Cours Séries numériques PC Cadre : désigne ou
I Les suites(révision)
Question 1 : résoudre dans les équations et inéquations suivantes : 2 x 3 ; 1 x 3 ; 1 x 2 Question 2 : Soient > 0 et a , compléter l’équivalence en utilisant un intervalle de ,
x , a x x
Question 3 : Soient a, b , compléter l’équivalence en utilisant la valeur absolue, x , x
a,b Question 4 : Représenter dans le plan l’ensemble des nombres z tels que : i z 1 ; 1 i z 2
I.1 Suite convergente : Soit (un) une suite d’éléments de . On dit que la suite (un) est convergente si, et seulement si, il existe un nombre tel que :
pour tout réel > 0, il existe n0 , si (n > n0) alors
un
Dans ce cas est unique et on écrit n
nlim u
ou unn
Proposition : Pour , un n un n 0
Définition : Si une suite n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente.
Remarque : bien distinguer les notations (un) et un
Question 5 : réécrire la définition ci-dessus en utilisant : , et .
Question 6 : rappeler les définitions de n
nlim u
pour une suite réelle (un). Une telle suite est divergente.
Question 7 : donner des exemples de suites qui n’admettent pas de limites ni finies ni infinies.
e1
e2
n un
y=
y=+
y=
Question 8 : (opérations sur les suites) compléter les tableaux.
Tableau de la limite d la somme (un + vn) Tableau de la limite du produit (un vn)
un
vn
l1 +
l2
+
Définitions : Soit (un) une suite réelle.
(un) est croissante si, et seulement si, pour tout entier n, un un+1
(un) est majorée si, et seulement si, il existe M tel que : pour tout entier n, un M
(un) est minorée si, et seulement si, il existe m tel que : pour tout entier n, un m
(un) est bornée si, et seulement si, elle est majorée et minorée.
Deux suites réelles (un) et (vn) sont adjacentes si, et seulement si, l’une est croissante, l’autre est décroissante et
n n
nlim v u 0
.
Propositions : Une suite réelle est bornée si, et seulement si sa valeur absolue est majorée.
Toute suite convergente est bornée.
Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +
Si deux suites réelles sont adjacentes alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite.
Théorème de l’encadrement :
n, un vn wn
Si n
nlim u
Alors la suite (vn) est convergente et n
nlim v
un
vn
l > 0 l=0 l<0 +
l' >0
l'=0
l'<0
+
Conséquence d’usage fréquent : pour montrer que n
u n il suffit de majorer
un
par une suite réelle qui converge vers 0. Une suite complexe (un) est convergente si, et seulement si les deux suites réelles
Re
un
et
Im
un
sont convergentes et dans ce cas on a : nlim un
nlim Re
un
i lim
n Im
un
Suite géométrique :
Une suite (un) est dite géométrique si, et seulement si, il existe un complexe r, appelé raison, tel que :
n, un+1=r.un
Dans ce cas on a : n, un=u0.rn
Somme des termes d’une suite géométrique : Soit r.
\ { },
n n 1 k k 0
r 1 n r 1 r
1 r
(usage très fréquent) Question 9: calculer2008 k k 1999
2
Convergence d’une suite géométrique :
La suite géométrique (rn) est convergente si, et seulement si, (r = 1 ou |r| <1 ) Si |r| <1 alors n
nlim r 0
. Si
II Généralités sur les séries
II.1 Définition : Soit (un) une suite d’éléments de . On note pour tout n , n n k
k 0
S u
.La suite (Sn) est appelée série associée à la suite (un) . Elle est notée
un ou nn 0
u un
est la série de terme général un L’élément de : n n kk 0
S u
est appelé somme partielle d’indice n de la série
unQuestion 10 : pour tout n *, donner un en fonction des sommes partielles.
II.2 Convergence ou divergence d’une série :
On dit que la série
un est convergente si, et seulement si, la suite (Sn) est convergente.On dit que la série
un est divergente si, et seulement si, la suite (Sn) est divergente.Si la série
un est convergente, on note : n nn 0 n
u lim S
. Cette limite est appelée la somme de la série .Proposition1 : si la série
un converge alors unn 0 (condition nécessaire de convergence d’une série) Par contraposée : si un 0 alors la série
un diverge . On dit qu’elle est grossièrement divergente Question 11 : expliquer clairement la différence entre
un et0 n n
u
Proposition 2 : Soit r , La série géométrique n
n 0
r converge si et seulement si r 1. De plus, si r 1 alors nn 0
r 1
1 r
Question 12 : r 1 et p un entier naturel, calculer n
n p
r
Proposition 3 : La suite (un) converge si et seulement si la série
un 1 un
est convergente II.3 Reste d’une série convergente.Lorsque la série
un est convergente, on appelle reste d’ordre n le nombre Rn = S Sn où S est la somme de la série.Proposition 4 : Soit une série
un convergente et (Rn) la suite des restes de cette série. Alors : La suite (Rn) tend vers 0. pour tout n , n k
k n 1
R u
pour tout n , k n nk 0
u S R
II.4 Structure d’espace vectoriel.
Proposition 5 : L’ensemble des séries convergentes à coefficients dans est un -espace vectoriel et l’application qui, à une série convergente, associe sa somme est linéaire.
III Séries à termes positifs
III.1 Règles de comparaison.
Proposition 6 : Soit
unune série à termes réels positifs1 . La suite (Sn) des sommes partielles de la série à termes positifs
un est croissante.2. La série
unde réels positifs converge si, et seulement si, la suite (Sn) des sommes partielles de cette série estmajorée, et dans ce cas : n n n
n n
u lim S sup S
Théorème 7 (de comparaison) : Soient n
n 0
u et nn 0
v deux séries à termes réels positifs1. On suppose qu’il existe un rang n0 tel que, pour tout n n0, un vn
Si la série n
n 0
v converge alors la série nn 0
u converge. Si la série n
n 0
u diverge alors la série nn 0
v diverge 2. Si un = O (vn) et si la série nn 0
v converge, alors la série nn 0
u converge.3. Si un ~ vn alors les séries n
n 0
u et nn 0
v sont de même nature.III.2 Séries de Riemann
Définition : On appelle série de Riemann toute série de terme général 1
n , où est un réel fixé.
Proposition 8 : La série de Riemann 1 n
est convergente si, et seulement si, > 1 III.3 Comparaison à une intégraleProposition 9 : Soit f une application de + dans +, continue par morceaux positive et décroissante.
La série
f ( n ) est convergente si, et seulement si, la suite n0 f ( t )dt
est convergente.III.4 Règle de d’Alembert
Proposition 10 : Soit
un une série à termes réels strictement positifs telle que la suite n 1n
u u
converge.
Si n 1
n n
lim u 1
u
alors la série est convergente Si n 1
n n
lim u 1
u
alors la série est divergente.
IV Séries de nombres réels ou complexes
IV.1 Convergence des séries complexes.
Proposition 11 : Une série
unde nombres complexes converge si, et seulement si, les séries réelles
Re
un et
Im un
sont convergentes.Dans ce cas n
n 0
u
= Re
n n 0u
+i Im
n n 0u
IV.2 Séries alternée
Définition : une série réelle, de terme général un , est dite alternée si, et seulement si, pour tout entier n, un et un+1
sont de signes contraires.
Question 13 : donner des définitions équivalentes d’une série alternée.
Proposition 12 (Critère spécial des séries alternées) ou le CSSA
Soit
un une série alternée telle que la suite
un tende vers 0 en décroissant alors : La série
un converge. Sa somme est comprise entre deux sommes partielles consécutives.
Pour tout n, n k
k n 1
R u
est du signe de un+1 et Rn un 1 Question 14 : Montrer que la série 1n
n
est convergente et donner un entier n tel que Sn soit une valeur approchée de S à 103 près.IV.3 Séries de nombres réels ou complexes absolument convergente.
Définition : une série
unest dite absolument convergente lorsque la série
un est convergente.Question 15 : soit z, la série zn
n! est-elle absolument convergente ?Proposition 13 : Toute série absolument convergente est convergente. Si La série
un est absolument convergentealors : n n
0 0
u u
Proposition 14 (Produit de Cauchy) : Soit
unet
vndeux séries absolument convergentes de sommes U et V.Alors, la série
wn définie par n p qp q n
w u v
est absolument convergente et de somme UVQuestion 16 : montrer que : z ,z1 2 1 !2 1! 2!
0 0 0
n n n
z z z z
n n n
n n n
Proposition 15 (Formule de Stirling ) :
n n
n! 2n
e
