pour toutk∈[[1, r]],λk est une racine d’ordremkde ΠA. On en d´eduit, par caract´erisation de l’ordre de multiplicit´e d’une racine d’un polynˆome, que, pour tout k∈[[1, r]] et toutj∈[[1, mk−1]], Π^(j)_A (λk) = 0.

On suppose qu’il existeh∈C_I^∞tel que f =g+hΠ_A. La fonctionf−g=hΠ_A est alors de classeC^∞. Soitj∈IN, on a, d’apr`es la formule de Leibniz : (f−g)^(j)=

j

X

i=0

j i

Π⁽ⁱ⁾_A h^(j−i).

Pour tout k ∈ [[1, r]] et j ∈ [[1, mr−1]] on sp´ecialise en λk et on obtient (f −g)^(j)(λk) = 0. C’est `a dire f^(j)(λk) =g^(j)(λk), doncf=

Ag.

b) On suppose f=

Ag; en exploitant la question3)justifier l’existence dehdansC_I^∞v´erifiant : f =g+hΠ_A.

Correction : Montrons par r´ecurrence surrla propri´et´e :

Hr : sif est un ´el´ement deC_I^∞, siλ1, . . . , λrsontr´el´ements distincts deIet sim1, . . . , mrsont des entiers naturels non nuls tels que :

∀j∈ {1, . . . , r}, ∀k∈ {0, . . . , mj−1}, f^(k)(λj) = 0 alors il existeh∈C_I^∞ tel que

∀x∈I, f(x) =

r

Y

j=1

(x−λj)^mjh(x).

Quandr= 0, il suffit de choisirh=f. Soit ensuiter > 0 et supposons la propri´et´e d´emontr´ee au rangr. On suppose ensuite quef,λ1, . . . , λr, λr+1,m1, . . . , mr, mr+1sont donn´es, v´erifiant les hypoth`eses de la propri´et´e Hr+1. En appliquantHr, on sait qu’il existeh1∈C_I^∞ tel que :

∀x∈I, f(x) =

r

Y

j=1

(x−λj)^mj

| {z }

=P(x)

h1(x).

En posantλ=λ_r+1 et `=m_r+1, la formule de Leibniz donne :

∀k∈ {0, . . . , `−1}, 0 =f^(k)(λ) =

k

X

i=0

k i

P^(k−i)(λ)h⁽ⁱ⁾₁ (λ),

ce qui s’´ecrit sous forme d’un syst`eme lin´eaire :



















P(λ)h1(λ) = 0

P⁰(λ)h₁(λ) +P(λ)h⁰₁(λ) = 0

P⁰⁰(λ)h1(λ) + 2P⁰(λ)h⁰₁(λ) +P(λ)h⁰⁰₁(λ) = 0

... . ..

P^{(`−1)</sup>(λ)h1(λ) +· · ·+ <sup>`−1}_`−2

P⁰(λ)h^{(`−2)</sup><sub>1</sub> (λ) +P(λ)h<sup>(`−1)}₁ (λ) = 0

Commeλest distinct desλ1, . . . , λr,P(λ) est non nul : en r´esolvant ce syst`eme triangulaire, nous obtenons donc h<sub>1</sub>(λ) = h<sup>0</sup><sub>1</sub>(λ) = · · · = h<sup>(`−1)</sup>₁ (λ) = 0. La question 3. assure alors l’existence de h dans C_I^∞ tel que h₁(x) = (x−λ)^`h(x) pour toutx∈I, ce qui donne la d´ecomposition cherch´ee :

∀x∈I, f(x) =





r+1

Y

j=1

(x−λ_j)^mj



h(x)

Sif=

Ag, il suffit alors d’appliquer la propri´et´eHr`a la fonctionf−g : il existehdansC_I^∞tel quef =g+hΠA. 5) SoientP et Qdans IR[X] ; prouver que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(1) P=

AQ

(2) ∃H ∈IR[X], P =Q+HΠA. Correction :On a, par d´efinition, P=

AQ⇔ ∀j ∈[[1, r]],∀k∈[[0, mj−1]],(P−Q)^(k)(λj) = 0.

CommeP et Qsont des polynˆomes, cela est ´equivalent `a dire que, pour tout j ∈[[1, r]],λj est racine d’ordre au moinsmj deP−Q. C’est donc ´equivalent `a dire queP −Qest divisible par ΠA et donc ´equivalent `a l’existence H∈IR[X] tel queP−Q=HΠA.

II ) D´ efinition de la matrice f (A)

A.On consid`ere l’applicationϕde IR<sub>m−1</sub>[X] vers IR<sup>m</sup>qui associe `a un polynˆomeP lem-uplet : ϕ(P) =

P^(k1)(λ1)

06k₁6m₁−1, . . ., P^(kr)(λr)

06k_r6m_r−1

. 6) Etablir le caract`´ ere bijectif deϕ.

Correction :ϕest clairement lin´eaire. D’autre part, siP est ´el´ement de kerϕ, on aP=

A0 : la question5)prouve l’existence deH ∈IR[X] tel queP =HΠ_A, soitP = 0 car P est de degr´e strictement plus petit que celui de Π_A. Ainsi,ϕ est injective ; comme IR_m−1[X] et IR^m ont mˆeme dimension finie, ϕest un isomorphisme de IR_m−1[X] sur IR^m.

7) Soitf dansC_I^∞; justifier l’existence d’un et d’un seul polynˆomeP_f de IR[X] , de degr´e inf´erieur ou ´egal `a (m−1) et tel que :f=

AP_f. On convient alors de d´efinirla matricef(A) en posant :f(A) =P_f(A).

Correction :On consid`ere lemuplety=

f^(k1)(λ1)

06k16m1−1, . . ., f^(kr)(λr)

06kr6mr−1

. Commeϕest bijective il existe un et un seul polynˆomeP tel que ϕ(P) =y. Ce polynˆome v´erifie alors

P^(k1)(λ1)

06k₁6m₁−1, . . ., P^(kr)(λr)

06k_r6m_r−1

=

f^(k1)(λ1)

06k₁6m₁−1, . . ., f^(kr)(λr)

06k_r6m_r−1

, ce qui est la d´efinition def=

AP. B. Quelques exemples

8) On suppose ici quef est polynomiale et l’on ´ecrit :∀x∈I, f(x) =

N

X

k=0

akx^k.

En effectuant une division euclidienne, montrer qu’avec la d´efinition de la question 7), on obtient le r´esultat naturel :f(A) =

N

X

k=0

akA^k.

Correction : D’apr`es le th´eor`eme de la division euclidienne de f par ΠA il existe (Q, R) ∈ IR[X]² tel que f =QΠA+R avec deg(R)< m. Or d’apr`es la question5)cela signifie quef=

AR. Par unicit´e dePf on en d´eduit queR=P_f. Dans ce casf(A) =R(A) (d´efinition du texte), orR(A) =R(A) +Q(A)Π_A(A) car Π_Aest annulateur deA et d’apr`es l’´egalit´e de d´efinition def on a R(A) =

N

X

k=0

akA^k.

Conclusion : f(A)(d´efini par l’´enonc´e) =

N

X

k=0

a_kA^k (polynˆome de matrice)

9) Ici: A=

5 −4 4 −3

∈M2(IR) et I= IR.

a) Calculer Π_A(X).

Correction : Remarque : sachant que le polynˆome minimal divise le polynˆome caract´eristique et que celui-ci est de degr´e 2 dans cette question il est envisageable detesterpar le calcul deA².

Autre m´ethode plus g´en´eral : on calcule le polynˆome caract´eristique :χ_A= (X−1)². CommeAn’est pas la matriceI2, le polynˆome caract´eristique est le polynˆome minimal.

b) Calculer la matricef(A) dans chacun des cas suivants : (1) f(x) =ax+b, les r´eelsaetb´etant donn´es.

Correction : Commef est un polynˆome, d’apr`es la question8) f(A) =aA+bI2. (2) f(x) = sin (πx)

Correction : On cherche un polynˆome Pf de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 1, qui v´erifie Pf(1) = f(1) et P_f⁰(1) =f⁰(1). Orf(1) = 0 etf⁰(1) =−π, doncPf=−π(X−1) et doncf(A) =Pf(A) =−π(A−I2).

(3) f(x) = (x−1)²g(x), o`u la fonctiong est donn´ee dansC_I^∞.

Correction : On cherche un polynˆome P_f de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 1, qui v´erifie P_f(1) = f(1) et P_f⁰(1) =f⁰(1). Orf(1) = 0 etf⁰(1) = 0, donc P_f = 0 et donc f(A) = 0.

III - Le calcul syst´ ematique de f (A)

A. Une formule g´en´erale

10) En exploitant l’isomorphisme lin´eaireϕduII.A, justifier l’existence et l’unicit´e de polynˆomesQj,k(16j6r,06k6mj−1) v´erifiant :

pourtoutefonctionf deC_I^∞, on a : Pf=

r

X

j=1 m_j−1

X

k=0

f^(k)(λj)Qj,k

On consid`ere alors les matrices ditesassoci´ees`aA : Zj,k=Qj,k(A) (16j6r,06k6mj−1).

Correction :D’apr`es la question6)l’applicationϕest un isomorphisme. On note alors (Q_j,k)_16j6r,06k6m

j−1

l’image r´eciproque parϕde la base canonique de IR^m. On a alors pour toutf ∈C_I^∞, par d´efinition deP_f, P_f =

r

X

j=1 m_j−1

X

k=0

f^(k)(λ_j)Q_j,k 11) Montrer que les diverses matricesZ_j,k sont lin´eairement ind´ependantes et que :

∀f ∈C_I^∞, f(A) =

r

X

j=1 mj−1

X

k=0

f^(k)(λj)Zj,k.

Correction : Soitαj,kdes scalaires tels que :

r

X

j=1 mj−1

X

k=0

αj,kZj,k= 0,en posant :P =

r

X

j=1 mj−1

X

k=0

αj,kQj,k∈IR_m−1[X], on a :P(A) = 0,donc il existeH∈IR[X] tel que P =HΠA,pour des raisons de degr´es , on a :P= 0 et par suite la famille (Zj,k)16j6r,06k6m_j−1 est libre dans Mn(R) .

Pour toutf ∈C_I^∞ , on a :f(A) =

r

X

j=1 mj−1

X

k=0

f^(k)(λj)Qk,j(A) =

r

X

j=1 mj−1

X

k=0

f^(k)(λj)Zj,k..D’o`u le r´esultat demand´e.

B. Deux exemples 12) Ici:A=

5 −4 4 −3

etI= IR^∗₊.

a) Justifier l’existence de matrices Z₁ etZ₂ deM2(IR) telles que :

∀f ∈C_I^∞, f(A) =f(1)Z₁+f⁰(1)Z₂.

Correction : D’apr`es la question9)la matriceAn’a qu’une seule valeur propre, ´egale `a 1, celle-ci d’ordre 2 pour le polynˆome minimal. On a alors d’apr`es la question pr´ec´edente le r´esultat.

b) En d´eduirele calcul deZ1et Z2.

Correction :On choisit deux fonctionsf simples qui donneront les valeurs cherch´ees. On utilise la question 8) pour donnerf(A).

On peut prendre par exemple, f :x7→1 la fonction constante, car on a alors f(1) = 1 et f⁰(1) = 0. On en d´eduit queZ1=I2.

En prenantf :x7→x−1 on af(1) = 0 etf⁰(1) = 1 et doncA−I2=Z2.

c) Calculer les matricesA²⁰²⁰,√

A et plus g´en´eralementA^αpour αdans IR^∗₊.

Correction : de fa¸con g´en´eral : pour f : x 7→ x^α, d´efinie sur IR^∗₊, on a f(1) = 1 et f⁰(1) = α et donc A^α=I2+α(A−I2).

13) Ici:A=





1 −1 1 2 −2 1 1 −1 0



∈M3(IR) et I= IR.

a) Pr´esenter sous forme factoris´ee le polynˆome ΠA(X). La matriceA est-elle diagonalisable dansM3(IR) ? Correction : Soitλ∈IR

χ_A(λ) =

λ−1 1 −1

−2 λ+ 2 −1

−1 1 λ

C1+C2→C1

=

λ 1 −1

λ λ+ 2 −1

0 1 λ

L2−L1→L2

=

λ 1 −1

0 λ+ 1 0

0 1 λ

En d´eveloppant suivant la premi`ere colonne on a directementχA=X²(X+ 1).

La matrice Aest clairement de rang 2, donc son noyau est de dimension 1, d’apr`es le th´eor`eme du rang. Or 0 est une valeur propre double, la matrice n’est donc pas diagonalisable. De plus son polynˆome minimal a pour racines les valeurs propres deA mais ne peut ˆetre `a racines simples car sinonAserait diagonalisable. On en d´eduit Π_A=X²(X+ 1).

Remarque : pour respecter l’ordre des questions on peut aussi commencer par dire que ΠA divise χA et doit avoir pour racines les valeurs propres. On en d´eduit que ΠA ∈

X(X+ 1), X²(X+ 1) . On v´erifie que A(A+I3) est non nulle, donc ΠA = X²(X+ 1). Comme ΠA n’est pas `a racines simples A n’est pas diagonalisable.

b) Calculer les matricesZj,k associ´ees`a A.

Correction : comme Π_A admet 0 comme racine double et −1 comme racine simple, pour tout f ∈ C_I^∞, f(A) =f(0)Z1,0+f⁰(0)Z1,1+f(−1)Z2,0.

A l’aide de la question8) on a : en prenant f :x7→x²,Z2,0=A²

en prenant f :x7→x(x+ 1),Z1,1=A(A+I3)

en prenant f :x7→x+ 1,Z_1,0+Z_1,1=A+I₃ et doncZ_1,0=I₃−A²

IV ) Un calcul fonctionnel sur la matrice A

A. Quelques identit´es bien naturelles 14) Soientf etg dansC_I^∞ et αdans IR.

a) Que valentP_αf etP_f+g?

Correction : `a l’aide de la formule de la question10), on a par lin´earit´e de la d´erivation et de l’applications f 7→f(λ), et par unicit´e dePf quePαf=αPf, etPf+g=Pf+Pg.

b) Justifier l’existence d’un polynˆomeH de IR[X] tel que :Pf g=PfPg+HΠA.

Correction :par d´efinition il existeh₁eth₂deux ´el´ements deC_I^∞tels quef =P_f+h₁Π_Aetg=P_g+h₂Π_A. On a alorsf g=P_fP_g+ (P_fh₂+P_gh₁+h₁h₂Π_A) Π_A. On en d´eduit quef g=

AP_fP_g. On a aussi par d´efinition f g=

APgf et, par d´efinition de =

A, on en d´eduit que PfPg=

APf g. D’apr`es la question 5) on a alors l’existence deH ∈IR[X] tel quePf g=PfPg+HΠA.

15) a) Montrer que l’applicationS:f 7→f(A) deC_I^∞ dansMn(IR) est un morphisme de IR-alg`ebres.

Correction : par d´efinition S(f) = f(A) =Pf(A). D’apr`es les questions pr´ec´edentes (et le fait que ΠA est annulateur de A) on a directementS(αf) =αS(f), S(f +g) =S(f) +S(g),S(f g) =S(f)S(g). De plus, en utilisant la question8),S(1) =I_n.

Conclusion :S est un morphisme d’alg`ebre.

b) Quel est son noyau ?

Correction : S(f) = 0 si et seulement siP_f(A) = 0, c’est `a dire queP<sub>f</sub> est un polynˆome annulateur deA, donc si et seulement si P<sub>f</sub> est un multiple de Π<sub>A</sub>. Or le degr´e deP<sub>f</sub> est strictement plus petit que celui de Π<sub>A</sub>par d´efinition. On en d´eduit queS(A) = 0 si et seulement siP<sub>f</sub> = 0, c’est `a dire qu’il existeh∈C_I^∞telle quef =hΠ_A.

Conclusion : ker(S) ={hΠA/h∈C_I^∞}.

16) On consid`ere les fonctions cosinus et sinus de IR dans IR, puis les fonctionsf₁:x7→√

xetf₂:x7→ 1

x de IR^∗₊dans IR. On peut ainsid´efinirles matrices cosA, sinA, et mˆeme√

Aet 1

A si lesλj sont dans IR^∗₊.

a) En exploitant le morphisme S, calculer (cosA)²+ (sinA)². Correction : par d´efinition du morphismeS on a :

(cosA)²+ (sinA)²=S(cos²) +S(sin²) =S(cos²+ sin²) =S(1) =In

b) On suppose ici que lesλj sont strictement positifs. Reconnaˆıtre :√ A2

et 1 A.

Correction :si lesλjsont strictement positifs on consid`ereI= IR^∗₊. Les fonctionsf1:x7→√

xetf2:x7→ 1 x y sont correctement d´efinies et sont de classeC^∞. On peut alors d´efinirf1(A) etf2(A) et on a

√ A²

= (S(f₁))²=S f₁²

=S(Id_I) =A

A1

A =S(Id_I)S(f₂) =S(1) =I_n et donc 1

A =A⁻¹ B. Le spectre de f(A)

17) Montrer que l’ensemble not´eMA ={f(A)|f ∈C_I^∞} est une sous-alg`ebre commutativede Mn(IR) et pr´eciser sa dimension.

Correction : c’est l’image par un morphisme d’alg`ebre d’une alg`ebre commutative. D’apr`es la question 11) la famille (Zi,j) en est une base et donc la dimension estm.

18) Montrer que si un ´el´ement deMA est inversible dansMn(IR) alors son inverse est aussi dansMA.

Correction :SiB∈ MA∩GL_n(IR), l’application d´efinie deMAdans lui mˆeme qui `aCassocieBC est lin´eaire et injective (carB est inversible, donc simplifiable).M_A ´etant de dimension finie, cet endomorphisme est ´egalement surjectif : comme la matrice identit´e est ´el´ement deM_A, il existeC∈ M_Atelle que BC=I_n, ce qui prouve que B⁻¹=C∈ M_A.

19) Soitf dansC_I^∞; ´etablir l’´equivalence des ´enonc´es suivants : (1) f(A) est inversible dansMn(IR).

(2) ∀j∈ {1, . . ., r}, f(λj)6=0

Correction :Sif(A) est inversible dans Mn(IR), son inverse est ´el´ement deMA d’apr`es la question pr´ec´edente.

Il existe doncg∈C_I^∞ tel quef(A)g(A) =In, ce que l’on peut ´ecrireS(f g−1) = 0. On en d´eduit quef g−1 est dans le noyau deS, c’est `a dire quef g=

A1. En particulier, on af(λi)g(λi) = 1 pour touti∈ {1, . . . , r}et lesf(λi) sont tous non nuls.

R´eciproquement, supposons que lesf(λi) sont tous non nuls. Si (aj,k) 16j6r

06k6mi−1 est une famille quelconque, il existe un et un seul polynˆomeg de degr´e au plusm−1 tel que :

∀j∈ {1, . . . , r}, ∀k∈ {0, . . . , mj−1}, g^(k)(λj) =aj,k

Pour avoirf(A)g(A) =I_n, il faut et il suffit que l’on aitf g=

A1, c’est `a dire que l’on ait :

∀j∈ {1, . . . , r}, ∀k∈ {0, . . . , m_j−1}, (f g)^(k)(λ_j) =

(1 sij= 0 0 sinon

Pour chaque j, en appliquant la formule de Leibniz, nous obtenons ainsi un syst`eme triangulaire d’inconnues (aj,0, aj,1, . . . , aj,m<sub>j</sub>−1) dont les coefficients diagonaux sont tous ´egaux `a f(λj), qui est non nul. Ces syst`emes lin´eaires ont donc une unique solution : il existe un (et un seul) choix des (aj,k) tel que le polynˆome g associ´e v´erifief(A)g(A) =In, ce qui prouve quef(A) est inversible (dansMA).

20) SiM est une matrice deMn(IR), on note ΛM l’ensemble de ses valeurs propresr´eelles. En exploitant la question19comparer les ensembles : ΛA et Λ_f(A) o`uf est donn´ee dansC_I^∞ . Correction :On a ΛA={λ1, λ2, . . . , λr}. D’autre part, pourλ∈IR :

λ∈Λ_f(A) ⇐⇒ f(A)−λI_n6∈GL_n(IR)

⇐⇒ (f−λ)(A)6∈GLn(IR)

⇐⇒ ∃j∈ {1, . . . , r}, (f−λ)(λ_j) = 0 (d⁰apr`es19.)

⇐⇒ λ∈ {f(λ1), . . . , f(λr)}

donc Λf(A)=f(ΛA).