Contrôle continu 3 : mardi 19 mai 2015
Durée : 20 minutes.La calculatrice Université de Bordeaux est autorisée. Aucun document autorisé.
Exercice : DST Juin 2009 .SoitF~ l’arc paramétré définie parx(t) =t2+2
t ety(t) =t2+ 1 t2. 1. Préciser le domaine d’étude et la classe de dérivabilité de l’arc.
2. Pourt∈R∗, calculerx0(t)ety0(t).
3. Déterminer quandx0s’annule puis étudier le signe dex0.
4. En remarquant quet4−1 = (t2−1)(t2+ 1), déterminer quandy0 s’annule puis étudier le signe dey0 (attention au signe det3).
5. Construire le tableau de variation deF~ en précisant les limites aux bornes du domaine de définition, les valeurs det oùxetys’annulent.
6. Bonus (1 point) :Quelle la nature du pointM(x(1);y(1))?
Correction du rattrapage du CC 3 (mardi 19 mai 2015).
Exercice : DST Juin 2009.
1) Les fonctionst7→x(t)ett7→y(t)sont des fonctions rationnelles. Elles sont définies et de classeC∞surR∗. 2) Soitt∈R∗. On a x0(t) = 2t− 2
t2 ety0(t) = 2t− 2 t3. 3) Soitt∈R∗, alorsx0(t) = 0⇔2t= 2
t2 ⇔t3= 1⇔t= 1. Doncx0s’annule uniquement ent= 1.
Soitt∈R∗alorsx0(t)≥0⇔2t≥ 2
t2 ⇔t3 ≥1 (cart2 ≥0)⇔t≥1. Donc x0(t)≥0⇔t≥1 et x0(t)≤0⇔t≤1.
4) Soitt ∈R∗, alorsy0(t) = 0 ⇔ 2t2 = 2
t3 ⇔ t4 = 1 ⇔ t4−1 = 0 ⇔ (t2−1)(t2+ 1) = 0. Ort2+ 1> 0donc (t2−1)(t2+ 1) = 0⇔t2−1 = 0⇔t=−1out= 1. Doncy0s’annule ent=−1ett= 1.
Soitt∈R∗, alorsy0(t)≥0⇔2t≥ 2
t3 ⇔t≥ 1 t3.
•Sit >0alorsy0(t)≥0⇔t4 ≥1 (cart3 ≥0)⇔(t2−1)(t2+ 1)≥0. Ort2+ 1>0donc
pourt >0, y0(t)≥0⇐⇒(t2−1)(t2+ 1)≥0⇐⇒t2−1≥0⇐⇒t2 ≥1⇐⇒ |t|=t≥1.
•Sit <0alorsy0(t)≥0⇔t4 ≤1 (cart3 ≤0)⇔(t2−1)(t2+ 1)≤0. Commet2+ 1>0alors
pourt <0, y0(t)≥0⇐⇒(t2−1)(t2+ 1)≤0⇐⇒t2−1≤0⇐⇒t2 ≤1⇐⇒ |t|=−t≤1⇐⇒t≥ −1.
Donc y0(t)≥0⇔t∈[−1; 0[∪[1; +∞[ et y0(t)≤0⇔t∈]− ∞;−1]∪]0; 1].
Remarque :On aurait pu remarquer quet7→y(t)est paire et limiter l’étude deyà]0; +∞[...
5) On en déduit le tableau de variations suivant (calculs des limites à faire) :
t −∞ −1 0 1 +∞
x0(t) − − 0 +
x(t) +∞
H HjH−1
HH H j−∞
+∞
@
@
@ R3
+∞
y(t) +∞
@
@
@ R 2
+∞ +∞
@
@
@ R2
+∞
y0(t) − 0 + − 0 +
6) Après avoir calculé F~00 et F~(3), on trouve F~0(1) = (0; 0), ~F00(1) = (6;−4) et F~(3)(1) = (−12; 24). Comme F~00(1) = (6;−4)6= (0; 0), on ap= 2et commeF~00(1) = (6;−4)etF~(3)(1)ne sont pas colinéaires, alorsq = 3. Donc le pointM(3,2)est un point de rebroussement de première espèce.
