TSI 1 TD Lycée Les Lombards
TD . . .
Matrices inversibles : Méthodes de calcul de l’inverse
KdésigneRouC.
Le but de ce TD est d’étudier différentes méthodes permettant de déterminer si une matrice est inversible et de déterminer, le cas échéant, son inverse.
Exercice 1.
1. SoitA=
1 1 0 1
. SoitY =
y1
y2
∈K2. Résoudre dansK2le systèmeAX=Y.
2. SoitA=
3 2 −1
1 −1 1
1 −2 1
et soitY =
y1
y2
y3
∈K3. Résoudre dans K3 le systèmeAX=Y.
On remarque que, siAest inversible, on a
AX=Y ⇔X =A−1Y D’om la méthode suivante :
Pour un n-uplet de paramètres Y = (y1,· · · , yn), on résout le système AX = Y en utilisant la méthode du pivot de Gauss
1. Si le nombre de pivots est strictement inférieur ànalorsAn’est pas inversible.
2. Si le nombre de pivots est égal ànalors l’unique solution du système estX =A−1Y. On trouveA−1par identification.
Méthode 1(Méthode système linéaires).
Exercice 2. Application.
Déterminer, lorsque cela est possible, l’inverse deA dans chacun des cas suivants :
A=
3 2 −1
1 −1 1
2 −4 5
A=
2 2 3
1 −1 0
−1 2 1
A=
1 2 1 2 4 2 1 2 3
A=
1 a2 a a 1 a2 a2 a 1
(a∈R)
On met la matrice que l’on souhaite inverser à gauche et la matrice identité à droite puis on effectueles mêmes opérationssur les deux matrices jusqu’à ce que la matrice de départ soit échelonnée réduite.
Méthode 2(Méthode de la matrice identité).
Exercice 3. Application.
Déterminer, lorsque cela est possible, l’inverse deA dans chacun des cas suivants :
A=
3 2 −1
1 −1 1
2 −4 5
A=
2 2 3
1 −1 0
−1 2 1
A=
1 2 1 2 4 2 1 2 3
A=
1 a2 a a 1 a2 a2 a 1
(a∈R)
Trouver un polynome qui annule la matrice, de terme constant non nul.
Méthode 3.
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Exercice 4.
Soit
A=
0 1 −1
−1 2 −1
1 −1 2
1. Vérifier queA2−3A+ 2I= 0.
2. En déduire queAest inversible et donner son inverse.
Exercice 5.
Soit
A=
3 2 −1
1 −1 1
1 −2 1
1. A l’aide dePythonet de votre fonction puiss_matcréée au TD 24, vérifier que Asatisfait la relation :
A3−3A2+A−5I3= 03
2. On admet ce résultat. En déduire que Aest inversible et déterminerA−1.
3. Vérifier votre calcul deA−1en utilisant la fonctionlinalg.inv(fonction du sous-modulelinalg(algèbre linéaire) denumpy)
Méthode pour les matrices deM2(R) : Exercice 6.
Soit
A=
a b c d
∈ M2(C)
1. Démontrer queA2−(a+d)A+ (ad−bc)I2= 0.
2. Démontrer que siad−bc= 0 alorsAn’est pas inversible.
3. Démontrer que siad−bc6= 0 alorsAest inversible et déterminerA−1. 4. Que représentead−bc?
SiA=
a b c d
∈GL2(R) alorsA−1=det(A)1
d −b
−c a
Méthode 4.
Exemple.
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles :
1 2 4 8
,
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
(avecθ∈R),
1 2 3 4
Remarque :.
De manière générale, une matriceA∈ Mn(R) est inversible ssi det(A)6= 0.
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