GÉOMÉTRIE
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Equations carté- siennes de droite
On considére un repère (O,I,J) du plan.
DÉFINITION
Un vecteur⃗unon nul est un vecteur directeur de la droite(AB)si⃗uet−→
ABsont colinéaires.
Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d’une droite lorsqu’il a la même direction que cette droite.
⃗u A×
×B
Remarque :Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.
PROPRIÉTÉ
Soit A un point du plan,⃗uun vecteur non nul etd la droite de vecteur directeur⃗upassant par A.
Un point Mappartient àdsi, et seulement si,−−→
AMet⃗usont colinéaires.
PROPRIÉTÉ
L’ensemble des points M(x ; y)du plan tels que ax+by+c=0 avec(a; b)̸= (0 ; 0)est une droite de vecteur directeur⃗u
( −b a
) .
Remarque :(a ; b)̸= (0 ; 0)signifie queaetbne peuvent pas être nuls simultanément.
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PREUVE AppelonsD cet ensemble de points.
• Montrons d’abord que D n’est pas vide c’est-à-dire qu’il contient bien au moins un point.
Pour cela, on procède par disjonction des cas.
• Sia̸=0.
Le point A (−c
a ; 0 )
appartient àD.
• Sia=0.
alorsb̸=0(puisqueaetbne peuvent être nuls en même temps) Le point A
( 0 ; −c
b )
appartient àD.
Dans les deux cas, il existe un point A(xA ; yA) qui appartient à D, c’est-à-dire tel que axA+byA+c=0.
On va utiliser ce point ci-dessous
•
M(x; y)∈ D si et seulement si ax+by+c=0
si et seulement si ax+by+c=axA+byA+c si et seulement si ax+by=axA+byA si et seulement si ax−axA+by−byA=0 si et seulement si a(x−xA) +b(y−yA) =0 si et seulement si les vecteurs
(· · · ·
· · · · )
et
(· · · ·
· · · · )
sont colinéaires
si et seulement si les vecteurs⃗u (· · · ·
· · · · )
et−−→
AMsont colinéaires
si et seulement si les Mappartient à la droite passant par Aet de vecteur directeur⃗u (−b
a )
DÉFINITION
Une équation d’une droitedde la formeax+by+c=0est appelée une équation cartésienne d’une droite de la droited.
Remarque :Une droite admet plusieurs équations cartésiennes mais au plus une seule équation de la formey=ax+b, appeléeéquation réduitede la droite.
MÉTHODE 1 Déterminer une équation cartésienne de droite
Exercice d’application
Déterminer une équation cartésienne de la droite d de vecteur directeur⃗u (−3
2 )
passant par A(−1 ; 4).
Correction
Soit M(x; y), on a alors−−→
AM (
x−(−1) y−4
)
soit−−→
AM (
x+1 y−4 )
. Ainsi :
M∈d⇔−−→
AMet⃗usont colinéaires
v⇔(x+1)×2−(−3)×(y−4) =0
⇔2x+2−(−3y+12) =0
⇔2x+3y−10=0.
Une équation cartésienne de dest donc2x+3y−10=0.
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MÉTHODE 2 Déterminer une équation cartésienne de droite (BIS)
Exercice d’application
Déterminer une équation cartésienne de la droite d de vecteur directeur⃗u (−3
2 )
passant par A(−1 ; 4).
CorrectionUne équation cartésienne est de la formeax+by+c=0, avec (−b
a )
= (−3
2 )
On a donc : a=2etb=3
Une équation cartésienne est donc donnée par : 2x+3y+c=0
Pour déterminer la valeur dec, il suffit d’utiliser le pointAdont les coordonnées doivent vérifier l’équation.
On a donc : 2×(−1) +3×4+c=0 D’où c=−10
Une équation cartésienne de dest donc2x+3y−10=0.
MÉTHODE 3 Déterminer un vecteur directeur et un point d’une droite
Exercice d’applicationOn considère la droite dd’équationx−3y+1=0.
1)Déterminer un vecteur directeur de la droited.
2)Déterminer les coordonnées d’un point de d.
Correction
1)Un vecteur directeur de dest⃗u
(−(−3) 1
) soit⃗u
( 3 1 )
.
2)On peut fixer une valeur pour une coordonnée et choisir ensuite l’autre pour que l’équation soit vérifiée.
Ainsi, si on fixe y=0alorsx−3×0+1=0donc x=−1.
Le point A(−1 ; 0)est donc un point ded.
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