Collège ST ANNEE UNIVERSITAIRE 2016/2017
Parcours : Licence de Mathématiques
UE : Algèbre bilinéaire et géométrie, 4TMQ405U
Date :09/05/2017 Heure :14h30-17h30 Epreuve : DST Documents : Non autorisés. Calculette : autorisée Epreuve de Mr : Bessières. Sujet : 2 pages
Barême indicatif : exercices 15 points (3+4+4+4), problème 10 points.
Exercice 1 (Questions de cours). Soient E un espace euclidien,e= (e1, . . . , en) une base quel- conque de E etf ∈End(E). Soit G= (hei, eji) la matrice de Gram, et A la matrice de f dans la basee. Démontrer les assertions suivantes :
(a) L’adjointf∗ def a pour matriceA∗=G−1(tA)Gdans la basee. (b) Si f est une projection orthogonale, alorsf est symétrique.
(c) L’endomorphisme f∗◦f est symétrique et positif, et il est défini sif est injectif.
Exercice 2. On travaille dansR4muni du produit scalaire canonique. SoitF le sous-espace vectoriel deR4 engendré par les vecteurs
v1 =
1 1 0 0
, v2 =
1 0
−1 1
, v3 =
0 1 1 1
.
1) Donner la base orthonormée ε = (ε1, ε2, ε3) de F obtenue de (v1, v2, v3) par le procédé de Gram-Schmidt.
2) Calculer les coordonnées dans la base εdu projeté orthogonal surF du point X = (1,1,1,1).
En déduire la distanced(X, F).
Exercice 3. On travaille dans R3 muni du produit scalaire canonique.
1) On considère l’endomorphisme f deR3 représenté dans la base canonique par la matrice A= 1
3
1 2 2
2 1 −2
2 −2 1
Déterminer la nature géométrique de f et préciser les sous-espaces invariants parf.
2) (a) Compléter la matrice B = 1 7
6 3 ·
−2 6 · 3 · ·
en une matrice deSO3(R).
(b) Déterminer l’axe et l’angle non orienté de la rotation de matriceBdans la base canonique.
1
Exercice 4. Soit E= Rn[X]. On pose pourP, Q∈E,hP, Qi=R1
−1P(t)Q(t)dt et on considère f :
E → R[X]
P 7→ 2XP0+ (X2−1)P00
1) Montrer que h·,·iest un produit scalaire surE, et que f est un endomorphisme de E.
2) Montrer que f est symétrique pourh·,·i.
3) Calculer la matrice def, pourn= 2, dans la base(1, X, X2). Que remarquez-vous ? Qu’est-ce que cela dit sur la base(1, X, X2)?
Problème. Soitf une transformation orthogonale d’un espace euclidienE. Le but est de construire une base orthonormée telle que la matrice représentantf dans cette base soit diagonale par bloc, où chaque bloc est une matriceId,−Id, ou
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
. On pose g=f+f∗.
1) Montrer que gest symétrique.
Donc E est somme directe orthogonale des espaces propres deg. On noteλ1, . . . , λm ∈Rles valeurs propres de g, et Vλ1, . . . , Vλm ses espaces propres.
2) Montrer que f∗ =f−1, puis que gcommute avecf. 3) En déduire que les Vλi sont stables parf.
4) Montrer qu’en restriction à tout espace propreVλ deg, on af2+ id =λf. (on pourra calculer f◦g sur Vλ).
5) On suppose V2 6={0}. On considère la décomposition orthogonale : E = ker(f−id)⊕ker(f−id)⊥ (a) Soit x∈E, montrer quef(x)−x∈ker(f −id)⊥.
(b) Soitx∈V2, vérifier que f(x)−x∈ker(f−id)et conclure quef = idsur V2. 6) On suppose V−2 6={0}. En s’inspirant de 5), montrer que f =−idsur V−2. 7) On suppose que Vλ6={0}pour une valeur propre λ6=±2 deg.
(a) Montrer que f n’a pas de vecteur propre surVλ.
(b) En déduire que si v∈Vλ\ {0}, alorsW = vect{v, f(v)} est de dimension2.
(c) Montrer que W est stable parf. (d) Montrer que f|W est une rotation.
(e) SoitW⊥ l’orthogonal de W dansVλ. Montrer queW⊥ est stable parf.
(f) En déduire qu’on a une décomposition orthogonale Vλ =W1⊕ · · ·⊥ ⊕⊥Wr stable parf, où dimWj = 2 etf restreinte à Wj est une rotation.
8) Conclure.
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