Le but de cet exercice est de déterminer tous les groupes d’ordrep2q

DMA – École normale supérieure (2014/2015) 4 novembre 2014

Partiel Algèbre 1 Responsable: Mr O. DEBARRE

Important : vous avez droit de consulter le polycopié et d’utiliser sans démonstration ses résultats (sauf ceux des exer- cices ou des TD). Si vous voulez utiliser des résultats hors du cours, il faut les démontrer (sauf mention explicite du contraire).

Exercice 1.Soientpetqdes nombres premiers vérifiantp < qetp-q−1. Le but de cet exercice est de déterminer tous les groupes d’ordrep²q. SoitGun tel groupe.

a) Montrer queGcontient un uniquep-Sylow ; on le noteraP.

b) Montrer queGcontient un uniqueq-Sylow ; on le noteraQ.

c) Montrer queP etQsont distingués dansG.

d) Montrer On poseP Q:={xy|x∈P, y∈Q}. MontrerP Q =G(Indication : on pourra commencer par montrer queP Qest un sous-groupe deG).

e) MontrerP∩Q={e}.

f) En déduire que tout élément dePcommute avec tout élément deQ.

g) En déduire queGest abélien.

h) Déterminer tous les groupes d’ordrep²q(à isomorphisme près).

Exercice 2.Soientpetqdes nombres premiers vérifiantp < qet soitGun groupe d’ordrep^mqⁿ, avec0≤m≤2et n≥0. Le but de cet exercice est de montrer queGest résoluble.

a) Sim= 0oun= 0, montrer queGest résoluble.

b) Sim= 1etn >0, montrer queGest résoluble (Indication :on pourra compter lesq-Sylow deG).

c) Sim= 2etn >0, montrer queGn’est pas simple (Indication :on pourra compter lesq-Sylow deGet, dans le cas p= 2etq= 3, considérer l’action deGsur l’ensemble des3-Sylow deG), puis queGest résoluble.

Exercice 3.SoitGun sous-groupe fini deGLn(Q). On pose

H := X

M∈G

M ·Zⁿ⊂Qⁿ.

a) Montrer queH est un groupe abélien libre de type fini. On noterson rang, c’est-à-dire l’entierrtel queH 'Z^r. b) Montrerr≥n.

c) Montrerr≤n.

d) En déduire queGest conjugué dansGLn(Q)à un sous-groupe deGLn(Z).

e) Soitpun nombre premier et soitM ∈GL_n(Z)tel queM^p=I_netM ≡I_n (mod 3). MontrerM =I_n.

f) En déduire quenétant fixé, il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de sous-groupes finis deGL_n(Q).

g) N’y a-t-il qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de sous-groupes finis deGLn(R)?

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Corrigé du partiel Algèbre 1 Responsable: Mr O. DEBARRE

Exercice 1.Soientpetqdes nombres premiers vérifiantp < qetp-q−1. Le but de cet exercice est de déterminer tous les groupes d’ordrep²q. SoitGun tel groupe.

a) Montrer queGcontient un uniquep-Sylow ; on le noteraP.

Le nombre dep-Sylow diviseq, donc c’est1 ouq. Comme il est ≡ 1 (modp)et quep - q−1, il n’y a qu’un p-Sylow.

b) Montrer queGcontient un uniqueq-Sylow ; on le noteraQ.

Le nombre deq-Sylow divisep², donc c’est1,poup². Comme il est ≡1 (modq)et quep < q, c’est1oup². Si c’estp²,qdivisep²−1 = (p−1)(p+ 1), doncq=p+ 1, ce qui contreditp-q−1.

c) Montrer quePetQsont distingués dansG.

CommeP est l’uniquep-Sylow, il est distingué dansG. De même pourQ.

d) On poseP Q:={xy|x∈P, y∈Q}. MontrerP Q=G(Indication : on pourra commencer par montrer queP Q est un sous-groupe deG).

Six, x⁰ ∈Pety, y⁰∈Q, on a

(xy)(x⁰y⁰)⁻¹=xyy⁰⁻¹x⁰⁻¹= (xx⁰⁻¹)(x⁰yy⁰⁻¹x⁰⁻¹).

CommeQCG, on ax⁰yy⁰⁻¹x⁰⁻¹ ∈ Q, et ce produit est donc dansP Q. CommeP Qcontiente, c’est donc bien un sous-groupe deG. Il contient bien sûrPetQ.

Par le théorème de Lagrange, son ordre est divisible par celui deP, c’est-à-direp²et par celui deQ, c’est-à-direq, donc parp²q. CommeGest d’ordrep²q, on en déduitP Q=G.

e) MontrerP∩Q={e}.

L’ordre du groupeP∩Qdoit diviser les ordres des groupesP etQ, c’est-à-direp²etq. C’est donc 1.

f) En déduire que tout élément deP commute avec tout élément deQ.

Six∈P ety∈Q, alorsxyx⁻¹∈QcarQCG, donc[x, y] =xyx⁻¹y⁻¹∈Q. De même,[x, y]∈P. Par e), on en déduit[x, y] =e, doncxetycommutent.

g) En déduire queGest abélien.

On a vu en cours queP etQsont abéliens. Par d), tout élément deGpeut s’écrirexy, avecx∈P ety∈Q. Par f), on a

xyx⁰y⁰=xx⁰yy⁰ =x⁰xy⁰y=x⁰y⁰xy.

Le groupeGest donc abélien.

h) Déterminer tous les groupes d’ordrep²q.

Les groupes d’ordrep²qsont abéliens par g) ; d’après le cours, ils sont isomorphes soient àZ/pZ×Z/pqZ, soit à Z/p²qZ.

Exercice 2.Soientpetqdes nombres premiers vérifiantp < qet soitGun groupe d’ordrep^mqⁿ, avec0≤m≤2et n≥0. Le but de cet exercice est de montrer queGest résoluble.

a) Sim= 0oun= 0, montrer queGest résoluble.

Sim= 0oun= 0, le groupeGest unp-groupe ; il est donc résoluble par le cours.

b) Sim= 1etn >0, montrer queGest résoluble (Indication :on pourra compter lesq-Sylow deG).

Le nombre deq-Sylow divisep, donc c’est1oup. Comme il est ≡1 (modq)et quep < q, c’est1. Il y a un unique q-SylowS; il est donc distingué dansG. Le groupeSest unq-groupe et le quotientG/Sest unp-groupe ; ils sont donc résolubles par le cours. De nouveau par le cours,Gest résoluble.

c) Sim= 2etn >0, montrer queGn’est pas simple (Indication :on pourra compter lesq-Sylow deGet, dans le cas p= 2etq= 3, considérer l’action deGsur l’ensemble des3-Sylow deG), puis queGest résoluble.

Le nombrenqdeq-Sylow divisep^m, donc c’est1,poup². Comme il est ≡1 (modq)et quep < q, c’est1oup². Sinq = 1, on conclut comme en b).

Sinq =p², on am= 2etq|p²−1 = (p−1)(p+ 1)etq=p+ 1, doncp= 2etq= 3et|G|= 4·3ⁿ. Le groupe Gagit transitivement par conjugaison sur l’ensemble à 4 éléments des3-Sylow deG. On en déduit un morphisme non trivialG→S4.

Si ce morphisme est injectif, on a4·3ⁿ≤4!, doncG→^∼ S₄, qui n’est pas simple. Sinon, le noyau est un sous-groupe distingué propre deG, qui n’est donc pas simple.

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On en déduit par récurrence sur|G|queGest résoluble, puisque, siN CG, les ordres deN et deG/N peuvent aussi s’écrirep^mqⁿ, avec0≤m≤2etn≥0.

Exercice 3.SoitGun sous-groupe fini deGLn(Q). On pose

H := X

M∈G

M ·Zⁿ⊂Qⁿ.

a) Montrer queH est un groupe abélien libre de type fini. On noterson rang, c’est-à-dire l’entierrtel queH 'Z^r. Le groupe abélienHest engendré par lesM·ei, où(e1, . . . , en)est la base canonique deZⁿ,1≤i≤netM décrit G. Il est donc de type fini. Comme c’est un sous-groupe deQⁿ, il ne contient pas d’élément d’ordre fini autre que 0, donc il est libre par le cours.

b) Montrerr≥n.

CommeH contientZⁿ, il est de rang≥n.

c) Montrerr≤n.

Sidest un entier non nul tel quedMsoit à coefficients entiers pour toutM ∈G, on aH ⊂¹_dZⁿ'Zⁿ, doncr≤n.

d) En déduire queGest conjugué dansGL_n(Q)à un sous-groupe deGL_n(Z).

SoitB = (a1, . . . , an)une base deH. C’est aussi une base deQⁿ; soitP ∈ GLn(Q)la matrice de passage de la base canonique versB. On a ainsiH =P ·Zⁿ. SiM ∈G, on aM ·H ⊂H et de mêmeM⁻¹·H ⊂H, donc M·H =H. Ceci entraîne

M·P·Zⁿ=P·Zⁿ,

c’est-à-direP⁻¹M P ∈ GL_n(Z). La conjugaison parP⁻¹ envoie doncGisomorphiquement sur un sous-groupe de GL_n(Z).

e) Soitpun nombre premier et soitM ∈GLn(Z)tel queM^p=InetM ≡In (mod 3). MontrerM =In. ÉcrivonsM =I_n+ 3^mN, avecm≥1etN ∈Mn(Z)telle queN6≡0_n (mod 3), et développons :

In =M^p= (In+ 3^mN)^p=In+p3^mN+p(p−1)

2 3^2mN²+· · ·+ 3^pmN^p. Cela entraîne3^m|pN, doncp= 3etm= 1. On écrit la même formule

In=In+ 9N+ 27N²+ 27N³, qui mène encore à une contradiction. DoncN= 0.

f) En déduire quenétant fixé, il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de sous-groupes finis deGLn(Q).

Par d), tout sous-groupe fini deGL_n(Q)est conjugué (donc isomorphe) à un sous-groupe finiGdeGL_n(Z). Mon- trons que la restriction àGdu morphismeϕ: GLn(Z)→GLn(Z/3Z)obtenu par réduction modulo 3 des coefficients des matrices est injectif. Soitml’ordre d’un élémentMdeker(ϕ). Sim6= 1, soitpun nombre premier divisantm. On a alors(M^m/p)^p =Inet(M^m/p)^p ≡In (mod 3). La question e) entraîneM^m/p=In, ce qui contredit la définition de l’ordre. On a doncm= 1etM =In. La restrictionϕ|Gest donc injective. Le groupeGest alors isomorphe à un sous-groupe deGL_n(Z/3Z)qui, étant fini, n’a qu’un nombre fini de sous-groupes.

g) N’y a-t-il qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de sous-groupes finis deGLn(R)?

Non : il existe des sous-groupes finis deGL2(R)(donc aussi deGLn(R)) d’ordre arbitrairement grand, comme les groupes diédrauxDm.