C ´ ´
A. . Espace vectoriel
A. .1. Généralités
Dans ce cours, nous utilisons desscalaires(ici, des nombres réels ou complexes) et desvecteurs, c.-à-d. des éléments d’un ensembleEappeléespace vectoriel, sur lequel sont définies deux opérations :
• l’addition entre deux vecteurs~aet~b, notée~a+~b;
• lamultiplication d’un vecteur~apar un scalaireλ, notéeλ×~a,λ·~aouλ ~a.
Le résultat de ces deux opérations est un vecteur.
Levecteur nul,~0, fait notamment partie deE.
L’espace vectorielEest ditréeloucomplexeselon la nature des scalaires.
Une famille den (∈N) vecteurs ~ui,i∈[1...n] non nuls de
Z
Eest ditelibre(on dit également qu’ils sont indépendants) si aucun d’entre eux ne peut s’exprimer comme combinaison linéaire des autres.Si ce n’est pas le cas, ils constituent une familleliée. En particulier, si~b=λ ~a(vecteurscolinéaires, ou encoreparallèles),~aet~bsont liés.
A. .2. Bases, composantes d’un vecteur
Sitoutvecteur~adeEpeut s’exprimer comme une combinaison linéaire de cesnvecteurs indépen- dants, c.-à-d.
~a=
n
X
i=1
ai ~ui,
les~ui forment unebaseB de l’espace vectorielE. Cette combinaison linéaire estunique. Lesai sont lescomposantes(∗1)de~adans cette base. On note~a=(a1, . . .,an)B ou
~a=
a1
...
an
B
.
S’il n’y a pas d’ambiguïté, on peut omettre l’indiceB.
Toute autre famille denvecteurs indépendants deEconstitue une base deEet toute base deEa le même nombrend’éléments, ladimensionde l’espace vectoriel.
Une fois la base choisie, nous pouvons raisonner sur les composantes. On a ainsi (a1, . . .,an)+(b1, . . .,bn)=(a1+b1, . . .,an+bn),
1. Le terme de « composantes » est aussi utilisé pour désigner les ai~ui. Pour éviter la confusion, certains appellent
« coordonnées » de~alesai.
où l’addition dans le membre de gauche porte sur les vecteurs et celle dans le membre de droite est l’addition usuelle de réels.
De même,
λ·(a1, . . .,an)=(λa1, . . ., λan),
où le produit dans le membre de gauche est entre un réel et un vecteur et celui dans le membre de droite est la multiplication usuelle de réels.
Enfin, quelle que soit la base,
~0=(0, . . .,0).
A. . Espace a ffi ne
A. .1. Généralités
Soient un ensembleE, un espace vectorielEet une application associant à tout couple (A,B) d’élé- ments deEun vecteur, noté−→
AB, deE. Eest unespace affinesi les conditions suivantes sont vérifiées :
• ∀(A,B,C)∈ E3,−→
AB+−→ BC=−−→
AC(relation de Chasles) ;
• ∀A∈ Eet∀~v∈E,∃!B∈ Etel que−→
AB=~v.
On en déduit que −−→
AA=~0 et−→
BA=−−→
AB.
Les éléments deEsont appelés despoints.
A. .2. Repères et coordonnées
Notonsn la dimension deE. Sin=0,Eest un point ; sin=1, c’est une droite ; sin=2, c’est un plan.
On appellerepèreR=(O,B) de l’espace affineEl’association d’un pointO(l’originedu repère) de Eet d’une baseB =(~u1, . . ., ~un) deE (on parle aussi parfois de trièdre siE a trois dimensions). Les coordonnées(x1, . . ., xn)R d’un pointMdeEdans ce repère sont les composantes duvecteur position
~rB
−−→
OM=x1 ~u1+· · ·+xn ~undans la base (~u1, . . ., ~un).
SiAetBsont des points deE, de coordonnées respectives (x1(A), . . .,xn(A))R et (x1(B), . . .,xn(B))R, on a
−→AB=
x1(B)−x1(A) ...
xn(B)−xn(A)
B
.
A. . Espace euclidien
Soient~aet~bdeuxvecteursquelconques d’un espace vectoriel réelE. Leproduit scalaireentre~aet
~b, noté(∗2)~a·~b, est une opération dont le résultat est un réel et qui possède les propriétés suivantes :
• ~b·~a=~a·~b;
• (~a+~b)·~c=(~a·~c)+(~b·~c) ;
• (λ ~a)·~b=λ·(~a·~b) ;
• ~a·~a>0 ;
• ~a·~a=0 si et seulement si~a=~0.
Un espace vectoriel réel de dimension finie est diteuclidiens’il est muni d’un produit scalaire. De même, un espace affine est dit euclidien si l’espace vectoriel sous-jacent est euclidien. L’espace usuel de la physique classique peut être considéré comme un espace affine euclidien réel de dimension 3 (cf.
§ II.).
Si~a·~b=0, on dit que~aet~bsontorthogonaux(ouperpendiculaires).
Lanorme (euclidienne)(ou lemodule) de~aest lescalaire
Z
k~akB√
~
a·~a. Elle possède les propriétés suivantes :
2. On notera souvent~a2, voirea2, la quantité~a·~a.
• kλ ~ak=|λ| k~ak;
• k~a+~bk6k~ak+k~bk(inégalité triangulaire) ;
• |~a·~b|6k~ak k~bk(inégalité de Cauchy-Schwartz).
De l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on déduit qu’il existe un nombre, l’angle(~ab, ~b) entre~aet~b, tel que
~
a·~b=k~ak k~bkcos(~ab, ~b).
Sik~ak=1,~aest ditunitaire(ounormé). Le vecteur~a/k~akest par construction unitaire.
Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidienEde dimension
Z
n.Il est toujours possible de construire une base orthonormée de E, c.-à-d. une famille de vecteurs B=(~u1, . . ., ~un)unitaires(∀i,ku~ik=1),orthogonaux deux à deux (∀i,j, ~ui·~uj=0) et constituant une basedeE(tout vecteur~ade Epeut s’écrire de manière unique sous la forme~a=a1 ~u1+· · ·+an ~un).
Lescomposantesaide~adans la base orthonorméeBsont les produits scalaires de~aavec les vecteurs deB. En effet,
~a·~ui=X
j,i
aj ~uj·~ui
| {z }
0
+ai u| {z }~i·~ui 1
=ai.
Toute famille denvecteurs orthonormés deEconstitue une base orthonormée de cet espace.
Dans toute base orthonormée, on a
Z
a1
...
an
·
b1
...
bn
=a1 b1+· · ·+anbn
et
a1
...
an
= q
a21+· · ·+a2n (Pythagore).
SoientE0 un sous-espace vectoriel deE, de dimension
Z
p6n, et (~u10, . . ., ~up0) une base orthonormée deE0. La projection orthogonalede~asurE0est le vecteur~
a0=(~a·~u10)~u10+· · ·+(~a·~up0)~up0.
De même, soitEun espace affine euclidien de dimensionn,E0un sous-espace deE, de dimension p6n, et (O0, ~u10, . . ., ~up0) un repère orthonormé deE0. La projection orthogonale d’un pointMsur E0 est le pointM0 tel que−−−−→
O0M0=(−−−→
O0M·u~10)~u10+· · ·+(−−−→
O0M·~un0)~un0.
A. . Trigonométrie
• cos2α+sin2α=1.
• 1/cos2α=1+tan2α.
• cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.
En particulier,
cos(2α)=cos2α−sin2α=2 cos2α−1=1−2 sin2α, d’où
cos2α= 1+cos(2α)
2 et sin2α= 1−cos(2α)
2 .
• sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.
En particulier,
sin(2α)=2 sinαcosα.
• tan(α±β)= tanα±tanβ 1∓tanαtanβ.
• En posantu=tan(α/2), on obtient
cosα= 1−u2
1+u2 , sinα= 2u
1+u2 et tanα= 2u 1−u2 .
A. . Rappels de géométrie
A. .1. Cercle
Considérons un cercle de centreOet de rayonR. SoientAetMdeux points du cercle.
• La longueur algébrique de l’arc de cercleAM˜ entreAetMvauts=αR, oùαest l’angle orienté (−−→
OAb,−−→
OM).
En particulier, le périmètre vauts=2 πR.
• SoitBle point du cercle diamétralement opposé àA: le triangleABMest rectangle enM.
• Pour tout pointCsur le cercle, (−−→ OAb,−−→
OM)=2 (−−→ CAb,−−→
CM).
• Surface (aire) du disque :A=πR2.
A. .2. Sphère
Considérons une sphère de rayonR.
• Surface (aire) :A=4πR2.
• Volume :V= 43 πR3.
A. . Nombres complexes
A. .1. Représentation cartésienne
Un nombre complexe zest un couple de nombres réels (x, y), oùxest la partie réelledez(notée Re(z)) et y sa partie imaginaire(notée Im(z)). On définit sur l’ensemble C des nombres complexes l’addition et la multiplication (notées provisoirement+C et×
C) entre deux nombres complexesz=(x, y) etz0=(x0,y0) de la manière suivante :
z+Cz0B(x+x0, y+y0) et
z×
Cz0B(x x0−y y0,x y0+x0 y),
où les opérations dans les membres de droite sont les opérations usuelles entre réels.
Si y = y0 = 0, on az+Cz0 B (x+x0,0) et z×
Cz0 B (x x0,0). On peut donc identifier le nombre complexe (x,0) et le nombre réelx, et utiliser sans inconvénient le même symbole pour l’addition (resp.
la multiplication) de nombres complexes que pour l’addition (resp. la multiplication) de réels.
Posons i=(0,1). On notera désormaisx+i yle nombre complexe (x, y) : en effet, x+i y=(x,0)+(0,1)×(y,0)=(x,0)+(0,y)=(x, y).
Les nombres de la forme iy sont appelésimaginaires purs.
On a i2=(0,1)×(0,1)=(−1,0)=−1. On retrouve ainsi facilement la valeur dez z0en développant le produit et en regroupant les termes réels et les termes imaginaires purs :
(x+i y)×(x0+i y0)=x x0+ix y0+i y x0+ i×i
|{z}
−1
y y0=(x x0−y y0)+i×(x y0+x0 y).
On définit le moduledezpar |z|= p
x2+y2 et sonconjuguépar z∗ =x−i y. Avec ces notations, siz,0, 1/z=z∗/|z|2.
A. .2. Représentation trigonométrique
Soitz=x+i y un nombre complexe. Notonsρson module. On appelle argumentde zle réelφ défini à un multiple entier de 2πprès parz=ρcosφ+iρsinφ.
D’après la formule de de Moivre,
eiφ=cosφ+i sinφ.
On a doncz=ρ eiφ, d’où l’on déduit que (ρ eiφ)∗=ρ e−iφ etρeiφ ρ0 eiφ0 =ρ ρ0ei·(φ+φ0).
A. . Dérivées
A. .1. Définition
La dérivée [première] d’une fonction f deRdansRen un pointx deRest définie par(∗3)
f0(x)B lim
dx→0
f(x+dx)− f(x)
dx .
On la note aussi df/dx.
La dérivée seconde de f, notée f00ou d2f/dx2, est définie par f00B(f0)0. En répétant cette opération, on obtient la dérivéen-ième,
dnf dxn B d
dx
dn−1f dxn−1
! .
A. .2. Dérivée et tangente à une courbe
Soit une courbe plane d’équationy= f(x). La tangente à cette courbe en un point (x0, f[x0]) a pour pente f0(x0) : l’équation de la tangente est donc ytg(x)= f(x0)+(x−x0) f0(x0).
Plus généralement, pour une courbe paramétrée par une variabletdans un espace de dimensionn, d’équation~x= f~(t) (c.-à-d.x1= f1(t), . . .,xn= fn(t)), la tangente au point~x(t0) a pour équation~xtg(t)=
f~(t0)+(t−t0)·(df~/dt)t=t0.
A. .3. Calcul des dérivées
Soient f et gdeux fonctions d’une variable xetαune constante. On a les propriétés suivantes :
• (f+g)0= f0+g0;
• (α f)0=α f0;
• (f g)0= f0 g+ f g0;
• (f/g)0=(f0 g− f g0)/g2;
• (f◦g)0=g0 f0◦g(∗4).
• Notonsf(−1)◦la fonction réciproque (encore appelée fonction inverse, mais elle n’a rien à voir avec 1/f) d’une fonctionf, c.-à-d. la fonction telle que, si elle existe,∀x,(f◦f(−1)◦)(x)=(f(−1)◦◦f)(x)=x.
(f(−1)◦)0=1/f0◦ f(−1)◦(∗5).
3. Rappelons la définition de la limite d’une fonction réellefd’une variable réellex: six0et`sont finis,ftend vers la limite
`quandxtend versx0(noté « limx→x0f(x)=`») signifie que∀ >0,∃α >0 tel que si|x−x0|< α,|f(x)−f(x0)|< . Pour une limite égale à+∞(resp.−∞), «|f(x)−f(x0)|< » est remplacé par «f(x)>+» (resp. «f(x)<−»).
Pour une limite quandxtend vers+∞(resp.−∞), «|x−x0|< α» est remplacé par «x>+α» (resp. «x<−α»).
4. Rappelons la définition de la composition f◦g(«f rondg») de deux fonctions :∀x,(f◦g)(x)Bf(g[x]). La composition est prioritaire sur les autres opérations.
On a donc∀x,(f◦g)0(x)=g0(x) f0◦g(x)=g0(x) f0(g[x]).
5. C.-à-d.∀x,(f(−1)◦)0(x)=1/f0(f(−1)◦[x]).
A. .4. Dérivées usuelles
• (cte)0=0 ;
• (xα)0=αxα−1, d’où (fα)0=α fα−1 f0;
• (lnx)0=1/x, d’où l’on déduit que (ln|f|)0= f0/f;
• (ex)0=ex, d’où (ef)0= f0 ef;
• (sinx)0=cosx, d’où (sinf)0= f0cosf;
• (cosx)0=−sinx, d’où (cosf)0=−f0sin f.
A. . Intégrales simples
A. .1. Primitives et intégrales
Une primitive d’une fonction f(x) est une fonctionF(x) telle que,∀x,F0(x)= f(x). Toute fonction F(x)+cteest également une primitive de f.
L’intégrale par rapport à xde f(x) deaàb, notéeRb
x=af(x) dx, vaut Z b
x=a
f(x) dx=h Fib
a, où
Fb
aBF(b)−F(a).
Inversement, quelle que soit la valeur dea,Rx
ξ=af(ξ) dξest une primitive de f(x).
En l’absence d’ambiguïté sur la variable d’intégration, on peut noter Rb
a f l’intégrale deaà b. De même, on note souventRx
f, voire R
f, une primitive quelconque de f.
A. .2. Règles générales
• Z a b
f =− Z b
a
f;
• Z b a
f +Z c b
f =Z c a
f;
• Z x
(f +g)=Z x
f+Z x
g;
• Siαest une constante, Z x
α f =αZ x
f.
A. .3. Primitives usuelles
Si f0 est la dérivée de f, f est une primitive de f0. On déduit donc de § A..4 les primitives suivantes :
• Z x
0=cte;
• Z x
ξα = xα+1
α+1 +cte, siα,−1 ;
• Z x 1
ξ =lnx+cte;
• Z x
eξ=ex+cte;
• Z x
sinξ=−cosx+cte;
• Z x
cosξ=sinx+cte.
A. .4. Intégration par parties
De (f g)0= f0 g+ f g0, on déduit que Z x
f0 g= f(x)g(x)− Z x
f g0+cte ou encore
Z b a
f0 g=h f gib
a
− Z b
a
f g0. Ceci ne présente bien sûr d’intérêt que si f(x)=Rx
f0 etRx
f g0sont calculables.
A. .5. Intégration par changement de variables
Faisons le changement de variablex=g(t) dans l’intégraleRb
x=af(x) dx. Soientαetβtels queg(α)=a etg(β)=b. On a dx=g0(t) dt, oùg0est la dérivée deg par rapport àt, donc
Z b x=a
f(x) dx=Z β
t=α f(g[t]) g0(t) dt.
A. . Développements limités
A. .1. Formule de Taylor
Un développement limité d’ordren d’une fonction f au voisinage d’un pointx0 est une approxi- mation par un polynôme de degrénde cette fonction près dex0.
On peut obtenir le développement limité à l’ordrenà l’aide de la formule de Taylor.
f(x)=
n
X
i=0
(x−x0)i i! · dif
dxi
!
x=x0
+· · · ,
où (dif/dxi)x=x0 est la dérivéei-ième de f enx0 (avec la convention d0f/dx0 = f) et la factorielle dei vauti!=1×2× · · · ×(i−1)×i(avec la convention 0!=1).
A. .2. Développements usuels au voisinage de 0
• (1+x)α=1+αx+ α·(α−1)
2 x2+· · ·+ α·(α−1)· · · · ·(α−n+1)
n! xn+· · ·.
Siαest un entier positif, (1+x)αest un polynôme et est égal à son développement limité à l’ordre α.
Siα=−1, on obtient 1
1+x =1−x+x2+· · ·+(−1)n xn+· · · ;
• ln(1+x)=x− x2
2 +· · ·+(−1)n+1 xn
n +· · · (sans factorielles) ;
• ex=1+x+ x2
2 +· · ·+xn n! +· · ·;
• cosx=1−x2
2 +· · ·+(−1)p x2p
(2p)! +· · · (p∈N etn=2 p) ;
• sinx=x+· · ·+(−1)p x2p+1
(2p+1)! +· · · (p∈Netn=2 p+1).
Les développements de cosinus et sinus sont donnés pour un anglexen radians.
A. . Équations di ff érentielles d’ordre 1
A. .1. Équations différentielles linéaires d’ordre 1
Il s’agit des équations du type
y0+a y=b, où y,aetbsont des fonctions dexet y0=dy/dx.
A. .1.a. Méthode générale
Les solutions sont de la forme
y=yh+yp,
où yh est solution de l’équation homogène(c.-à-d. sans second membre) y0h+a yh =0
et yp est unesolution particulière(quelconque) de l’équation générale y0p+a yp =b.
A..1.a.i. Solutions de l’équation homogène Soit A(x)=Rx
a(ξ) dξune primitive quelconque de a(x).
On a
A0=a=− y0h
yh =(−lnyh)0, donc
lnyh=−A+cte, d’où, en prenant l’exponentielle,
yh(x)=λe−A(x).
La valeur de la constanteλsera imposée par le choix deyp et les conditions particulières.
A..1.a.ii. Solution particulière
Une solution particulière est parfois évidente (p. ex. § A..1.c). Sinon, on peut utiliser la méthode suivante ou celle du § A..1.bpour en trouver une. On a
yp eA0
=y0p eA+yp· eA0
=y0p eA+yp A0 eA=(y0p+a yp) eA=beA,
d’où, en prenant une primitive quelconque de cette expression (on cherche unesolution particulière) et en multipliant par e−A,
yp(x)=e−A(x) Z x
b(ξ) eA(ξ) dξ.
Les bornes inférieures des intégrales dans les expressions ci-dessus n’ont aucune importance. Les modifier revient à changer la constante multiplicativeλ.
A. .1.b. Méthode de la variation de la constante
On peut retrouver ce résultat à l’aide de la méthode dite de « variation de la constante ». On cherche directement la solution générale sous la forme
y(x)=φ(x) e−A(x)
(c.-à-d. comme l’expression de yh(x), mais avec une fonctionφ(x) au lieu de la constanteλ).
En appliquant l’équation générale à cette expression, on obtient b=y0+a y=
φ0 e−A+φ· e−A0
+aφe−A=(φ0e−A−φA0 e−A)+aφe−A=φ0e−A, donc, en multipliant par eAet en intégrant,
φ(x)=Z x
b(ξ) eA(ξ) dξ+λ.
A. .1.c. Cas particuliers
• Si aest constante,
yh(x)=λe−a x.
• Si aetbsont constantes,
yp(x)= b a.
A. .2. Équations di ff érentielles d’ordre 1 à variables séparables
Il s’agit des équations du type
dy
dx = f(x)g(y), oùy est une fonction dex.
En regroupant les termes eny à gauche et ceux enxà droite, on a dy/g(y)= f(x) dx, soit Z y dη
g(η) =Z x
f(ξ) dξ+cte,
où la valeur de la constante est imposée par une condition particulière. En notant Γ(y)=Z y dη
g(η) etΓ(−1)◦ sa fonction réciproque, on obtient finalement
y(x)=Γ(−1)◦ Z x
f[ξ] dξ+cte
.
Exemple
Résolvons l’équation y0(x)=x2 y, où y(x0)=y0 et y>0.
On a dy/y=x2 dx, d’où lnyy
y0= x3/3x
x0. On obtient donc y=y0 exp([x3−x30]/3).
