Ann´ee universitaire 2019-2020 Semestre 2 - SMIA
Alg`ebre 3 (SMIA).
S´erie 4.
Exercice 1. Soit A, B, C les matrices :
A=
2 1 3 2
B =
1 2 0 3 1 4
C =
−1 −1 0
1 4 −1
2 1 2
D´eterminer les produits d´efinis deux `a deux de ces matrices.
Exercice 2. Soit A=
1 0 2 0 −1 1 1 −2 0
.
(1) Calculer la matrice A3−A.
(2) En d´eduire que A est inversible et d´eterminer A−1.
Exercice 3. Soit f l’application de R3[X] dans R[X] d´efinie par:
f(P(X)) =P(X+ 1) +P(X−1)−2P(X).
(1) Montrer que f est lin´eaire et que son image est incluse dans R3[X].
(2) Donner la matrice de f dans la base 1, X, X2, X3.
(3) D´eterminer le noyau et l’image de f. Calculer leur dimension respective.
(4) Soit Q un ´el´ement de l’image de f. Montrer qu’il existe un unique P ∈ R3[X] tel que : f(P) =Q et P(0) =P0(0) = 0.
Exercice 4. Soient trois vecteurse1, e2, e3formant une base deR3. On noteφl’application lin´eaire d´efinie par φ(e1) =e3, φ(e2) = −e1+e2+e3 et φ(e3) =e3.
(1) Ecrire la matrice´ A de φ dans la base(e1, e2, e3). D´eterminer le noyau de cette application.
(2) On pose f1 = e1−e3, f2 =e1 −e2, f3 = −e1+e2 +e3. Calculer e1, e2, e3 en fonction de f1, f2, f3. Les vecteurs f1, f2, f3 forment-ils une base de R3 ?
(3) Calculer φ(f1), φ(f2), φ(f3)en fonction de f1, f2, f3. ´Ecrire la matrice B de φ dans la base (f1, f2, f3) et trouver la nature de l’application φ.
(4) On pose P =
1 1 −1
0 −1 1
−1 0 1
. V´erifier que P est inversible et calculer P−1. Quelle relation lie A, B, P et P−1 ?
Exercice 5. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (i, j, k) de R3 est :
M =
0 1 0 0 0 1 1 −3 3
.
(1) Montrer que f est un automorphisme de R3 et d´eterminer f−1.
(2) D´eterminer une base(e1, e2, e3)deR3 telle quef(e1) = e1, f(e2) = e1+e2 etf(e3) = e2+e3. (3) D´eterminer P la matrice de passage de (i, j, k) `a (e1, e2, e3) ainsi que P−1.
(4) En d´eduire fn(i), fn(j) et fn(k) pour n entier relatif.
Exercice 6. Soient A =
1 2 1 3 4 1 5 6 1 7 8 1
, B =
2 2 −1 7 4 3 −1 11 0 −1 2 −4 3 3 −2 11
. Calculer rg(A) et rg(B).
D´eterminer une base du noyau et une base de l’image pour chacune des applications lin´eaires associ´ees fA et fB.
Exercice 7. Soit a ∈R et A la matrice suivante A=
1 0 a 0 a 1 a 1 0
(1) Calculer le d´eterminant de A et d´eterminer pour quelles valeurs de a la matrice est in- versible.
(2) Calculer A−1 lorsque A est inversible.
Exercices suppl´ementaires.
Exercice 8. D´eterminer le rang des matrices suivantes, pour a r´eel, A=
2 1 2 1 1 3 2 1 3
, B =
1 0 a a 1 0 0 a 1
, C =
1 0 a a a 1 0 a 0 a 1 a
Exercice 9. Soit f :R4 →R3 l’application lin´eaire dont la matrice dans les bases canoniques de R3 et R4 est
A =
1 2 −1 0 2 1 3 1 2 1 3 1
D´eterminer le rang de f, une base de Im(f) et une base de Ker(f).
Exercice 10. Soit E =K6[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e ≤6. Soit f l’application lin´eaire de E dans E d´efinie par: f(P(X)) =P(X+ 1).
(1) Quelle est la matrice A de f dans la base 1, X, . . . , X6 ?
(2) Soitn un entier. Calculer la puissanceAn. Indication : on pourra commencer par chercher l’application fn.
Exercice 11. On consid`ere l’espace vectorielE =K2[X]des polynomes de degr´e≤2et l’application de d´erivation D:E →E d´efinie par: D(P(X)) = P0(X).
i) Ecrire la matrice de l’application D dans la base canonique B = (1, X, X2).
ii) D´eterminer le noyau et l’image de D.
iii) Ecrire la matrice de D dans la base B0 ={1,(X−1),(X−1)2}.
iv) Ecrire la matrice de passage de B `a B0.
Exercice 12. D´eterminer pour quelles valeurs de α, la matrice suivante est inversible et calculer son inverse.
B =
1 1 0 0
2 −4 2 1
0 α 1 0
0 0 2 −4
