1 Déterminer/étudier une loi dans une expérience aléa- toire

(1)

1 Déterminer/étudier une loi dans une expérience aléa- toire

Exercice1. La loi du sauteur en hauteur.

Dans un concours de saut, la probabilité qu’un sauteur passe lan^ème barre est 1 n et est indépendante des sauts précédents.

On noteXla dernière barre que le sauteur a franchi avant d’échouer.

1. Donner la loi deXet vérifier que X

x∈X(Ω)

P(X =x) = 1.

2. Montrer queE(X)et V(X)existent et les calculer.

Exercice2. Étude d’une séquence.

On lance indéfiniment une pièce de monnaie juste (P(«Pile») = P(«Face») = 1/2). On noteP_i(respectivemntF_i) l’événement« On obtient «Pile» (resp. «Face») au i-ème lancer. ». Par commodité, on noteraP₁P₂F₃P₄l’événementP₁∩P₂∩F₃∩P₄, par exemple.

On note X la v.a.r. égale au rang d’apparition de la première séquence consécutive

« Pile-Face », de sorte que l’événementP₁P₂F₃P₄ conduit àX = 3, par exemple.

1. Que vautX(Ω)?

2. Loi de X, première méthode. En décomposant l’événement (X = n) en n−1 événements plus élémentaires, montrer queP(X =n) = (n−1) 1

2ⁿ. 3. Loi deX, seconde méthode. On pose, pourn>2,un = P(X =n).

a)A l’aide du système complet (P₁,F₁), montrer queu_n= 1 2ⁿ +1

2u_n−1.

b)En étudiant la suite(vn)n>2définie parvn = 2ⁿun, exprimerun en fonction den.

c) En déduire la loi deX.

4. CalculerE(X).

Exercice3. Sans espoir ...

Une urne contient une boule noire et une boule blanche.

On procède à une succession de tirages suivant le processus : à chaque tirage, on prélève une boule au hasard et on la remet accompagnée d’une autre boule de la même couleur.

On noteTle temps d’attente du premier tirage d’une boule noire.

1. Déterminer la loi deTet vérifier que X

n∈T(Ω)

P(T =n) = 1.

Indication :∀n∈N^∗, 1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1. 2. Tpossède-t-elle une espérance ?

Exercice 4. Séries.

On effectue une succession indéfinie de lancers indépendants avec une pièce donnant Pile avec la probabilitép∈] 0 ; 1 [et Face avec la probabilitéq= 1−p.

On dit que la première série est de longueurL1 =n>1si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(n+ 1)^ème l’autre.

On définit de manière analogue la longueurL2de la2^ème série.

1. Déterminer la loi deL1 et son espérance.

2. Donner la loi du couple(L1,L2).

3. En déduire la loi deL2 et son espérance.

4. L1 etL2sont-elles indépendantes ?La réponse dépend de p...

Exercice 5. Pile ET face.

On réalise une succession indépendante de lancers d’une pièce équilibrée et on s’arrête dès que l’on a obtenu (au moins) un « pile » et (au moins) un « face ». On noteTle nombre de lancers nécessaires etS(resp.F) le nombre de « pile(s) » (resp. « face(s) ») obtenu.

1. Déterminer la loi deT, son espérance et sa variance.

2. Quelle est la loi deX = T−1? Retrouver alorsE(T)et V(T).

3. Pour quelle raison S et F suivent-elles la même loi ? Déduire leur espérance de celle deT.

4. Déterminer la loi conjointe deSet F.

5. En déduire la loi marginale deSet retrouver son espérance par le calcul.

Exercice 6. Premier succès dans un tirage sans remise.

Une urne contient exactement une boule blanche et n (n > 1) boules noires. On tire successivement et sans remise des boules de l’urne jusqu’à obtention de la boule blanche.

On noteXle nombre total de boules tirées. Déterminer la loi deX.

Exercice 7. Tirages successifs à trois issues possibles.

Une urne contient des boules de couleur pivoine en proportion p, des boules de couleur quetsche en proportionqet des boules rose en proportionr, de sorte quep+q+r= 1.

On supposep, qet r tous non nuls. On effectuentirages avec remise (où n∈N^∗) et on note P (resp.Q et R) le nombre de boules pivoine (resp. quetsche et rose) obtenues au cours de cesntirages.

1. Donner les lois deP,QetR.

2. Que compteP + Q? En déduire la loi usuelle suivie parP + Q.

3. Que dire de la loi deP + Q + R? Exercice 8. La loi de Benford.

Partie I. Lois de Benford discrètes.

SoitNun entier naturel non nul.

1. Déterminer la constante réellec telle que :

(2)

X(Ω) = [[1 ; N]] et ∀k∈X(Ω), P(X =k) =cln

1 + 1 k

puisse définir la loi d’une v.a.r.X.

On suppose maintenant queXest une variable aléatoire suivant la loi ainsi définie, loi appeléeloi de Franck Benford discrètede paramètre N, de logoFB(N).

2. On poseu_N=

N

X

k=1

kln

1 + 1 k

.

a)Montrer queuN= N ln(N + 1)−ln(N!).

b)À l’aide de la formule de StirlingN! ∼

N→+∞

√

2πNN^Ne^−N, montrer queuN ∼

N→+∞

N. et en déduire un équivalent simple deE(X)lorsqueN tend vers+∞.

PartieII. Loi du premier chiffre significatif.

On rappelle que, sia∈] 0 ; +∞[,log(a) désigne lelogarithme décimal dea, défini parlog(a) = ln(a)

ln(10).

1. Donner, à l’aide de la fonctionlog, la loi et l’espérance deXlorsque Xsuit la loi FB(9).

2. En Syldavie, le nombre d’habitantsX d’une ville tirée au hasard suit une loi de Benford de paramètre999 999.

a)Donner une valeur approchée de la population moyenne des villes de Syldavie.

On appellepremier chiffre significatif d’un nombre non nul le premier chiffre non nul dans son écriture décimale. Ainsi, le premier chiffre significatif de2327est2.

b)On noteY le premier chiffre significatif deX.

Justifier que[Y = 1] =S5 k=0

10^k 6X62×10^k−1

et en déduireP(Y = 1).

c) Montrer queY suit la loi de BenfordFB(9).

2 Techniques classiques : transferts, mini(ou maxi)-mums, sommes

Exercice9. Somme de binomiales et formule de Vandermonde

On considère un schéma de Bernoulli de probabilité de succès p ∈ ] 0 ; 1 [ et m et n deux entiers naturels non nuls. On noteXle nombre de succès au cours desm premières expériences etYle nombre de succès au cours desnsuivantes.

1. Donner la loi deX, deY et deX + Y.

2. Soitk∈[[0 ;m+n]].

a)Justifier queP(X + Y =k) =

k

X

i=0

P(X =i)P(Y =k−i).

b)En déduire la formule de Vandermonde :

k

X

i=0

m i

n k−i

=

m+n k

Exercice 10. Minimum de deux géométriques indépendantes Soitp∈] 0 ; 1 [et q= 1−p.

1. a)Soit X une variable de support N^∗. Montrer que X suit la loi géométrique de paramètrepsi, et seulement si,

∀k∈N^∗, P(X>k) =q^k−1.

b)SoitXetYdeux variables indépendantes de même loi géométrique de paramètrep, etZ = min(X,Y). Montrer à l’aide de ce qui précède queZsuit une loi géométrique de paramètre à préciser.

2. On dispose d’une pièce d’1eet d’une pièce de 2edont la probabililté de pile est p(pour chacune des pièces). On les lance simultanément, puis on répète ce lancer en notant X la première apparition de pile sur la pièce de 1 e et Y la première apparition de pile sur la pièce de 2e.

a)Quelle est la loi deX? Et celle de Y?

b)On appelle, pour i ∈ N^∗, succès Si l’événement « le i^ème lancer des deux pièces donne au moins un pile ». Quelle est la probabilité deSi?

c)Quelle est la loiZ, rang du premier pile obtenu (sans tenir compte de la pièce qui l’a fourni) ?

d)Expliquer pourquoi vous venez de redémontrer la propriété de la question 1).

3. SoitX et Y deux variables indépendantes de loi respectiveG(p₁)et G(p₂), avec p₁, p₂∈] 0 ; 1 [.

Montrer queZ = min(X,Y)suit une loi géométrique de paramètre à préciser.

Exercice 11. Minimum et maximum de deux uniformes indépendantes.

Une urne contientnboules numérotées de1 àn. On tire dans cette urne successivement avec remise deux boules, en notant X et Y les numéros de la première et de la seconde boule tirée respectivement. On note enfin :I = inf(X,Y)etS = sup(X,Y).

1. Déterminer les lois deXet deY. Que vautE(S + I)?

2. CalculerP(S6k)et en déduire la loi de S, ainsi que son espérance.

3. CalculerP(I>k)et en déduire la loi de I.

4. Déterminer la loi conjointe deSet deI.

Exercice 12. Somme d’uniformes indépendantes

1. Soient X, Y et Z trois v.a.r. indépendantes et de même loiU([[1 ;n]]).

(3)

Montrer que :∀k∈[[2 ;n+ 1]], P(X + Y =k) =k−1 n² . 2. Montrer que :∀k∈[[n+ 2 ; 2n]], P(X + Y =k) =2n−k+ 1

n² . 3. En déduire que :P(X + Y = Z) = n−1

2n² .

4. Je lance simultanément trois dés non truqués. Quelle est la probabilité que le numéro indiqué sur l’un des dés soit la somme des deux autres ?

Exercice13. Espérance par antirépartition SoitNun entier naturel non nul.

1. SoitXune variable dont le support est [[0 ; N]]. Montrer que

N

X

k=1

P(X>k) =E(X).

2. Une urne contientNboules numérotées de1àN. On effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès qu’on obtient un numéro supérieur ou égal au numéro de la boule précédemment tirée. On noteXNle nombre total de tirages effectués.

Ainsi, avecN = 6, si les tirages donnent successivement5,2, puis4, alorsX₅= 3.

a)DéterminerXN(Ω).

b)Montrer que, pour toutkde[[2 ; N]],P(XN> k) = N

k

N^k . c) En déduire que :E(X_N) =

1 + 1

N N

. d)Montrer que lim

N→+∞E(XN) =e.

Exercice14. Pair ou impair

1. SoitX une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètreλ(ouλ >0, comme d’habitude).

a) Justifier que P(”X est paire”) =

+∞

X

k=0

P(X = 2k) et écrire de façon analogue P(”Xest impaire”).

b)Montrer que :P(”Xest impaire”)<P(”Xest paire”).

2. Étudier la propriété analogue lorsqueXsuit la loi géométrique de paramètrep(ou p∈] 0 ; 1 [, comme d’habitude).

3 Conditionnements et couples

Exercice 15. Conditionnement : loi de Poisson et loi binomiale.

1. a)Montrer que si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes de lois de Poisson P(l) et P(m)respectivement, alorsX + Ysuit la loi de Poisson de paramètre`+m.

b)Montrer que si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes de lois de Poisson P(l) et P(m)respectivement, alors la loi conditionnelle deXsachant(X + Y =n)est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Montrer que siY est une v.a.r. suivant la loi PoissonP(l)et si la loi deXcondi- tionnée par(Y =n) est la loi binomialeB(n, p), alors X suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

3. Un corps radioactif émet, en un an, Y électron(s), Y suivant une loi de Poisson P(1 000). Chaque électron a un probabilité 0,1 d’avoir un effet biologiquement désastreux. On note X le nombre d’électrons émis par ce corps et ayant un tel effet en un an. Quel est la loi deX et que vaut son espérance ?

Exercice 16. X et Y−X indépendantes.

1. Soitp∈] 0 ; 1 [etq= 1−p. SoitYune variable vérifiantY(Ω) =Net, pour tout ndeN,P(Y =n) =q²(n+ 1)pⁿ.

Vérifier que les conditions précédentes définissent bien une loi de variable aléatoire.

2. Étudier l’existence, et calculer éventuellement,E(Y).

3. SoitXune variable telle que, pour toutkdeN, P[Y=n](X =k) =





 1

n+ 1 si 06k6n

0 sinon

. a)Déterminer la loi deX.

b)Montrer queY−X suit la loi deX.

c) Montrer queY−X etXsont indépendantes.

Exercice 17. Des échecs indépendants des succés ...

SoitNune variable aléatoire prenant ses valeurs dansN. On suppose que, pour toutnde N,P(N =n)6= 0.

LorsqueNvautn, on réalise une succession denépreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succésp(p∈] 0 ; 1 [). SoitSle nombre de succés etEle nombre d’échec(s).

Partie I. Lorsque N suit une loi de Poisson ...

Dans cette partie, on suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ où λ∈] 0 ; +∞[.

1. Soitn∈N. Que vaut l’espérance conditionnelleE(S|N =n)?

(4)

2. En déduire l’espéranceE(S)deS.

3. Déterminer de mêmeE(E).

4. Soitnetj deux entiers deN. Que vautP(N=n)(S =j)? (On distinguera bien les deux cas possibles)

5. En déduire la loi deS.

6. Déterminer de même la loi deE.

7. Montrer enfin queSet Esont indépendantes.

PartieII. Lorsque S et E sont indépendantes ...

On suppose dans cette partie queSetEsont indépendantes.

1. Soientu, vetwtrois suites réels telles que : ∀(j, k)∈N², (j+k)!w_j+k=u_jv_k. Montrer queuetv sont géométriques de même raison.

2. En calculant de deux façons P(N=j+k)((S = j)∩(E = k)), montrer qu’il existe deux suites réellesuetv telles que :∀(j, k)∈N², (j+k)!P(N =j+k) =ujvk. 3. Justifier que les suitesuetv sont géométriques, de même raison strictement po-

sitive que l’on noteraλ.

4. En déduire les lois deS et deE, puis celle deN.

4 Espérances conditionnelles, espérance totale

Exercice18. Bluff.

Je tire 4 cartes successivement avec remise dans un jeu de 32 cartes. Quand j’ai tiré au moins une carte rouge, j’annonce le nombre de cartes rouges obtenues et quand je n’en ai pas tirée, je bluffe et annonce un nombre au hasard entre 1 et 4.

On noteXle nombre de carte(s) rouge(s) réellement tirée(s) etY le nombre annoncé.

1. Rappeler la loi de X et justifier que E(X)6E(Y)sans chercher à calculer cette dernière espérance.

2. a)Déterminer la loi deY sachant[X =k] pourkdans[[0 ; 4]].

b)En déduireE(Y|[X =k])pourkdans[[0 ; 4]].

c) En déduire finalement E(Y).

3. À l’aide du système complet([X = 0],[X6= 0]), justifier que, pour toutkde[[1 ; 4]], P(Y =k) = 1

64+P(X =k).

4. J’annonce 4 cartes rouges. Quelle est la probabilité que je bluffe ? Et si j’annonce 2 cartes rouges ?

Exercice19. Sommes très aléatoires.

Une urne contientn(n∈N^∗) jetons numérotés de 1 àn. On tire une poignée de jetons au hasard dans l’urne. On noteYle nombre de jetons tirés et on suppose queY,→U([[0 ;n]]).

On noteXla somme des numéros figurant sur les jetons tirés, en convenant queX = 0si Y = 0.

Pourkdans[[1 ;n]], on noteXk la variable indicatrice de l’événement« le k^ème jeton est dans la poignée tirée ».

1. a)Pourj dans[[0 ;n]], quelle est la loi deX_k conditionnée par[Y =j]? b)En déduireE(Xk)puisE(X).

2. a)Déterminer la loi deXk et retrouverE(X).

b)Les variables(X_k)ⁿ_k=1 sont-elles mutuellement indépendantes ? Exercice 20. Expérience en deux temps.

On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’obtention pour la deuxième fois de «Pile». À chaque lancer, la probabilité d’obtenir «Pile» estp. On noteXle nombre de «Face» obtenus avant ce deuxième «Pile».

1. Déterminer la loi deX, vérifier que X

xi∈X(Ω)

P(X =x_i) = 1, montrer queX admet une espérance et la calculer.

Dans une urne, on disposeX + 1boules numérotées de 0 ànet on en tire une au hasard. On noteY son numéro.

2. a)CalculerP_[X=n](Y =k)pour(k, n)dansN². En déduire E(Y|X =n) puis l’existence et la valeur deE(Y).

b)Déterminer la loi deY, puis montrertrès rapidement queYadmet une espérance et une variance et les calculer.

Exercice 21. Bouclez-la !

Le petit Nicolas regarde passer les voitures à un carrefour pendant une heure. Le nombre Xde véhicules passant dans l’heure suit une loi de Poisson de paramètre 200. Pour chaque voiture, la probabilité que le conducteur n’ait pas bouclé sa ceinture est1/10, et est indé- pendante d’un véhicule à l’autre. Le petit Nicolas noteCet Nle nombre de conducteurs ceinturés et non-ceinturés respectivement.

1. Donner la loi deNconditionnée parX, c’est-à-dire les probabilitésP(X=n)(N =k) pour(k, n)∈N².

2. En déduire les espérances conditionnelles E(N|[X = n]), puis montrer que E(N) existe et la calculer.

3. Montrer queNsuit une loi de Poisson. Quelle est la loi deC? 4. Montrer queCetNsont indépendantes.

Exercice 22. Giratoire.

À un rond point, tout véhicule doit céder la passage aux véhicules provenant de la gauche.

Le nombre de véhicules se présentant au rond-point en une heure suit une loi de Poisson de

(5)

paramètreλ= 200. La probabilité qu’une véhicule quelconque refuse de céder le passage est de1/20. L’agent Banlaire verbalise tous les véhicules ayant refusé de céder le passage, avec une amende de90euros pour le contrevenant.

1. Déteminer le montant total des P.V. que l’agent peut espérer en une heure de verbalisation.

2. Montrer que le nombre de P.V. suit une loi de Poisson, et retrouver ainsi le montant espéré.

Exercice23. Un dé et un jeu de cartes.

Je lance un dé équilibré à six faces numérotées de1 à 6. Je tire alors, dans un jeu de 54 cartes, autant de cartes que le numéro obtenu sur le dé. SoitDle numéro obtenu au lancer du dé etRle nombre de roi(s) obtenu(s) lors de ce(s) tirage(s).

1. Déterminer l’espérance deRen supposant que les tirages ont lieuavec remise.

2. On suppose dans cette question que les tirages ont lieu sans remise.

a) On supppose que D = k (oùk ∈ [ 1 ; 6 ]). Soit, pour i ∈ [[1 ;k]], R_i la variable indicatrice de l’événement« lai^èmecarte tirée est un roi ». Justifier, en exprimant Rà l’aide desR_i, queE(R|[D =k) = 2k/27.

b)En déduireE(R).

Exercice24. Pascal : trouver l’espérance sans la loi.

J’effectue une succession de lancers d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir

« pile » est p. Je note X₁ et X₂ les rangs d’apparition du 1^er et du 2^ème piles respectivement.

1. Quelles sont la loi et l’espérance deX1?

2. a)Soitk∈N^∗. Que vautE(X₂−k|[X₁=k])? En déduireE(X₂|[X₁=k]).

b)Montrer queX2 admet une espérance et la calculer.

3. On continue indéfiniment les lancers et on note, pour`∈N^∗,X_` le rang d’apparition du`^ème pile. Montrer, par récurrence sur`, que∀`∈N^∗, E(X_`) =`/p.

Exercice25. Stratégie pour QCM.

Un examen se déroule sous forme d’un questionnaire à choix multiple (QCM) où on pose20questions, chaque question comportant4 réponses possibles dont une seule est la bonne. Une bonne réponse est récompensée par3points tandis qu’une mauvaise réponse est pénalisée par−1 point. Le programme de l’examen porte sur 100 questions dont on tirera aléatoirement les20de l’examen.

On considère un candidat maîtrisant une proportion p(p∈ [ 0 ; 1 ]) du programme.

On noteNla note obtenue par ce candidat.

1. On noteXle nombre de questions posées à l’examen et maîtrisées par le candidat.

a)Soit, pour tout ide[[1 ; 20]],Xi la variable indicatrice de l’événement :« le candidat maîtrise la question numéro i ». Indiquer la loi de chaqueXi ainsi que son espérance.

b)En déduire l’espérance deX.

2. Dans cette question, on suppose que le candidat ne répond pas aux questions qu’il ne maîtrise pas. DéterminerE(N).

3. Dans cette question, on suppose que le candidat répond au hasard aux questions qu’il ne maîtrise pas. On note Y le nombre de bonnes réponses données par le candidat parmi les20−X questions qu’il ne maîtrise pas.

a)En supposant[X =k](pour kfixé dans[[0 ; 20]]), quelle est la loi de Y? b)Calculer, pourkdans[[0 ; 20]],E(Y|(X =k))et en déduireE(Y).

c) En déduireE(N). Conclusion ? Exercice 26. Ne quittez pas ...

Une secrétaire doit contacternclients (n∈N^∗) par téléphone. Elle tente de les appeler les uns après les autres. Pour chaque client, la probabilité que l’appel téléphonique abou- tisse est p(p∈] 0 ; 1 [) et est indépendante des autres clients. À l’issue desn tentatives, on noteX1 le nombre de clients que la secrétaire a réussi à contacter.

Un peu plus tard, la secrétaire tente à nouveau d’appeler lesn−X1clients non joints lors de la première vague d’appels. On suppose que la probabilité d’aboutir de chaque tentative reste égale à pet indépendante des autres, et on note X2 le nombre de clients contactés au cours de cette deuxième vague d’appels.

La secrétaire procède ensuite à une 3^ème vague d’appels, puis une 4^ème,... et ainsi de suite jusqu’à avoir contacté lesnclients. On suppose qu’au cours de chacune des ces vagues d’appels, la probabilité d’aboutir de chaque tentative reste égale àpet indépendante des autres.

PourkdansN^∗, on noteX_kle nombre d’appels ayant abouti au cours de lak^èmevague etY_k= X₁+· · ·+ X_k le nombre total de clients contactés à l’issue de lak^ème vague.

1. Donner la loi deY₁ ainsi que son espérance.

2. a)Soit k un entier de[[0 ;n]]. Quelle est la loi de X2 conditionnée par l’événement [Y1=k]? En déduireE(X2|Y1=k).

b)Montrer alors queE(Y2) =np(2−p).

3. a)On poseu₀= 0, et, pour toutmdeN,u_m= E(Y_m). À l’aide deE(X_m+1|Ym=k), montrer que, pour toutm deN,u_m+1= (1−p)u_m+np.

b)En remarquant que(um)_m∈N est une suite arithmético-géométrique, calculerum

en fonction den, petm et en déduire lim

m→+∞E(Ym).

c)On supposep= 1/2. Calculer le nombre minimum de vagues d’appels nécessaires pour espérer joindre au moins90%des clients.

(6)

5 Indications de réponses.

Réponses non rédigées. Légende⁽¹⁾ :

Égalité... ... obtenue par application⁽²⁾

déf.= d’une définition

dén.= d’un dénombrement

lin.= de la linéarité

transf.

= du théorème de transfert

FPT= de la formule des probabilités totales

FPC= de la formule des probabilités composées

FET= de la formule des espérances totales

indép.

= d’une indépendance

géo.= d’une série géométrique

exp.= d’une série exponentielle Exercice1. Loi du sauteur en hauteur

1. X(Ω) =N^∗,P(X =n)^FPC= 11 2 1 3. . . 1

n n

n+ 1 = n (n+ 1)!. 2. E(X + 1)^transf.=

+∞

X

n=1

n(n+ 1) (n+ 1)! =

+∞

X

n=1

1 (n−1)!

exp.= e,E(X)^lin.= e−1.

E(X²−1)^transf.=

+∞

X

n=1

(n−1)n(n+ 1) (n+ 1)! =

+∞

X

n=2

1 (n−2)!

exp.= e,E(X²)^lin.= e+ 1,V(X) = 3e−e².

Exercice2. Étude d’une séquence 1. X(Ω) =N⊂ {0; 1}.

2. [X =n] = ∪

06j6n−2(F₁. . .F_jP_j+1. . .P_n−1F_n).

Et lesn−1événements constituant cette décomposition sont deux à deux incom- patibles, et tous de probabilité1/2ⁿ par indépendance des résultats des lancers...

3. a)PP1(X =n) =PP1(P₂. . .P_n−1F_n) = 1/2ⁿ⁻¹ et, en réfléchissant à la signification des événements.PF1(X =n) =P(X =n−1).

AinsiP(X =n)^FPT= 1 2

1 2ⁿ⁻¹ +1

2P(X =n−1).

(1). Vérifiez les hypothèes ! ! !

b)v_n = 2ⁿ( 1 2ⁿ+1

2u_n−1) = 1+v_n−1,vest arithmétique de raison1,v_n= (n−2)+v2= n−1 etun= vn

2ⁿ = n−1 2ⁿ . 4. E(X)^déf.=

+∞

X

n=2

n(n−1) 1 2ⁿ

géo.= 1 4

2

(1−1/2)³ = 4.

Exercice 3. Sans espoir 1. P(T =n)^FPC= 1

2 2

3. . .n−1 n

1

n+ 1 = 1 n(n+ 1).

n

X

k=1

P(T =k) =

n

X

k=1

1 k− 1

k+ 1 = 1− 1

n+ 1 −−−−−→

n→+∞ 1.

2. X

n>1

1

n+ 1 diverge,E(X)n’existe pas.

Exercice 4. Séries

1. L₁(Ω) =N^∗ et, par incompatibilité,

P(L1=k) =P(P1∩P2∩ · · · ∩Pk∩Fk+1) +P(F1∩F2∩ · · · ∩Fk∩Pk+1)

=p^kq+qp^k. Les séries X

k

kp^k−1 et X

k

kq^k−1 étant absolument convergentes, E(L₁)existe et E(L1) =pq 1

q² +pq 1 p² =p

q +q p

2. ∀(i, j)∈(N^∗)²,P((L₁,L₂) = (i, j)) =P(P₁∩P₂∩ · · · ∩P_i∩F_i+1∩F_i+2· · · ∩F_i+j∩ Pi+j+1) +P(F1∩F2∩ · · · ∩Fi∩Pi+1∩ · · · ∩Pi+j∩Fi+j+1)

=pⁱq^jp+qⁱp^jq=pⁱ⁺¹q^j+p^jqⁱ⁺¹. 3. P(L2=j)^FPT=

+∞

X

i=1

pⁱ⁺¹q^j+p^jqⁱ⁺¹

=p²q^j1

q +p^jq²1

p=p²q^j−1+p^j−1q² E(L2) =p² 1

p² +q² 1

q² = 1 + 1 = 2 indépendante dep...

4. P((L1,L2) = (1,1)) =p²q+pq²=pq(p+q) =pq.

P(L1= 1)P(L2= 1) = 2pq(p²+q²).

• SupposonsL₁ etL₂indépendantes.

2(p²+q²) = 1 ⇒ 2(2p²−2p+ 1) = 1 ⇒ 4p²−4p+ 1 = 0 ⇒ (2p−1)² = 0, c’est-à-direp= 1/2.

• Réciproquement, si p= 1/2, alors, par 1.,2. & 3., ∀(i, j)∈(N^∗)², P((L1,L2) = (i, j)) =· · ·= (1/2)^i+j et

P(L₁=i)P(L₂=j) = (1/2)ⁱ(1/2)^j =P((L₁,L₂) = (i, j)).

L1 etL2sont indépendantes.

(7)

Exercice5. Pile ET face 1. T(Ω) = [[2,+∞[[.

NotonsP_i etF_i les événements « obtenir pile (respectivement face) aui^ème lancer

» (on aF₁= P₁...)

(P1,F1)est un système complet d’événements, et pour toutk>2, P(T =k)^FPT= P(P1)PP₁(T =k) +P(F1)PF₁(T =k)

=P(P1)P(P2∩P3∩ · · · ∩Pk−1∩Fk) +P(F1)P(F2∩F3∩ · · · ∩Fk−1∩Pk)

=1 2 × 1

2^k−1 +1 2 × 1

2^k−1 = 1 2^k−1. E(T) =

+∞

X

k=2

k(1/2)^k−1^géo.= 1

(1−1/2)² −1 = 4−1 = 3.

2. X(Ω) =N^∗ et

∀k∈N^∗,P(X =k) =P(T−1 =k) =P(T =k+ 1) = 1 2^k = 1

2 k−11

2. X,→G(1/2).

CommeT = U + 1 et E(U) = 2, V(U) = 2, E(T) et V(T) existent : E(T) = 3, V(T) = 2.

3. Comme la pièce n’est pas truquée, pile et face ont la même probabilité, etS etF ont le même loi.

En particulier,E(S) =E(F). Et commeS + F = T,E(S) +E(F) =E(T) = 3. Donc E(S) =E(F) = 3

2.

4. Pour donnerP((S,F) = (i, j)), il faut distinguer les cas suivants :

• (1,1)qu’on peut obtenir de 2 façons :P= 1/2;

• (i,1)aveci>2(une façon) et(1, j)avecj >2 :P= 1/2ⁱ et P= 1/2^j;

• tous les autres cas (impossibles) :P= 0.

5. P(S = 1) = 1/2 + 1/4 = 3/4et pouri>2,P(S =i) = 1/2ⁱ⁺¹ Exercice6. Premier succès dans un tirage sans remise

Trois idées ... au moins !

• En notantBi l’événement « une boule blanche sort aui^ème tirage », [X =k] = B1∩ B2· · · ∩Bk et à l’aide de la formule des probabilités composées, pourk∈[[1 ;n]] 1: P(X =k) =P(B1)PB₁(B2). . .PB₁∩···∩Bk−1(Bk)

= n

n+ 1 ×n−1

n × · · · × n+ 1−k n+ 2−k

1

n+ 1−k = 1 n+ 1.

• En prenant pourΩtoutes les mots den+ 1lettres contenant exactement nBet1 N, chaque mot correspond à une façon de vider l’urne et les mots sont équiprobables. Il y a un mot favorable à l’événement[X =k], d’oùP(X =k) = 1

n+ 1.

• Numérotons les boules blanches de1 à net enumérons les ordres de tirages possibles de k boules : pour effectuer un tirage, je choisis k boules parmi n+ 1 (

n+ 1 k

choix possibles) et à chaque fois j’ordonne ceskboules (k!permutations possibles).

Parmi ces tirages équiprobables, énumérons les tirages favorables à [X = k] : je choisis k−1 boules blanches parminque j’ordonne ensuite. Ainsi

P(X =k) =

(k−1)!

n k−1

k!

n+ 1 k

= n!(k−1)!k!(n+ 1−k)!

(n+ 1)!(k−1)!k!(n−(k−1))! = 1 n+ 1.

• Très intuitivement, il n’y a aucune raison pour que la boule noire sorte plus à une place qu’à une autre, donc son rang est l’un parmi lesn+ 1possibles de façon équiprobable...

Manifestement,X,→U([[1 ;n+ 1]]).

Exercice 7.

1. P,→B(n;p),Q,→B(n;q)etR,→B(n;r).

2. P + Q compte le nombre de succès « boule pivoine ou quetsche », P + Q ,→ B(n;p+q), ou en remarquant queP + Q = n−R compte le nombre d’échecs « boule non rose»,P + Q,→B(n; 1−r).

3. P + Q + R =nest une variable constante.

Exercice 8. La loi de Benford

Partie I. Lois de Benford discrètes.

1.

N

X

k=1

ln

1 + 1 k

=

N

X

k=1

ln k+ 1

k

=

N

X

k=1

ln(k+ 1)−

N

X

k=1

ln(k) = ln(N + 1) par téléscopage. Donc c= 1

ln(N + 1). 2. a)u_N =

N

X

k=1

kln

1 + 1 k

=

N

X

k=1

kln(k + 1)−

N

X

k=1

kln(k) =

N+1

X

k=2

(k −1) ln(k)−

N

X

k=1

kln(k) =

N

X

k=2

((k − 1) ln(k) −kln(k)) + N ln(N + 1)− 0 = −

N

X

k=2

ln(k) + N ln(N + 1).

uN= N ln(N + 1)−ln(N!).

b)uN = N ln(N + 1)−ln(N!) = ln

(N + 1)^N+1 (N + 1)!

. À l’aide de la formule de Stir-

(8)

ling, (N + 1)^N+1 (N + 1)! ∼

N→+∞

(N + 1)^N+1e^N+1

p2π(N + 1)(N + 1)^N+1 ∼

N→+∞

e^N+1

p2π(N + 1). Le quo- tient tendant vers+∞,uN ∼

N→+∞ln e^N+1 p2π(N + 1)

!

N→+∞∼ (N + 1−1

2ln(2π(N + 1))) ∼

N→+∞Ncar1−1

2ln(2π(N + 1)) = o

N→+∞(N). Donc uN ∼

N→+∞N.

c) CommeE(X) = uN

ln(N + 1) et ln(N + 1) ∼

N→+∞ln(N), E(X) ∼

N→+∞

N ln(N). PartieII. Loi du premier chiffre significatif.

1. ∀k∈[[1 ; 9]], P(X =k) = log

1 + 1 k

et E(X) =9 ln(10)−ln(9!)

ln(10) = 9−log(9!).

2. a)CommeX,→FB(999999),E(X)' 999999

ln(999999) '72382, ....

Une valeur approchée de la population moyenne des villes de Syldavie est72400.

b) Puisque X(Ω) = [[1 ; 999999]], [Y = 1] peut se décomposer ainsi : [Y = 1] = [X = 1]∪[10 6 X 6 19]∪ · · · ∪[100 000 6 X 6 199 999], ce qui s’écrit aussi

[Y = 1] =S5 k=0

10^k 6X62×10^k−1 .

Notons que, ∀(a, b) ∈ [[1 ; 999 999]]²,P(a 6 X 6 b) =

b

X

k=a

cln(k+ 1)−ln(k) = 1

ln(N + 1)ln b+ 1

a

. Alors P(Y = 1) =

5

X

k=0

P

10^k 6X62×10^k−1

(par in- compatibilité). P(Y = 1) =

5

X

k=0

1 ln(10⁶)ln

2×10^k 10^k

= 1

6 ln(10)

5

X

k=0

ln(2) = 6 ln(2)

6 ln(10). P(Y = 1) = log(2) = log(1 + 1/1).

c) Soitd∈[[1 ; 9]]. Comme précédemment, P(Y =d) =

5

X

k=0

P

d×10^k 6X6(d+ 1)×10^k−1

(par incompatibilité).

P(Y = d) =

5

X

k=0

1 ln(10⁶)ln

(d+ 1)×10^k d×10^k

= 1

6 ln(10)

5

X

k=0

ln(1 + 1/d) = 6 ln(1 + 1/d)

6 ln(10) .

Pourd∈[[1 ; 9]],P(Y =d) = log(1 + 1/d). Y suit la loi de BenfordFB(9).

Exercice 9. Somme de binomiales et formule de Vandermonde 1. X,→B(m;p),Y,→B(n;p),X + Y,→B(m+n;p).

2. a)P(X + Y =k) =P

∪

06i6k [X =i]∩[Y =k−i]

incomp.

=

k

X

i=0

P([X =i]∩[Y =k−i])^indép.=

k

X

i=0

P(X =i)P(Y =k−i) b)En exprimant les trois lois binomiales de cette expression :

m+n k

p^kq^m+n−k=

k

X

i=0

m i

pⁱq^m−i

n k−i

p^k−iq^n−k+i

p^kq^m+n−k

m+n k

=p^kq^m+n−k

k

X

i=0

m i

n k−i

Et puisquep6= 0et q6= 0,

m+n k

=

k

X

i=0

m i

n k−i

Exercice 10. Minimum de deux géométriques indépendantes

1. a)• SiXest géométrique,[X>k]signifie exactement qu’il n’y a que des échecs au cours desk−1 premières expériences, donc par indépendance,P(X>k) =q^k−1.

• Si ∀k∈N^∗, P(X>k) =q^k−1, alors

P(X =k) =P(X>k)−P(X>k+ 1) =q^k−1−q^k=q^k−1(1−q) =q^k−1p:Xsuit G(p).

b)∀k∈ N^∗, P(Z>k) =P([X>k]∩[Y >k]) ^indép.= P(X>k)P(Y>k) = q^2k−2 = q²^k−1

doncZ,→G 1−q² . 2. a)X,→G(p), Y,→G(p).

b)On notantUi et Di les événements « la pièce d’un (respectivement deux) euro(s) donne pile aui^ème lancer »,

P(Si) =P(Ui∪Di)^indép.= P(Ui) +P(Di)−P(Ui∩Di) =p+p−p²= 2p−p². c) Z,→G 2p−p²

.

d)Z = min(X,Y), X,Y,→G(p)et sont indépendantes, et 1−q² = 1−(1−p)² = 2p−p²...

3. Avec une méthode analogue à la question 1.,Z,→G(1−q₁q₂).

Et analogue à la question 2,P(Si) =p1+p2−p1p2 doncZ,→G(p1+p2−p1p2).

On se rassure avec :1−q1q2= 1−(1−p1)(1−p2) =p1+p2−p1p2.

(9)

Exercice11. Minimum et maximum de deux uniformes indépendantes 1. X, Y,→U([[1 ;n]]),S + I = X + Y =⇒E(S + I) =E(X + Y)^lin.= n+ 1.

2. P(S6k) =k²/n²,P(S =k) = (2k−1)/n²,E(S) = (n+ 1)(4n−1)

6n .

3. P(I>k) = (n−k+ 1)²/n²,P(I =k) = (2n−2k+ 1)/n²,E(I) = (n+ 1)(2n+ 1)

6n ,

.

4. ∀i, j∈[[1 ;n]], p_i,jP([I =i]∩[S =j]) =







0 sii > j 1/n² sii=j 2/n² sii < j .

Exercice12. Somme d’uniformes indépendantes On explique que par incompatibilité puis indépendance, P(X + Y =k) = X

i∈X(Ω)etk−i∈Y(Ω)

P(X =i)P(Y =k−i)

Reste à déterminer l’ensemble desine donnant pas une probabilité nulle : (i∈X(Ω)et k−i∈Y(Ω))⇔(16i6net16k−i6n)

⇔(16i6netk−n6i6k−1)

⇔max(1, k−n)6i6min(n, k−1)

1. 26k6n+ 1 doncmax(1, k−n) = 1etmin(n, k−1) =k−1, P(X + Y =k) =

k−1

X

i=1

P(X =i)P(Y =k−i) =

k−1

X

i=1

1

n² =k−1 n² . 2. n+ 26k62ndoncmax(1, k−n) =k−netmin(n, k−1) =n,

P(X + Y =k) =

n

X

i=k−n

P(X =i)P(Y =k−i) =

n

X

i=k−n

1

n² = 2n−k+ 1 n² . 3. À l’aide du SCE([Z =k])16k6n,

P(X + Y = Z) =

n

X

k=1

P((Z =k)∩(X + Y = Z)) =

n

X

k=1

P((Z =k)∩(X + Y =k))

indép.

=

n

X

k=1

P(Z =k)P(X + Y =k) = 1 n

n

X

k=1

k−1 n² = 1

n³

n−1

X

i=0

i= 1 n³

(n−1)n

2 =

n−1 2n² .

4. Avecn= 6, en notantX,Y etZles numéros des 3 dés, P((X + Y = Z)∪(X + Z = Y)∪(Y + Z = X))^incomp.= P(X + Y = Z) +P(X + Z = Y) + P(Y + Z = X) = 3× 6−1

2×6² = 5 24. Exercice13. Espérance par antirépartition

1.

N

X

k=1

P(X>k) =

N

X

k=1 N

X

i=k

P(X =i) = X

16k6i6N

P(X =i)

=

N

X

i=1 i

X

k=1

P(X =i) =

N

X

i=1

iP(X =i) =E(X)

2. a)XN(Ω) = [[1 ; N + 1]]car si on commence par la boule numéro 1, XN= 1et si on tire toutes les boules par ordre strictement décroissant, puis n’importe laquelle.

b)[X_N> k]est l’événement : lors des k premiers tirages, les boules sont sorties en ordre strictement décroissant. Il y a N^k tirages possibles, et

N k

tirages favorables : pour construire un tirage favorable, il suffit de choisirknombres distincts parmi les N numéros possibles et de les ordonner en sens décroissant (il n’y a qu’une façon de le faire).

P(X_N> k) = N

k

/N^k.

c) E(X_N) =

N+1

X

k=1

P(X_N>k) =

N

X

k=0

P(X_N>k) =

N

X

k=0

N k

1 N

^k

Newton

=

1 + 1 N

^N . d)N ln(1 + 1/N) ∼

N→+∞N×1/N ∼

N→+∞1 donc lim

N→+∞E(X_N) =e.

Exercice 14. Pair ou impair ?

1. P(X paire) − P(X impaire) =

+∞

X

k=0

e^−λ λ^2k (2k)! −

+∞

X

k=0

e^−λ λ^2k+1 (2k+ 1)! = e^−λ

+∞

X

n=0

(−λ)ⁿ n!

exp.= e^−λe^−λ=e^−2λ>0.

2. P(X paire) − P(X impaire) =

+∞

X

k=0

q^2k−1p −

+∞

X

k=0

q^2kp = p

+∞

X

n=0

(−q)ⁿ⁻¹ ^géo.=

−p q

1 1 +q <0.

Exercice 15. Conditionnement : loi de Poisson et loi binomiale

Exercice 16. X et X-Y indépendantes 1. q²

+∞

X

n=0

(n+ 1)pⁿ^géo.= q²(1 q²) = 1.

(10)

2. q²p

+∞

X

n=0

n(n+ 1)pⁿ⁻¹^géo.= q²p2 q³ =2p

q = 2 q−2.

3. a)P(X =k)^FPT=

+∞

X

n=k

1

n+ 1q²(n+ 1)pⁿ^géo.= q²p^k 1

1−p =qp^k. b)P(Y−X =k)^FPT=

+∞

X

n=0

P([X =n]∩[Y−X =k]) =

+∞

X

n=0

P([X =n]∩[Y =n+k]) =

+∞

X

n=0

P[Y=n+k](X =n)P(Y =n+k) =

+∞

X

n=0

1

n+k+ 1q²(n+k+ 1)p^n+k

géo.= q²p^k 1

1−p=qp^k.

c)P([Y−X =k]∩[X =j]) =P([Y =k+j]∩[X =j]) =P[Y=k+j](X =j)P(Y =k+j)

= 1

k+j+ 1q²(k+j+ 1)p^k+j =qp^kqp^j =P(Y−X =k)P(X =j).

Exercice17. Des échecs indépendants des succès...

Exercice18. Bluff

1. X,→B(4; 1/2) etX6Y =⇒E(X)6E(Y).

2. a)Sachant [X = 0], Y suit U([[1 ; 4]]) et sachant [X = k] avec k ∈ [[1 ; 4]], Y est constante, égale àk.

b)E(Y|[X = 0]) = 5/2 et, pourk >0,E(Y|[X =k]) =k.

c) E(Y)^FET= 5

2P(X = 0) +

4

X

k=1

kP(X =k) = 5 2× 1

16+E(X) =69 32. 3. P(Y =k)^FPT= 1

16×1

4+P(X =k)×1.

4. P[Y=4](X = 0) = P([X = 0]∩[Y = 4])

P(Y = 4) = P[X=0](Y = 4)P(X = 0) P(Y = 4) =

1 4×₁₆¹

1

4+₁₆¹ =1 5, de mêmeP[Y=2](X = 0) =

1 4×₁₆¹

1

64+₁₆⁶ = 1 25. Exercice19. Sommes très aléatoires

1. a)P[Y=j](Xk = 1)^dén.=

j−1 n−1

j n

= j

n : sachant[Y =j],Xk suitB(j/n).

b)E(Xk)^FET=

n

X

j=0

j n× 1

n+ 1 = 1

2,E(X)^lin.=

n

X

k=1

kE(Xk) =n(n+ 1)

4 .

2. a)P(X_k= 1)^FPT=

n

X

j=0

j n× 1

n+ 1 = 1

2,X_k ,→B(1/2).

b)P _n

∩

k=1[X_k = 1]

=P(Y =n) = 1 n+ 1 6=

1 2

ⁿ

=

n

Y

k=1

P(X_k= 1).

Exercice 20. Expérience en deux temps

Exercice 21. Bouclez-la !

1. Conditionnée parX =n, la loi deN estB(n; 1/10).

2. E(N|[X = n]) = n/10. La série X

n>0

P(X = n)n/10 converge et sa somme est E(X)/10:E(N) = 200/10 = 20.

3. P(N =k)^FPT=

+∞

X

n=0

P(X =n)P[X=n](N =k)

=

+∞

X

n=k

e⁻²⁰⁰200ⁿ n!

n k

(1/10)^k(9/10)^{n−k m}^=n−k= e⁻²⁰⁰200^k 10^kk!

+∞

X

n=0

200^m(9/10)^m m!

=e⁻²⁰20^k

k! et N,→P(20).

Par analogie,C,→P(180).

4. P((C,N) = (i, j)) =P((X =i+j)∩(N =j)) =P(X =i+j)P[X=i+j](N =j)

=e⁻²⁰⁰200^i+j (i+j)!

i+j j

(1/10)^j(9/10)ⁱ

=e⁻²⁰⁰20^j j!

180ⁱ

i! =P(C =i)P(N =j).

Exercice 22. Giratoire

Exercice 23. Un dé et un jeu de cartes

D =résultat du dé.D,→U([[1 ; 6]]). Sachant[D =k], RsuitB(k; 2/27):E(N|[R =k]) = 2k/27.

E(N)^FET=

10

X

k=0

2k

27P(D =k) = 2

27E(D) = 7 27.

Exercice 24. Pascal : trouver l’espérance sans la loi 1. X1,→G(p), E(X1) = 1/p.

2. a)Sachant[X1=k], X2−k ,→G(p),E(X2−k|X1=k) = 1/p, E(X2|[X1−k])^lin.= k+ 1/p.

(11)

b)E(X₂)^FET=

+∞

X

k=1

k+1

p

P(X₁=k)^transf.= E

X₁+1 p

lin.

= 2 p. c) Récurrence sur`...

Exercice25. Stratégie pour QCM

1. a)Il y a100 questions et100pquestions maîtrisées par le candidat, donc P(Xi= 1)^dén.= 100p

100 =p, d’oùXi,→B(p)etE(Xi) =p.

b)E(X) =E(X1+· · ·+ X20)^lin.= E(X1) +· · ·+E(X20) = 20p.

2. E(N) =E(3X)^lin.= 3E(X) = 60p.

3. a)Sachant [X =k], YsuitB(20−k; 1/4).

b)E(Y|[X =k]) = (20−k)1

4 = 5−k 4. E(Y)^FET=

20

X

k=0

5−k

4

P(X =k)^transf.= E

5−X 4

lin.

= 5−E(X)

4 = 5−5p.

c)E(N) =E(3(X+Y)−(20−X−Y)) =E(4X+4Y−20)^lin.= 4×20p+4×(5−5p)−20 = 60p.

Répondre ou ne pas répondre, telle est la question ...

Exercice26. Ne quittez pas ...

1. Y1,→B(n;p)etE(Y1) =np.

2. a)Sachant [Y₁=k],X₂ suitB(n−k;p). E(X₂|[Y₁=k]) = (n−k)p.

b)E(X2)^FET=

n

X

k=0

(n−k)pP(Y1=k)^transf.= pE(n−Y1) =p(n−E(Y1)) =np(1−p), E(Y2) =E(X1+ X2)^lin.= np(2−p).

3. a)E(Xm+1|[Ym=k]) = (n−k)p,E(Xm+1)^FET=

n

X

k=0

(n−k)pP(Ym=k)^transf.= pE(n−Y_m) = np−pu_m et E(Y_m+1) = E(Y_m+ X_m+1) ^lin.= u_m+np−pu_m = (1−p)um+np(on peut vérifier cette formule y compris pourm= 0).

b)um+1−n= (1−p)um+n(p−1) = (1−p)(um−n),um−n= (1−p)^m(u0−n), u_m=n(1−(1−p)^m).

m→+∞lim E(Y_m) =n(cette quête n’est pas vaine).

c) n(1−1/2^m) > 0,9n ⇔ ¹₂m

6 10¹ ⇔ 2^m > 10 ⇔ m > 4 car m ∈ N et 2³<10<2⁴.