L Option Les équations à une inconnue

(1)

1

^ère

L Option Les équations à une inconnue

Objectif : revoir et consolider les méthodes de 2^e I. Equations du premier degré

1°) Exemple

Résoudre dans  l’équation : ⁵



^x^¹



^²^³^x^



^x^⁷



^.

  5x 5 23x x 7 5x 3 2x7 5x2x 7 3



3x10 10 x 3 Réponse

Il y a 2 façons différentes au choix.

1^ère possibilité :

La solution de l’équation est 10 3. 2^e possibilité :

10 S 3

  

 

2°) Méthode générale

 On constate que l’équation est du 1^er degré.

 On développe et on simplifie chaque membre.

 On regroupe

« tous les x avec les x à gauche »

« tous les nombres avec les nombres » à droite.

 On calcule x.

 On écrit la réponse.

2 II. Equations de degré supérieur ou égal à 2

1°) Exemple 1

Résoudre dans  l’équation :



³^x^^{1 2}



^x^⁵



^⁰^.

3x 1 0 ou 2x 5 0 3x1 ou 2x 5

1

x3 ou 5 x 2 Réponse 1^ère possibilité :

Les solutions de l’équation sont 1 3 et 5

2. 2^e possibilité :

1 5

3; 2

S  

  

 

L’ordre n’a pas d’importance.

2°) Exemple 2



^x^^{3 4}



^x^¹

 

^ ^x^³



^x^⁵



^.



_^x^^{3 4}



^x^¹

 

^_^x^³



^x^⁵



^⁰



x3

 

4x1

 

 x5



0



^x^^{3 4}



^x^{  }¹ ^x ⁵



^⁰



^x^{3 3}



^x⁶



⁰ 3 0

x  ou 3x 6 0 3

x ou 3x 6 3

x ou x 2 Réponse 1^ère possibilité :

Les solutions de l’équation sont 3 et –2.

2^e possibilité :



^{3 ;} ²



S 

(2)

3 3°) Exemple 3



^x¹



²⁴.



^x¹



² ⁴ ⁰



^x^¹



²^²²^⁰



^x ^{1 2}



^x ^{1 2}



⁰



^x^¹



^x^³



^⁰

1 0

x  ou x 3 0 1

x ou x 3 Réponse 1^ère possibilité :

Les solutions de l’équation sont 1 et –3.

2^e possibilité :



^{1 ;} ³



S 

4°) Méthode générale

 On constate que l’équation est de degré supérieur ou égal à 2.

 On regroupe tout dans le membre de gauche (« on fait tout passer à gauche »).

 On factorise le membre de gauche.

 On achève la résolution.

5°) Remarque

Lorsque la méthode générale ne s’applique pas, on développe tout.

III. Equations avec dénominateurs 1°) Exemple 1

Résoudre dans  l’équation : 1 7

2 3 5

x x

  x

  .

3 3

6

x 2 14 6 x

 30

6

 x 5x11 30 x 5x30x 11

25x 11

   11 x25

4 Réponse

Les solutions de l’équation sont 11 25. 2^e possibilité :

11 S 25

  

 

2°) Exemple 2

Résoudre dans  l’équation : 3 1 4 2 x x

 

 . Valeur interdite :

Il faut que x 4 0 x4

4 est valeur interdite de l’équation.

On résout l’équation pour x4 ou dans  \ { 4 }.

3 1

4 x x





 

2 4

4 x x

 

 3x 1 2x8 3x 1 2x8 3x2x  8 1

9 x 

–9 n’est pas valeur interdite.

Réponse 1^ère possibilité :

La solution de l’équation sont – 9.

2^e possibilité :

 

9 S 

(3)

5 2°) Méthode générale

 Lorsque l’inconnue figure au dénominateur, on cherche la ou les valeurs interdites.

 On « met » tous les termes au même dénominateur.

 On résout.

 On regarde si les solutions trouvées sont ou non valeurs interdites.

 On écrit la réponse.

IV. Les équations-pièges 1°) Exemple 1

Résoudre dans  l’équation : ³



^x¹



⁵^x



²^x⁴



.

3x 3 5x2x4 3x 3 3x4 3x3x 4 3 0x1 0 1 Impossible Réponse 1^ère possibilité :

L’équation n’a pas de solution dans .

2^e possibilité : S 

2°) Exemple 2

Résoudre dans  l’équation : x²3.

3

x ou x  3 Réponse

Les solutions de l’équation sont 3 et  3.

2^e possibilité :



^{3 ;} ³



S 

6 3°) Exemple 3

Résoudre dans  l’équation : x² 5. Impossible car un carré n’est jamais négatif.

Réponse 1^ère possibilité :

L’équation n’a pas de solution dans .

2^e possibilité : S 

4°) Exemple 4

Résoudre dans  l’équation : 3x2



x1



6



x8



.

3x2x   2 6 x 8

2 2

x   x 2 2 xx  2x0

0 x2

0 x

Réponse

La solution de l’équation est 0.

ou

 

⁰

S

(4)

7 V. Résolution de problèmes concrets

On doit toujours respecter les 4 étapes obligatoires en écrivant les titres.

 Choix de l’inconnue

Soit x le poids de pommes de terre.

 Mise en équation + condition sur x x positif ou nul ;

x entier naturel.

 Résolution de l’équation + condition sur x

On ne doit pas écrire l’ensemble des solutions.

 Réponse finale

Ne pas parler de x dans la conclusion.

Réponse au problème posé par une phrase.

 Vérification facultative (sauf si l’énoncé le demande).

+ contrôle de la solution.